8.2 立体图形的直观图课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.2 立体图形的直观图 第八章 立体几何初步 1 教学目标 掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图;（重点） 01 能用斜二测画法画出简单空间几何体的直观图; （重点、难点） 02 能运 能从实际空间模型出发理解空间图形直观图的画法. 03 04 2 学科素养 能从实际空间模型出发理解空间图形直观图的画法 数学抽象 能用斜二测画法画出简单空间几何体的直观图; 直观想象 掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 逻辑推理 数学运算 数据分析 数学建模 3 请你说出下面几何体分别是什么几何体？ 长方体 五棱锥 圆柱 圆锥 圆台 四棱台 这些图形就是空间几何体的直观图 知识回顾 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征．为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识. 知识精讲 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形. 5 思考.如下图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? 眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 可能是矩形，也可能是平行四边形. 思考.为什么是这样的形状？你能解释吗？大家还记得初中学过的投影分为哪几类吗？ 中心投影 平行投影 D C B A 斜投影 正投影 光由一点向外散形成的投影，叫做中心投影. 中心投影的投影线交于一点. 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的投影线是平行的. 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关,若一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形. 利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，这种方法叫做斜二测画法. 利用这种画法我们可以画出水平放置的平面图形的直观图. 接下来我们以画正方形的直观图为例，一起来看看用斜二测画法画直观图的具体步骤. ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面． ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段． 9 备注 两不变一减半 平行性不变。 平行y轴的线段的长度变为原来的一半。 平行x轴的线段的长度保持不变。 A B C D 用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图 y x O y′ x′ O′ D′ C′ B′ A′ ①建立恰当的坐标系xO'y，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于 画点，作出坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45º(或135º) ②首先画与坐标轴平行或在坐标轴上的线段(平行性不变)，与x轴平行（含x轴上）的线 段长度不变，与y轴平行（含y轴上）的线段长度减半; ③与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． 11 例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图. 解:(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为轴，对称轴MN所在直线为轴，两轴交于点O.画相应的轴和轴，两轴相交于点,使. (2)以为中心，在轴上取，在轴上 取,以点为中心，画平行与轴，并且等于；再以为中心，画平行于轴，并且等于. (3)连接,,,，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图. (3)连接,,,，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图. 画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉 我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画 图时，常用如图椭圆模板。 练习.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）三角形的直观图是三角形. （ ） （2）平行四边形的直观图是平行四边形. （ ） （3）正方形的直观图是正方形. （ ） （4）菱形的直观图是菱形. （ ） √ √ × × 17 练习.(1)已知等边三角形的边长为4，则用斜二测画法画出的水平放置的直观图的面积为______. (2)一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方形，则这个平面图形的面积为______. x y O C A B x' y' O' C' A' B' x' y' O' C' A' B' x y O C A B 18 画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变. x y o z 19 x y o A B C D z [画法] （1）画轴. 画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. （2）画底面.在x轴正半轴上取线段 AB，使AB=3 cm;在y轴正半轴上取线段 AD，使AD=1 cm. 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C， 则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. 例2.已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm， 用斜二测画法画出它的直观图. 20 x y o 例2.已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm， 用斜二测画法画出它的直观图. A B C D z A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A B C D （3）画侧棱. 在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5 cm，过B，C，D各点分别作z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段 BB'，CC'，DD'. （4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了. 21 例3.已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图？ 22 O 圆锥 O 球 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线； 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性． 23 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号 内画“√”，错误的画“×”. （1）相等的线段在直观图中仍然相等. （ ） （2）平行的线段在直观图中仍然平行. （ ） （3）一个角的直观图仍是一个角. （ ） （4）相等的角在直观图中仍然相等. （ ） √ × √ × A B C D 直观图 A′ B′ C′ D′ 课本P109页 课堂练习 y x O y x O y x O y x O A C B D A B C A B C D A B C D E y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ E′ 2. 用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形. 1.判断正误 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观. (1)原来相交的仍相交. (　　) (2)原来垂直的仍垂直. (　　) (3)原来平行的仍平行. (　　) (4)原来共点的仍共点. (　　) 达标检测 C 2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) 27 3.如图,平行四边形是四边形的直观图，若 ，则原四边形的周长为 ． 10 28 4.下图是利用斜二测画法得到的水平放置的直观图,其中∥轴， ∥轴，若的面积是3，则的面积是（　 ）. A’ B’ C' 利用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面． ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段． 归纳总结 30 利用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤： ①画出底面的直观图； ②画平行于z轴的线段，并保持长度不变; ③成图（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）． 31 A　　　　B　　　　C　　　　D $$