2.2.1 直线的点斜式方程教材例题变式及拓展-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.2.1 直线的点斜式方程 本专题为：教材P60页例1、61页例2 教材P60页例1： 例1．直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 【答案】；作图见解析 【分析】直接写出直线的点斜式方程，并画图. 【详解】直线经过点，斜率，代入点斜式方程得． 画图时，只需再找出直线上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如图所示． 变式1：变换点的坐标及题型，倾斜角不变 1．直线经过点，且倾斜角，则直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为倾斜角，所以.故直线方程为. 2．一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线的斜率，即可得出所求直线的点斜式方程. 【详解】因为所求直线得倾斜角为，所以，该直线的斜率为， 又因为该直线过点，所以直线的点斜式方程为． 变式2：变换点的坐标、倾斜角及题型 1．已知直线L过点且倾斜角为，则l的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线的点斜式方程可得答案. 【详解】由题意知直线L的斜率，所以l的点斜式方程为． 2．若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出直线的点斜式方程. 【详解】由直线的倾斜角为，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的点斜式方程是. 3．已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． (1)P（2，3），；(2)P（-2，-1），；(3)P（-5，-1），． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】由直线倾斜角求斜率，点斜式求直线方程. 【详解】（1）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. （2）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. （3）直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为. 变式3：变换点的坐标且间接给出倾斜角 1．已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ； 【答案】x－y－3＝0 【分析】通过直线倾斜角和斜率的关系，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0． 2．求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，其斜率为，所以所求直线的点斜式方程为． 3．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则斜率，又，故， 设直线的倾斜角为，则，直线的斜率，又直线经过点，则直线的点斜式方程为：. 4．已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】先由及的范围求得，进而求得，即斜率，再利用点斜式即可求得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为. 5．已知直线经过点，倾斜角的正弦值为，则的点斜式方程为 . 【答案】或. 【分析】先根据倾斜角的正弦值为，求出的值，再求出，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线方程. 【详解】直线的倾斜角的正弦值为，则当为锐角时，， 所以，所以直线的斜率为，因为直线经过点，所以直线的点斜式方程为， 当为钝角时，，所以，所以直线的斜率为，因为直线经过点，所以直线的点斜式方程为， 综上，直线的点斜式方程为或。 6．求过点（2，）且倾斜角比直线的倾斜角大45°的直线的点斜式方程． 【答案】 【分析】求得所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】设直线的倾斜角为，由题意知为锐角，且，则所求直线的倾斜角为，则，则所求直线方程为， 7．若直线l经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 【答案】. 【分析】设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，利用正切的二倍角公式求出所求直线的斜率，由点斜式求解直线方程即可； 【详解】设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，因为，所以，又直线经过点，故所求直线方程为。 教材P61页例2： 例2．已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 【答案】(1)且；(2) 【分析】（1）根据直线平行关系与斜率、截距的关系可直接得到结论； （2）根据直线垂直与斜率的关系可直接得到结论. 【详解】（1）若，则，此时与轴的交点不同，即； 的条件为：且. （2）若，则；反之，若，则；的条件为：. 变式1、变换数据及题型 1．已知两直线：和：. （1）若与交于点，求，的值； （2）若，试确定，需要满足的条件； （3）若，试确定，需要满足的条件. 【答案】（1），；（2），或，；（3），. 【分析】（1）将点代入两直线方程，列方程组求,的值； （2）由得，即得,需要满足的条件； （3）讨论和两种情况，即得,需要满足的条件. 【详解】（1）将点代入两直线方程得：和， 解得，. （2）由得：，∴或，所以当，或，时，. （3）当时，直线：和：，此时，当时此时两直线的斜率之积等于，显然与不垂直，所以当，时，直线与垂直. 2．已知两直线：和：， (1)若与交于点，求的值； (2)若，试确定需要满足的条件． 【答案】(1)；(2)当或时， 【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可； （2）根据平行列出方程，解出，再排除重合的情况即可. 【详解】（1）将点代入两直线方程得：和，解得. （2）由得：，又两直线不能重合，所以有，对应得，所以当或时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.2.1 直线的点斜式方程 本专题为：教材P60页例1、61页例2 教材P60页例1： 例1．直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 【答案】；作图见解析 【分析】直接写出直线的点斜式方程，并画图. 【详解】直线经过点，斜率，代入点斜式方程得． 画图时，只需再找出直线上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如图所示． 变式1：变换点的坐标及题型，倾斜角不变 1．直线经过点，且倾斜角，则直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 2．一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 变式2：变换点的坐标、倾斜角及题型 1．已知直线L过点且倾斜角为，则l的点斜式方程为 ． 2．若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是 . 3．已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． (1)P（2，3），；(2)P（-2，-1），；(3)P（-5，-1），． 变式3：变换点的坐标且间接给出倾斜角 1．已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ； 2．求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 3．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 4．已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为 ． 5．已知直线经过点，倾斜角的正弦值为，则的点斜式方程为 . 6．求过点（2，）且倾斜角比直线的倾斜角大45°的直线的点斜式方程． 7．若直线l经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 教材P61页例2： 例2．已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 【答案】(1)且；(2) 【分析】（1）根据直线平行关系与斜率、截距的关系可直接得到结论； （2）根据直线垂直与斜率的关系可直接得到结论. 【详解】（1）若，则，此时与轴的交点不同，即； 的条件为：且. （2）若，则；反之，若，则；的条件为：. 变式1、变换数据及题型 1．已知两直线：和：. （1）若与交于点，求，的值； （2）若，试确定，需要满足的条件； （3）若，试确定，需要满足的条件. 2．已知两直线：和：， (1)若与交于点，求的值； (2)若，试确定需要满足的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$