第2章 教考衔接2 平面向量与三角形的“四心”(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[对应学生用书P75] 一、真题展示 (全国卷)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) (注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) A．重心　外心　垂心　 B．重心　外心　内心 C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心 二、真题溯源 (教材P132习题2－6B组第4题)已知点O为△ABC所在平面内一点，且满足||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2.求证：点O是三条高线的交点． 三、类法探究 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的新颖别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力． 类型一　平面向量与三角形的重心 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ(＋)(λ≥0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [解析]　因为动点P满足＝＋λ(＋)(λ≥0)，所以＝λ(＋)，取BC中点D(图略)，则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D． [答案]　D 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①＋＋＝0；②＝(＋＋)；③动点P满足＝λ(＋)或＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的重心． 类型二　平面向量与三角形的外心 在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 [解析]　如图所示，设线段BC的中点为D， 则＋＝2， ∵2－2＝2·， ∴(＋)·(－)＝2·， ∴·(＋－2)＝0， ∴·＝0，即MD⊥BC且平分BC． 因此动点M形成图形必经过△ABC的外心，故选C． [答案]　C 设O是△ABC的外心，则有以下结论：①||＝||＝||⇔2＝2＝2；②(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0；③若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则O是△ABC的外心． 类型三　平面向量与三角形的垂心 P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　由·＝·， 得·－·＝0， 即·(－)＝0， 即·＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D． [答案]　D 设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①·＝·＝·；②||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2；③动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的垂心． 类型四　平面向量与三角形的内心 若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即为经典的“奔驰定理”．若△ABC的三边为a，b，c，有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　∵＝＋，＝＋， ∴a·＋b·＋c· ＝a·＋b(＋)＋c(＋) ＝(a＋b＋c)·＋b·＋c·＝0， ∴＝， ∵，分别是，方向上的单位向量， ∴向量＋平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，∴O为△ABC的内心，故选B． [答案]　B 设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①||＋||＋||＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长)；②动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的内心． [跟踪训练] 1．(2024·山师附中高一期末)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．△ABC的外心 解析　取AB的中点D，则2＝＋.因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋.又＋＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 答案　C 2．(多选题)(2024·湖北三市高一下联考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，垂心为H，重心为G，且AB＝2，AC＝3，则下列说法正确的是(　　) A．·＝0 B．·＝－ C．·＝ D．＝＋＋ 解析　如图，因为H为垂心，所以AH⊥BC，则·＝0，A正确．设D是BC的中点，连接OD，GD，因为G为重心，O为外心，所以A，G，D三点共线，OD⊥BC， 所以·＝·＝×(＋)·(－)＝(2－2)＝×(32－22)＝，B错误；由B的分析过程得·＝(＋)·＝·＝，C正确；由AH∥OD，得＝＝2，所以AH＝2OD，所以－＝＝2＝＋，即＝＋＋，D正确．故选ACD． 答案　ACD 3．已知点G是△ABC内任意一点，若点D是△ABC的底边BC的中点，满足·＝·，则点G可能通过△ABC的________(填：重心、内心、垂心或外心)． 解析　由·＝·⇔·－·＝0⇔·(－)＝0，·＝0. 答案　外心 4．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝________. 解析　设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝(＋)＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$