精品解析：四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题

高2023级高二（下）3月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. -6 B. 6 C. 10 D. -10 2. 函数在区间内可导，且若，则（ ） A. B. C. D. 不确定 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 3或－3 5. 等差数列前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 9 6. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为18 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知等比数列的前项和为，则 B. 已知等差数列的前项和为，且，，则 C. 已知数列满足，，则 D. 设，则 11. 已知曲线，则（ ） A. 直线与曲线相切 B. 若直线与曲线相切，则 C. 当曲线与曲线都相切时， D. 当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和满足，则______. 13. 已知函数，则______. 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 （1）求数列和的通项公式； （2）令求数列的前n项和； 16. 已知数列{}的首项，且满足． （1）证明是等比数列，并求数列通项公式； （2）记，求{}前n项和． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在区间上不单调，求取值范围. 19. 已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. （1）求数列通项公式； （2）设由构成的新数列为是等差数列，求的值； （3）对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二（下）3月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. -6 B. 6 C. 10 D. -10 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到数列是以，公差d=2的等差数列求解. 【详解】因为， 所以数列是以，公差d=2的等差数列， 所以 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的定义及运算，属于基础题. 2. 函数在区间内可导，且若，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数定义计算可得结果. 【详解】根据导数定义可得： . 故选：B 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知函数的图象，应用导函数正负和函数单调性的关系即可判断各个选项. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 4. 若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 3或－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】由题意，又数列的奇数项同号，即，所以． 故选：B． 5. 等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 6. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在等差数列中，，得出，结合通项公式，即可得到的值. 【详解】等差数列和中， ， 所以，设等差数列和的公差分别为， 则，且， 所以. 故选：A 7. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 详解】当时，， 当时，， 当时，适合上式，所以， ， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以， 综上，， 又因为不等式恒成立，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据等差数列定义分析判断；对于B：根据等差数列的函数特征分析判断；对于C：根据前项和的定义分析判断；对于D：根据等差数列的求和公式结合的符号性分析判断. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，且， 可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，可知等差数列的公差， 所以等差数列为递减数列，即，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：当时，；当时，； 即， 当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，， 所以当时，的最小值为18，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知等比数列的前项和为，则 B. 已知等差数列的前项和为，且，，则 C. 已知数列满足，，则 D. 设，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A 求出通项，即可得出公比，再利用即可计算出；B利用等差数列的前项和的性质，也为等差数列；C构造等比数列即可；D先求，再利用倒序相加求和. 【详解】A，时，，，则， 则数列从第二项起为等比数列，且公比为3， 又，，且数列为等比数列， 则，得，故A错误； B，数列等差数列，则也为等差数列， 则，得，故B正确； C，，则，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 即，故C正确； D，， 令， 则， 两式相加得，故，故D正确. 故选：BCD 11. 已知曲线，则（ ） A. 直线与曲线相切 B. 若直线与曲线相切，则 C. 当曲线与曲线都相切时， D. 当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得. 【详解】选项A：联立和2，得， 所以直线与曲线相切，故A正确； 选项B：由，得，由，得，故B错误； 选项C：由，得，令，得， 则，所以切线方程为，即，则， 令，得，则， 所以切线方程为，即，则， 所以，故C正确； 选项D：当时，，令， 则，设过原点的直线与曲线切于点， 则切线方程为， 将原点代入得，整理得， 则，解得或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和满足，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第n项与前n项和的关系求得答案. 【详解】数列中，由，得 故答案为：8 13. 已知函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先求导，再令，即可求解 【详解】由， 可得：， 令，可得：， 所以， 故答案：1 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可. 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 （1）求数列和的通项公式； （2）令求数列的前n项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果； （2）分组求和即可. 【小问1详解】 设的公差为, 由已知,有解得， 所以的通项公式为, 的通项公式为. 【小问2详解】 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：. 16. 已知数列{}的首项，且满足． （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求{}的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）对于两边取倒数，可推得，结合等比数列的通项公式，求得答案； （2）由（1）求得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， ， 所以， 即是等比数列， 则的首项为，公比为3，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）得：， 所以①， ②， ①－②得 , 所以. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，计算，，由此可得结果. （2）求导，讨论、、时导函数的正负，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，， ∴，， ∴切线方程为，整理得，. 小问2详解】 函数定义域为. ∵， ∴， 由得，或. 当，即时，，在上为增函数. 当，即时，由得，或，由得，， ∴在，上为增函数，在上为减函数. 当，即时，由得，或，由得，， ∴在，上为增函数，在上为减函数. 综上得，当时，在上为增函数； 当时，在，上为增函数，在上为减函数； 当时，在，上为增函数，在上为减函数. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在区间上不单调，求的取值范围. 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求单调区间； （2）分析可得：对恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算； （3）分析可得：，使得成立，根据零点问题结合二次函数分析运算； 【小问1详解】 若，则， 可得的定义域为，且， 令，则，令，则， 故的单调减区间为，单调增区间为； 【小问2详解】 ∵，则， 若函数在区间上单调递增，等价于对，恒成立， 可得对恒成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）可得：， 若函数在区间上不单调，等价于，使得， 可得，使得成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. 19. 已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设由构成的新数列为是等差数列，求的值； （3）对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，13. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，进而求出，再由等差数列求出值. （3）由（1）（2）求出，并用裂项相消法求和求出及，再探讨的性质并求出最大项即得. 【小问1详解】 等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$