2.2.3 直线的一般式方程教材例题变式-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.2.3 直线的一般式方程 本专题为：教材P65页例5及P68页习题2.2综合运用第13题的变式 教材P65页例5： 例5、已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点,斜率为的直线的点斜式方程是化为一般式,得 变式1：变换数据及题型 1．已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可. 【详解】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：，所以直线的一般式方程为. 2．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点 (5,3) 的直线方程为 ； (2)斜率是－，且经过点 (8，－6)的直线方程为 ； (3)斜率是，且经过点的直线方程为 ； (4)斜率是，且经过点的直线方程为 ； (5)斜率为，且经过点的直线方程为 ； 【详解】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线的方程为，即所求直线的方程为； （2）由直线的点斜式方程可知，所求直线的方程为，即所求直线的方程为； （3）由点斜式得所求直线的方程为，化为一般式为：. （4）由点斜式得所求直线的方程为，即. （5）由点斜式得所求直线的方程为，整理得. 变式2：直接给点，间接给斜率 1．已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则（    ） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 【答案】C 【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率.因为直线经过点，所以直线的点斜式为，斜截式为，截距式为，一般式为. 2．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点与直线垂直． (2)直线l经过点且与，两点的连线垂直. （3）经过点，且与直线垂直. （4）经过点，且与直线平行。 【解析】（1）由得，即该直线的斜率为，即一个方向向量为所求直线的一个法向量，故所求直线方程为，即. （2）因为，两点连线的斜率为，所以直线l的斜率为，由直线的点斜式可得，整理得直线l的一般式方程为. （3）设与直线垂直的直线方程为，又该直线过点， 则，解得，所以所求直线方程为. （4）设与直线平行的直线方程为，又该直线过点，则，解得，所以所求直线方程为. 3．已知直线经过点且斜率为 （1）求直线的一般式方程 （2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程 （3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果. 【详解】(1) (2)设所求方程为因为过点，所以 (3) 设所求方程为因为过点，所以 【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 4、经过点 (4,2)，且平行于轴的直线方程为 【解析】由题意，直线平行于轴，所以斜率，所以所求方程为。 5、已知直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程； 【解析】由题意得：，又，所以，故，所以的斜率为，的点斜式方程为。 教材P68页习题2.2综合运用第13题： 13.一条光线从点射出,与轴相交于点,经轴反射,求人射光线和反射光线所在直线的方程. 【答案】 ； ． 【分析】由两点坐标得入射光线所在直线斜率，从而可得直线方程，由点关于轴的对称点在反射光线所在直线上可得反射光线所在直线斜率，再写出直线方程即可． 【详解】入射光线所在直线的斜率为，直线方程为，即， 关于轴的对称点为，易知在反射光线所在直线上，所以反射光线所在直线斜率为，直线方程为，即． 变式1：变换点P的坐标，点Q不变 1．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点，设点关于x轴的对称点为，则根据反射定律，点在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为 ，即，故选：A． 2．一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为，故，在反射光线所在的直线上，故，直线方程为，即，故选：C 变式2：P，Q两点坐标都变换 1．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线与反射光线所在直线的斜截式方程； 【答案】； 【分析】根据斜率公式可得PQ的斜率，然后点斜式可得入射光线所在直线方程，根据反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，即可求得反射光线所在直线方程； 【详解】由P，Q两点坐标，可得直线PQ的斜率为，所以入射光线所在直线的点斜式方程为，其斜截式方程为．因为反射光线与入射光线所在直线关于x轴对称，所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，所以反射光线所在直线的斜率为3，所以反射光线所在直线的点斜式方程为，其斜截式方程为． 2．一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 【答案】，. 【分析】由两点坐标求入射光线所在直线的斜率，再由斜截式可得直线方程；再由入射与反射光线关于轴对称，则斜率互为相反数，求出斜率再由斜截式可求反射光线所在直线方程. 【详解】由两点坐标，可得直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即.因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称，所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为，即. 变式3：变换数据 1．光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标． 【答案】直线方程为：；. 【分析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为. 【详解】点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：. 2．一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】． 【分析】先求出A关于x轴的对称点，再根据两点求斜率，最后应用点斜式求方程即可. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线经过、两点，，由点斜式得反射光线所在直线方程为，化简为一般式方程为． 3．一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 4．一条光线从点射出，与y轴相交于点且被轴反射，则反射光线所在直线在x轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由入射光线和反射光线对称求出反射光线方程，进而求出截距. 