2.3.1 向量的数乘运算(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3．1　向量的数乘运算 学业标准 素养目标 1．掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义．(重点) 2．掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算．(难点) 1．通过向量数乘的定义、几何意义的学习，培养直观想象等核心素养． 2．通过向量的线性运算，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P55] 导学1　向量的数乘运算的定义 甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？ [提示]　甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的倍． ◎结论形成 1．数乘运算的定义及几何意义 定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向__相同__； 当λ＜0时，向量λa与向量a的方向__相反__； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝　|λ||a|　. 这种运算称为向量的数乘． 几何意义： 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在__原方向__伸长或缩短为原来的 __λ__倍； 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在__反方向__伸长或缩短为原来的__|λ|__倍． 2．向量的单位化 一个非零向量除以__它的模(乘它的模的倒数)__的结果是一个与原向量同方向的单位向量，即，这一过程称为向量的单位化． 导学2　数乘运算的运算律 数乘运算的运算律(1)和(3)有什么区别？ [提示]　在(λ＋μ)a＝λa＋μ a中，是对实数λ，μ的分配，用几何图形反映出来是在同一方向上，向量a之间的变化；在λ(a＋b)＝λa＋λb中，是对两个向量a，b进行的分配，反映在图形中(特别是右式)表现出是三角形法则求和． ◎结论形成 设λ，μ为实数，a，b为向量，数乘运算的运算律为： (1)(λ＋μ)a＝　λa＋μa　； (2)λ(μa)＝　(λμ)a　； (3)λ(a＋b)＝　λa＋λb　. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同．(　　) (2)－的长度是a的长度的，且－与a方向相反．(　　) (3)若λ＝0，则λa等于零．(　　) (4)若λ＝，则λa是与a同向的单位向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　　 B．a C．a－6b D．a－8b 解析　原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 答案　D 3．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　) A． B． C．2 D． 解析　＋＋＝0， ＋＋＝0， ∴＋＝2.故选C． 答案　C 4．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析　因为C在线段AB上，且＝， 所以与方向相同，与方向相反， 且＝，＝， 所以＝，＝－. 答案　　－ [对应学生用书P56] 题型一　向量的线性运算 (1)化简下列各式． ①3(6a＋b)－9； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)． (2)解关于x，y的方程组 [解析]　(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (2)由x－4y＝2b，可得x＝4y＋2b， 代入2x＋3y＝a，可得2(4y＋2b)＋3y＝a， 于是8y＋4b＋3y＝a，解得y＝a－b， 再代入x＝4y＋2b，可得x＝a＋b. 故方程组的解是 向量的线性运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [触类旁通] 1．(1)化简：； (2)已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，试用向量a，b表示向量x，y. 解析　(1)原式＝ ＝ ＝＝a－b. (2)由题意知3x－2y＝a，① －4x＋3y＝b.② 由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b. 代入①，得3(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b. 题型二　用已知向量表示其他向量一题多变 如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b　　　　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b [答案]　D [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示. 解析　因为DG∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 又DF＝OD＝×BD＝BD， 所以＝＝， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 2．(变条件、变结论)本例中，若点F为边AB的中点，设a＝，b＝，用a，b表示. 解析　如图所示，由题意 解得 所以＝－＝a＋b. [素养聚焦]　通过用已知向量对其他向量的表示，突出考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量与已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． [触类旁通] 2．(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ (2)已知在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. 解析　(1)∵E是AD的中点，∴＝－， ∴＝＋＝－＋， 又∵D为BC的中点， ∴＝(＋)，因此＝－(＋)＋＝－，故选A． (2) ∵M，N分别是DC，BC的中点， ∴MN綊BD． ∵＝－＝e2－e1， ∴＝2＝2e2－2e1. 又∵AO是△AMN的中线， ∴＝(＋)＝e2＋e1. 答案　(1)A　(2)略 题型三　向量之间的线性关系 　如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，说明＋＋与的关系． [解析]　＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝－＋ ＝＋＝－. 即向量＋＋与向量共线且方向相反，长度是的长度的. 研究两向量关系的实质就是能否用其中一个向量表示另一个向量．基本方法如下所示 [触类旁通] 3．(多选题)(2024·辽宁东港二中高一期中)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．||＝||＝|| B．＋＋＝0 C．＝＋ D．＝＋ 解析　如图，M为△ABC的重心，D为BC的中点，三角形的重心到三个顶点的距离不一定相等，A错误；＝2＝2×(＋)＝＋，则＋＋＝0，B正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，C正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，D错误． 答案　BC [缜密思维提能区]　易错辨析 因平面几何性质的应用不准确而致误 如图，点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示. [错解]　如图①，连接BE并延长，交CD于点G，连接AG，因为点E是AC的中点，所以四边形 ABCG是平行四边形，所以＝，所以＝＋＝b＋a. 又EF是△BGD的中位线， 所以＝＝－. 所以＝－(a＋b)． [正解]　如图②，取AB的中点P，连接EP，FP. 在△ABC中，EP是中位线， 所以＝＝a. 在△ABD中，FP是中位线， 所以＝＝－＝－b. 在△EFP中， ＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)． [纠错心得] 用向量求解与平面几何有关的问题时，需准确把握图形的几何性质． 知识落实 技法强化 1．向量数乘运算的定义及几何意义． 2．向量的线性运算及运算律. 1．与已知向量a(a≠0)共线的单位向量有两个． 2．用已知向量(注意选取)表示未知向量. 学科网（北京）股份有限公司 $$