2.2 从位移的合成到向量的加减法(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§2　从位移的合成到向量的加减法 学业标准 素养目标 1．理解向量加(减)法的定义，会用向量加(减)法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和(差)．(难点) 2．会用向量加法的运算律进行向量的加(减)法运算．(重点) 1．通过向量加(减)法的定义，三角形法则、平行四边形法则的应用，培养直观想象等核心素养． 2．通过向量加(减)法的运算，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P52] 导学1　向量的加法 某人从A地经B地到C地，两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的关系如何？ [提示]　结果相同，即＋＝. ◎结论形成 1．向量加法的定义 求两个向量__和__的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则、三角形法则 名称 图示 作图方法 平行 四边 形法 则　 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作__▱ABCD__，则有向线段　　表示的向量即为向量a与b的和，记作　a＋b　 三角 形法 则　 如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为__起点__，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的__和__ 3．两个共线向量的和 若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向__一致__，大小为两个向量大小__之和__；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与__模较大__的向量方向一致，大小为两个向量大小差的__绝对值__． [导学点睛]　互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 4．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝　b＋a　. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋　(b＋c)　. 导学2　向量的减法 在数的运算中，减法可以看作加法的逆运算，那么向量的减法与向量的加法有什么关系？ [提示]　向量的减法是向量的加法的逆运算． 即a－b＝a＋(－b)． ◎结论形成 1．向量减法的定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的__相反向量__，即a－b＝　a＋(－b)　. 2．几何意义 如图，如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是　a－b　. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＋＋＝.(　　) (2)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．(　　) (3)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量．(　　) (4)向量与向量是相反向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在△ABC中，D是BC边上的一点，－等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝. 答案　C 3．(多选题)下列式子能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．－＋ D．＋－ 解析　对于A，有＋＋＝；对于B，有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C，有(－)＋＝＋＝；只有D无法化简为. 答案　ABC 4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________. 解析　若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2|a|＝2. 答案　0　2 [对应学生用书P53] 题型一　向量加(减)法的几何作图一题多解 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解析]　证法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 证法二　如图②所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 连接OC，则＝a＋b－c. 求作几个已知向量的和或差的方法 (1)作两向量的和向量 ①将两个向量的起点平移到同一点O，作平行四边形，利用平行四边形法则得到和向量． ②利用三角形法则，依次平移两个向量，并让它们首尾相接． (2)作两向量的差向量 将两个向量的起点平移到同一点O，连接两向量终点，指向被减向量． (3)作多个向量的和或差时，应先确定作图顺序，再依次完成． [触类旁通] 1．如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 解析　如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量，则向量即为所求作的向量a－b－c. 题型二　向量加(减)法的运算一题多变 (1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． (2)化简：(－)＋(－)＝________. (3)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________. [解析]　(1)＋－－ ＝－＋－＝＋ ＝－＋＝0.故选A． (2)原式＝＋＋－＝＋－＝. (3)由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. [答案]　(1)A　(2)　(3)a＋c－b [母题变式] 1．(变结论)在本例(1)中化简(＋)－(＋)． 解析　因为＝，所以||＝||， 故||＝||，＋＝0， 原式＝(－)＋(－)＝＋＝0. 2．(变结论)在本例(3)中，若＝d，试用b，c，d表示向量a. 解析　a＝b＋＝b＋＝b＋d－c＝b－c＋d. 1．化简向量加(减)法的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 2．化简与图形相关的向量运算 首先，要利用向量加(减)法的运算法则、运算律；其次，要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算． [触类旁通] 2．(2024·枣庄高一月考)如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是(　　) A．－＝ B．－＝0 C．－＝ D．＋＝ 解析　－＝，A错误；－＝，B错误；－＝＋＝，C正确；＋＝＝－，D错误． 答案　C 题型三　向量加(减)法的综合应用 　如图，四边形ABCD是平行四边形，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示，； (2)当向量a，b满足什么条件时，四边形ABCD是矩形？ (3)当向量a，b满足什么条件时，四边形ABCD是菱形？ [解析]　(1)由运算法则可得＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以要使四边形ABCD是矩形，应满足||＝||，即|a＋b|＝|b－a|. (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使四边形ABCD是菱形，应满足||＝||，即|a|＝|b|. [素养聚焦]　本题考查向量加法、减法的应用，突出考查直观想象等核心素养． 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示． [触类旁通] 3．已知△OAB中，＝a，＝b，若|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积． 解析　如图所示，任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝2，所以||＝||＝2，且＝a＋b，＝a－b，所以四边形OACB为菱形，在△OAB中，OA＝OB＝BA，所以△OAB为正三角形，|a＋b|＝||＝2，所以S△OAB＝×2×＝. [缜密思维提能区]　易错辨析 错用向量减法致错 如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，求. [错解]　因为＝＋， ＝＝－， 所以＝＋－＝r3＋r2－r1. [正解]　＝＋＝＋ ＝＋－＝r3＋r1－r2. [纠错心得] 减法口诀：共起点，两尾连，指被减．向量加减运算时，应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图象，结合图象观察将使问题更为直观． 知识落实 技法强化 1．向量的加(减)法的定义及几何意义． 2．向量加(减)法的运算. 1．数形结合． 2．向量加(减)法的几何意义在应用时起点必须相同. 学科网（北京）股份有限公司 $$