【详解】关于y轴的对称点为，则反射光线所在直线为，因为，所以反射光线所在直线的方程为，令，解得，所以反射光线所在直线在x轴上的截距为． 5．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，从而可求出直线的方程，即可得到点坐标，进而得到直线的方程. 【详解】如图，由题设点B在原点O的右侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点， 所以的方程为，即，令，则，所以为， 所以的方程为，即， 变式4：与圆交汇 1．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意写出反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切列式计算即可. 【详解】射这条光线所在直线方程为，则会过点，反射光线斜率与原光线斜率互为相反数，所以反射光线所在直线方程为，圆的圆心为，半径为1，与反射光线相切，即，解得或，当时，反射光线所在直线方程为，此时反射光线与x轴平行，不合题意；当时，反射光线所在直线方程为。 2．（多选）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 【答案】ACD 【分析】对A：判断该直线是否过圆心即可得；对B：判断该直线是否过点及圆心关于轴对称的点即可得；对C：借助切线的性质及两点间距离公式计算即可得；对D：借助切线的性质计算即可得. 【详解】对A：由可知圆心为，直线过点，故圆关于直线对称，故A正确； 对B：若圆关于反射光线对称，则反射光线过圆心，即入射光线过点及圆心关于轴对称的点，当时，，故点不在上，即入射光线所在直线的方程不为，故B错误； 对C：反射光线必过点关于轴对称的点，且从点到切点所经过的路程与到切点所经过的路程相等，由切线性质可得该路程为，故C正确； 对D：设反射光线的方程为，即，则有，即，，故该方程有两个不同解，即存在两条反射光线与圆相切，故D正确. 3．（多选）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（      ） A．若反射光线与圆相切，则反射光线的斜率一定为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于两点，则△面积的最大值为 【答案】BD 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，求出点关于轴对称的点，设反射光线方程，根据点到直线的距离公式计算求出斜率即可判断A；根据反射光线过圆心可知入射光线过点，由此可求得入射光线所在直线方程，知B正确；由反射光线经过点，可将转化为，由可知C错误；设，可求得，由正弦型函数的最值可知D正确. 【详解】对于A，由圆方程知：圆心，半径，点关于轴对称的点为，设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为，即，点到直线的距离为，解得，故A错误； 对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，入射光线所在直线经过点，，入射光线所在直线方程为：，即，B正确； 对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，， 又，则，C错误； 对于D，设，则圆心到直线的距离，，， 则当时，，D正确.故选：BD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.2.3 直线的一般式方程 本专题为：教材P65页例5及P68页习题2.2综合运用第13题的变式 教材P65页例5： 例5、已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点,斜率为的直线的点斜式方程是化为一般式,得 变式1：变换数据及题型 1．已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点 (5,3) 的直线方程为 ； (2)斜率是－，且经过点 (8，－6)的直线方程为 ； (3)斜率是，且经过点的直线方程为 ； (4)斜率是，且经过点的直线方程为 ； (5)斜率为，且经过点的直线方程为 ； 变式2：直接给点，间接给斜率 1．已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则（    ） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 2．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点与直线垂直． (2)直线l经过点且与，两点的连线垂直. （3）经过点，且与直线垂直. （4）经过点，且与直线平行。 3．已知直线经过点且斜率为 （1）求直线的一般式方程 （2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程 （3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程 4、经过点 (4,2)，且平行于轴的直线方程为 5、已知直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程； 教材P68页习题2.2综合运用第13题： 13.一条光线从点射出,与轴相交于点,经轴反射,求人射光线和反射光线所在直线的方程. 【答案】 ； ． 【分析】由两点坐标得入射光线所在直线斜率，从而可得直线方程，由点关于轴的对称点在反射光线所在直线上可得反射光线所在直线斜率，再写出直线方程即可． 【详解】入射光线所在直线的斜率为，直线方程为，即， 关于轴的对称点为，易知在反射光线所在直线上，所以反射光线所在直线斜率为，直线方程为，即． 变式1：变换点P的坐标，点Q不变 1．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2：P，Q两点坐标都变换 1．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线与反射光线所在直线的斜截式方程； 2．一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 变式3：变换数据 1．光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标． 2．一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 3．一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．一条光线从点射出，与y轴相交于点且被轴反射，则反射光线所在直线在x轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 5．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为 . 变式4：与圆交汇 1．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 3．（多选）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（      ） A．若反射光线与圆相切，则反射光线的斜率一定为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于两点，则△面积的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$