2.1.2 两条直线平行和垂直的判定教材例题变式及拓展-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 本专题为：教材P56页例3、57页例4、例5 教材例3： 例3、已知四边形的四个顶点分别为,试判断四边形的形状,并给出证明. 解：如图,由已知可得 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率. 因为,所以.因此四边形是平行四边形. 变式1：变换数据，题型不变 1．已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示： OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率，BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得．同理，由且AB与CO不重合，得．因此四边形OABC是平行四边形． 2．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 3．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【分析】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论. 【详解】由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行，所以四边形是梯形， 又因为，所以，综上，四边形是直角梯形。 4．已知，试判断四边形的形状． 【答案】矩形 【分析】根据直线平行、垂直求得正确答案. 【详解】由题意，可得， ∴．∴，．∴四边形为平行四边形． 又，∴直线与垂直，即．∴四边形为矩形． 5．已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状． 【答案】直角梯形 【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 . 【详解】由斜率公式，得，，，,所以，又因为 ,说明与不重合， 所以．因为，所以与不平行．又因为， 所以．故四边形为直角梯形． 变式2：变换数据及题型 1．已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1)；(2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即。 （2）因为，，所以，即与不平行， 又，所以，所以四边形为直角梯形. 2．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【答案】(1)直角梯形；证明见解析；(2)． 【分析】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【详解】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行，所以四边形是梯形， 又因为，所以，综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k，则有， 即，整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间，所以， 则的平分线所在的直线方程为，即． 教材例4： 例4：已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 变式1、变换数据 1．已知点A(1，2)，B(0，-4)，C(-2，6)，D(0，18)，试判断直线AB和直线CD的位置关系. 【答案】直线AB和直线CD平行. 【分析】本题先求，，再确定直线AB和直线CD在y轴上的截距不相等，最后判断直线AB和直线CD平行. 【详解】∵点A(1，2)，，，D(0，18) ∴，，∵，D(0，18) ∴直线AB和直线CD的斜率相等，在y轴上的截距不相等，∴直线AB和直线CD平行. 2．已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】，证明见解析. 【分析】根据两条直线的斜率求得正确答案. 【详解】由已知可得直线的斜率，直线的斜率，因为，由图可知：直线. 变式2、变换数据及题型 1．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】，由图可知不共线，所以． 2．已知直线的倾斜角为45°，直线过点，，则与的位置关系是(   ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行或重合 【答案】D 【分析】由斜率公式与直线的位置关系判断， 【详解】由题意得的斜率为1，而，则两直线斜率相等，纵截距不确定， 故与的位置关系是平行或重合。 3．已知直线经过点，直线经过点 （1）当时，试判断直线与的位置关系； （2）若，试求的值． 【答案】（Ⅰ）//；（Ⅱ）或 【分析】（1）判断两直线的平行、垂直时，可直接利用直线的斜率来看，本题代入斜率公式即可判断；（2）当直线的斜率都存在时 则k1k2＝－1，所以在没有告诉斜率是否存在的情况下，应主动讨论，以防止漏解． 【详解】（1）当时， 故此时，直线的方程为，经验证点不在直线 上，从而，// ． （2） ，的斜率存在 若，当时，则 ，此时直线的斜率存在， 不符合题意，舍去； 当时， 故，解得 或 ． 综上：或 。 4．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行；(II)垂直． 【答案】(1)平行；(2)垂直；(3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为；因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为，则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以，因为直线的斜率为， 所以，则直线与直线垂直. （3）因为直线过，所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得：， (II) 当直线与直线垂直时则，解得：。 教材例5： 例5．已知，，三点，试判断的形状. 【答案】直角三角形. 【分析】分别计算出和边所在直线的斜率，利用斜率成绩为即可判断的形状. 【详解】如图所示，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.由，得，即，所以是直角三角形. 变式1、变换数据，题型不变 1．已知的三个顶点分别是，，，试判断的形状． 【答案】直角三角形 【分析】根据斜率公式，分别求得的斜率，结合，即可求解. 【详解】由点，，，可得，， 则，所以，所以为直角三角形. 2．已知三个点，试判断的形状． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状． 【详解】由题意得，， ，∴，且， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】判断三角形的形状时，一是根据三边的关系进行判断，此时若已知三个顶点的坐标，则可根据两点间的距离公式求出三边的长度，然后根据边长的关系进行判断；二是根据角的大小进行判断，即根据条件得到三内角的大小后再进行判断，解题时要注意根据条件选择合适的方法． 变式2、变换数据及题型 1．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形；(2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，，， ，即，所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 2．已知三个顶点坐标分别为，，． (1)试判断的形状； (2)求中的角B的角平分线所在直线的一般方程． 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形；(2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）由（1）可得角的角平分线即为边上的中线，求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，，所以的斜率，，的斜率，， 则，所以且， 所以是以为直角的等腰直角三角形。 （2）由（1）知是以为直角的等腰直角三角形， 所以角的角平分线即为边上的中线， 易求中点坐标，所以直线的斜率， 故角的角平分线为，化为一般式为． 3．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形；(2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式，分别求出，，，，即可求解三角形的形状； （2）求出上的中点的坐标，然后根据斜率公式求出，然后再用点斜式求出直线方程，再化为一般式，即可求解. 【详解】（1）因为，，，所以直线AB的斜率， ，直线AC的斜率， ，则，所以且， 所以是以为直角的等腰直角三角形. （2）易求AC的中点坐标，所以直线BD的斜率， 则边AC上的中线方程为，化为一般式为. 4．已知的顶点坐标为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1)为直角三角形；(2) 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】（1）因为，，， 所以，，，，， 又，，为直角三角形. （2）因为，所以边上高线所在直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 5．已知，，三点，试判断这三点是否在同一直线上． 【答案】在同一条直线上. 【分析】求与，由斜率关系即可求解 【详解】由题意可知直线AB的斜率，直线BC的斜率． 因为，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B， 所以A，B，C三点在同一直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 本专题为：教材P56页例3、57页例4、例5 教材例3： 例3、已知四边形的四个顶点分别为,试判断四边形的形状,并给出证明. 解：如图,由已知可得 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率. 因为,所以.因此四边形是平行四边形. 变式1：变换数据，题型不变 1．已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 2．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． . 3．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 4．已知，试判断四边形的形状． 5．已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状． 变式2：变换数据及题型 1．已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 2．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 教材例4： 例4：已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 变式1、变换数据，题型不变 1．已知点A(1，2)，B(0，-4)，C(-2，6)，D(0，18)，试判断直线AB和直线CD的位置关系. 2．已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 变式2、变换数据及题型 1．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．已知直线的倾斜角为45°，直线过点，，则与的位置关系是(   ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行或重合 3．已知直线经过点，直线经过点 （1）当时，试判断直线与的位置关系； （2）若，试求的值． 4．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行；(II)垂直． 教材例5： 例5．已知，，三点，试判断的形状. 【答案】直角三角形. 【分析】分别计算出和边所在直线的斜率，利用斜率成绩为即可判断的形状. 【详解】如图所示，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.由，得，即，所以是直角三角形. 变式1、变换数据，题型不变 1．已知的三个顶点分别是，，，试判断的形状． 2．已知三个点，试判断的形状． 变式2、变换数据及题型 1．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 2．已知三个顶点坐标分别为，，． (1)试判断的形状； (2)求中的角B的角平分线所在直线的一般方程． 3．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 4．已知的顶点坐标为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 5．已知，，三点，试判断这三点是否在同一直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$