精品解析：浙江省嘉兴市第五高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

嘉兴市第五高级中学高二年级 阶段性检测数学试题卷 （2025.03） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确集合中的元素，根据交集，可得答案. 【详解】集合，，所以. 故选：C. 2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解． 【详解】因为，所以， 故当时，， 即时，“高原版”复兴号动车的加速度为， 故选：B 3. 为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解. 【详解】由题意可得， 故选:C 4. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案. 详解】由题意，，则，所以或. 若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意； 若c=6，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以在处有极大值，不满足题意； 综上：c=2. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断的奇偶性和在上的单调性，即可唯一确定正确选项. 【详解】设，则的定义域是，同时，故是奇函数，排除B选项； 当时，，，所以当时，；当时，. 故在上递增，在上递减，能够体现在上先递增后递减的图象只有D选项. 故选：D. 6. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 7. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 8. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据是定义在上的偶函数，易得在上也是偶函数，再根据时，，得到在上单调递减，在上单调递增，然后结合，利用其单调性求解. 【详解】令， 因为是定义在上的偶函数， 则， 所以在上也是偶函数. 又因当时， 有， 则对成立， 所以在上单调递减； 由偶函数性质得在上单调递增， 且. 当时，由，得， 即， 解得； 当时，由，得， 即， 解得. 综上所述，不等式的解集是 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的求导法则和复合函数求导的方法即可得到答案. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C. 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】对于A，由于区域,两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确， 对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂， 故共有种涂法，B正确； 对于C，当时，涂有种， 当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误； 对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂， 故共有种涂法， 当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有， 只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法， 综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确， 故选：ABD 11. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可 【详解】对于A，，令，得，有“巧值点”； 对于B，，令， 如图，作出函数，的图象， 结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”； 对于C，， 令，即，得，无解，无“巧值点”； 对于D，，令，得， 令，则， 所以函数在上为增函数， 又， 所以函数在上有唯一零点， 即方程在上有解， 即有“巧值点”. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数. 【答案】6 【解析】 【分析】用列举法写出所有四位数可得． 【详解】满足题意的四位数有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6个， 故答案为：6. 13. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接求导代入得，再求出切点和斜率即可得到切线方程. 【详解】由题：，所以， ，所以，所以，，，， 所以切线方程为，即. 故答案为： 14. 曲率在数学上是表明曲线在某一点弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为_____；C上任一点处曲率的最大值为_____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先求处的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用导数求函数的最小值，即可求解曲率的最大值. 【详解】，，，， ,所以曲线在点处的曲率为； 上任一点处的，， ， 得（舍）或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，此时曲率取得最大值，最大值为. 故答案为：； 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人. （1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）18 （2）360 （3）119 【解析】 【分析】（1）根据分类加法计数原理即可求解； （2）根据分步乘法计数原理即可求解； （3）根据分步乘法、分类加法计数原理即可求解； 【小问1详解】 分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法； 第二类，从二组中选1人，有4种方法； 第三类，从三组中选1人，有5种方法； 第四类，从四组中选1人，有6种方法. 所以不同的选法共有种方法. 【小问2详解】 分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长， 所以不同的选法共有种方法； 【小问3详解】 分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有种方法； 第二类，从一、三组中各选1人，有种方法； 第三类，从一、四组中各选1人，有种方法； 第四类，从二、三组中各选1人，有种方法； 第五类，从二、四组中各选1人，有种方法； 第六类，从三、四组中各选1人，有种方法； 所以不同的选法共有种方法. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入求导，令即可得到其极值； （2）求导得，再对分和讨论即可； （3）求导得，再对分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ，令，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 则其在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 18. 如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面. （1）若是的中点，证明:； （2）求二面角的余弦； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解， （2）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解， （3）根据线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 连接，因为三角形是正三角形，且是的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为四边形是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则， 可得，则，所以. 小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则， 又二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点，点为的中点. 19. 已知函数. （1）当时，判断函数的零点个数； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，若函数有两个极值点、，求证：. 【答案】（1）个 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （2）直接验证，分、两种情况讨论，结合分离参数法以及导数法求出实数的取值范围； （3）求导，分析可知，函数在上有两个不等的零点，利用二次方程根的分布求出的取值范围，结合韦达定理可得出，其中，然后利用导数分析函数在上的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为，， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在区间内存在唯一零点， 所以，函数在定义域内存在唯一零点. 【小问2详解】 因为， 当时，则，由可得， 令，其中，则，令可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，则； 当时，则，由可得， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且当时，，此时，， 综上所述，实数取值范围是. 【小问3详解】 因为，其中， 则， 因为函数有两个极值点，则函数在上有两个不等的实根， 则，解得， 所以， ， 令，其中，则， 所以，函数上单调递减，则，故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉兴市第五高级中学高二年级 阶段性检测数学试题卷 （2025.03） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 3. 为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 4. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 5. 函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 6. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C D. 10. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 11. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数. 13. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______________. 14. 曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为_____；C上任一点处曲率的最大值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人. （1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？ 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，面积为，求b，c的值． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上的最小值是，求的值. 18. 如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面. （1）若是的中点，证明:； （2）求二面角的余弦； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 19. 已知函数. （1）当时，判断函数的零点个数； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，若函数有两个极值点、，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$