1.1 周期变化(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§1　周期变化 学业标准 素养目标 1．理解周期函数、周期、最小正周期的意义．(难点) 2．会用周期函数的定义，解决简单问题．(重点) 1．通过周期定义的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过周期定义的应用，提升直观想象等核心素养. [对应学生用书P1] 导学　周期函数 钟表的时针每12小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ [提示]　是周期变化． 已知函数f(x)的定义域为R且f(1＋x)＝f(x)，如果当x∈(0,1)时，f(x)＝x. (1)计算f(2.5)的值； [提示]　f(2.5)＝f(1＋1.5)＝f(1.5)＝f(1＋0.5)＝f(0.5)＝0.5. (2)f(x)是周期函数吗？ [提示]　是周期函数． ◎结论形成 1．周期函数、周期 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T__∈__D，且满足__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的__周期__． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． [导学点睛]　周期的本质：随着自变量的取值周期性出现相同的函数值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)满足f(0)＝f(5)＝f(10)，则它的周期T＝5.(　　) (2)若函数f(x)的周期T＝5，则f(－5)＝f(0)＝f(5)．(　　) (3)若函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 022)＝0.(　　) (4)函数的周期一定大于零．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝－1，则f(x)的周期为(　　) A．2　　　　　　 B．4 C．6 D．1 解析　∵f(x＋2)f(x)＝－1， ∴f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝f(x)． 故函数f(x)的周期为4.故选B． 答案　B 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－4x2＋2，则f的值为________． 解析　∵f(x)的周期为2， ∴f＝f＝f ＝－4×2＋2＝1. 答案　1 4．某十字路口处红绿灯亮、灭的情况如下：1 min亮绿灯，接着10 s亮黄灯，再接着1 min亮红灯，10 s 亮黄灯，1 min亮绿灯……刚开始亮绿灯时，某人正好通过路口，10 min后又回到此路口，此时应该亮________灯． 解析　红绿灯的亮、灭以140 s为一个周期，因为600＝140×4＋40，所以应该亮绿灯． 答案　绿 [对应学生用书P2] 题型一　周期函数的判断与求值问题一题多变 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x)．若当x∈(0,3]时，f(x)＝6x，则f(919)的值为________． [解析]　由f(x＋3)＝－f(x)，得 f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)， 故f(x)是周期为6的周期函数， 所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)＝6. [答案]　6 [母题变式] (变条件)若本例的条件“f(x＋3)＝－f(x)”变为“f(x)·f(x＋3)＝－1”，其他不变，则f(919)的值为______． 解析　由已知，得f(x＋3)＝－， 所以f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－＝f(x)，故函数f(x)的周期为6. 所以f(919)＝6. 答案　6 1．函数周期性的判断 利用函数的周期性定义判断函数的周期，只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，有时也可画出f(x)的图象，直观判断f(x)的周期性． 2．周期函数的常见结论 周期函数y＝f(x)， (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a＞0)，则函数的周期为2a. (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则函数的周期为2a. (3)若f(x＋a)＝－(a＞0)，则函数的周期为2a. [触类旁通] 1．(2024·郑州市第一次质量预测)设f(x)是R上的奇函数且满足f(x－1)＝f(x＋1)，当0≤x≤1时，f(x)＝5x(1－x)，则f(－2 024.6)＝(　　) A．0.84 B．0.7 C．－1.6 D．－1.2 解析　由f(x－1)＝f(x＋1)，可得f(x)＝f(x＋2)，所以T＝2是函数f(x)的周期，又f(x)是R上的奇函数，所以f(－2 024.6)＝－f(2 024.6)＝－f(2×1 012＋0.6)＝－f(0.6)＝－1.2.故选D． 答案　D 题型二　周期函数的图象与性质 定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2. (1)画出函数f(x)在区间[－2,2]上的图象，并求其单调区间、零点、最大值； (2)求f(x)在区间[2n－1,2n＋1]上的解析式，其中n∈Z. [解析]　∵f(1＋x)＝－f(x)， ∴f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数． (1)当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，作出其图象． 又2是f(x)的周期， ∴当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)，作出其图象． 同理利用x∈[0,2]上的图象可得x∈[－2,0]上的图象． 由图象可知，当x∈[－2,2]时，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1,2]， 单调递减区间为[－2，－1]，[0,1]， 零点分别为－1,1，最大值为1. (2)当x∈[2n－1,2n＋1]时， 即2n－1≤x≤2n＋1， ∴－1≤x－2n≤1，∴f(x－2n)＝1－(x－2n)2. 又2是f(x)的周期，n∈Z， ∴f(x－2n)＝f(x)， 即当x∈[2n－1,2n＋1]时，f(x)＝1－(x－2n)2. [素养聚焦]　在利用函数的周期性研究图象和性质的过程中，主要提升直观想象等核心素养． 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，因此往往先研究函数一个周期上的性质． [触类旁通] 2．周期函数y＝f(x)的图象如图所示． (1)求函数f(x)的周期； (2)求f(x)在区间[2n－1,2n＋1]上的解析式，其中n∈Z. 解析　(1)由f(x)的图象知，f(x)的周期为2. (2)当x∈[2n－1,2n＋1]时， 可得x－2n∈[－1,1]，由f(x)的图象知， 当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－|x|， 又f(x)的周期为2，且n∈Z， ∴f(x)＝f(x－2n)＝1－|x－2n|. 题型三　周期性与奇偶性、对称性的综合 (多选题)已知f(x)(x∈R)为偶函数，且f＝f恒成立．当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则下列四个命题中，正确的是(　　) A．f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z) B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．当x∈[－3，－2]时，f(x)＝－x D．当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1| [解析]　由f＝f，得f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)，A正确； 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(x＋2)就是f(－x)＝f(x＋2)，即f(1－x)＝f(1＋x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，B不正确； 根据偶函数的对称性，C显然正确； 当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]， 则f(x)＝f(x＋4)＝x＋4，即f(x)＝x＋4； 当x∈(－1,0]时，x－2∈(－3，－2]， 则f(x)＝f(x－2)＝2－x，即f(x)＝2－x，故D正确． 故选ACD． [答案]　ACD 解决有关周期性、对称性、奇偶性的综合问题，通常采用定义法由已知推证未知的性质，对于选择题、填空题也可采用数形结合，特殊图象得到其他结论，进一步求解． [触类旁通] 3．(多选题)(2024·盐城高一期中)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f为偶函数，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)图象关于直线x＝－1对称 B．g＝0 C．g(x)的最小正周期为4 D．对任意x∈R都有f＝f(x) 解析　由f(x)的对称中心为，对称轴为x＝1，则f(x)也关于直线x＝－1对称且f(x)＝f(2－x)，A、D正确， 由A分析知：f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)的周期为4， 则g＝f＝f(0)＝0，B正确； 但不能说明f(x)最小正周期为4，C错误；故选ABD． 答案　ABD 知识落实 技法强化 1．周期、周期函数的意义． 2．周期函数的求值及综合运用. 1．注意求函数值时，切忌直接代入解析式，必须通过周期进行转化． 2．化归与转化、数形结合. 学科网（北京）股份有限公司 $$