（九大易错点+八大培优点）第四单元分数的意义和性质（4）约分通分和分数和小数的互化-五年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第四单元 分数的意义和性质（4） 约分通分和分数和小数的互化 思维导图 易错讲解 易错点1：约分不彻底 题目：将约分。 易错点2：通分找错最小公倍数 题目：通分和。 易错点3：最简分数判断失误 题目：判断是否为最简分数。 易错点4：异分母分数比较大小，通分后比较错误 题目：比较和的大小。 易错点5：约分过程中分子分母除以不同数 题目：约分。 易错点6：通分过程中分子未同步变化 题目：通分和。 易错点7：分数与小数互化时，小数位数确定错误 题目：把化成小数。 易错点8：小数化分数，分母确定错误 题目：把0.35化成分数。 易错点9：判断最简分数能否化成有限小数，忽略分母质因数情况 题目：判断能否化成有限小数。 易错点10：约分通分在实际问题中，数量关系分析错误 题目：有两根绳子，一根长24米，另一根长36米，要把它们剪成同样长的小段且无剩余，每段最长是多少米？可以剪成几段？ 重难点培优 分母调整问题（分子不变型） 核心特征：分子不变，分母变化 解题方法： 通分使两个新分数同分子 比较分母变化量 反推出原分母 典例：将一个分数的分母减去2再约分得 ，如果将它的分母加上1再约分，则得 。求这个分数。 1.将一个分数的分母加上2再约分得 ，分母加上3再约分得 。原来的分数是多少？ 2.将一个分数的分母加上3再约分得 ，分母加上2再约分得 。原来的分数是多少？ 3.将一个分数的分母加上5再约分得 ，分母加上4再约分得 。原来的分数是多少？ 4.将一个分数的分母减去9再约分得 ，分母减去6再约分得 。原来的分数是多少？ 分子双变问题（分母不变型） 典例：在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求原来的最简分数。 1.一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求这个分数。 2.一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求这个分数。 3.一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求这个分数。 分母递变问题（分子不变型） 核心特征：分母经过多次不同变化后均可约分，分子始终保持不变 解题方法： 确认分子为不变量 将各次变化后的分数通分为同分子形式 建立分母变化量的关系 通过最小公倍数确定倍数关系 反推出原分母值 验证各次变化后的约分结果 典例：将一个分数的分母加3再约分得 ，分母加5再约分得 。原分数是多少？ 1.一个分数，将它的分母加5再约分得 ，加8再约分得 。原来的分数是多少？ 2.将一个分数的分母减去3，约分后得 。若将它的分母减去5，约分后得 。原来的分数是多少？ 3.把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于 。原来的分数是多少？ 把分子变成相同的数进行比较分数大小 先找出两个分数分子的最小公倍数，将两个分数的分子都化为这个最小公倍数对应的数值。再依据“分子相同，分母大的分数反而小”的性质，比较转化后两个分数分母的大小，进而确定原分数的大小关系。 典例：比较和的大小。 1.比较和的大小。 2.比较和的大小。 3.比较和的大小。 把分数化成小数比较分数大小 用分数的分子除以分母，将分数转化为小数形式。按照小数大小的比较规则，先比较整数部分，整数部分大的小数大；若整数部分相同，接着比较十分位，十分位大的小数大；若十分位也相同，再比较百分位，以此类推，从而判断出分数的大小。 典例：比较和的大小。 1.比较和的大小。 2.比较和的大小。 3.比较和的大小。 找中间量比较大小 选取合适的中间量（如、1等常见分数），分别把要比较的两个分数与中间量进行比较，判断出两个分数与中间量的大小关系，通过这种间接方式得出两个分数之间的大小关系。 典例：比较和的大小。 1.比较和的大小。 2.比较和的大小。 3.比较和的大小。 用分数的基本性质找分数 把给定两个分数的分子分母同时扩大相同倍数（从2倍、3倍等开始尝试），在扩大后的两个分数区间内，筛选出符合条件（如最简真分数等要求）的分数。 典例：写出三个大于而小于的最简真分数。 1.写出三个大于而小于的最简真分数。 2.写出三个大于而小于的最简真分数。 3.写出三个大于而小于的最简真分数。 分数单位拆分：按形式拆分 （按形式拆分）：确定原分数单位分母的值作为公式中的，将代入公式右边，计算得出拆分后的两个不同分数单位的和。 典例：将下列各分数写成两个不同分数单位的和。 (1) (2) (3) (4) 1.将下列分数写成两个不同分数单位的和。 2.把写成两个不同分数单位的和， 3.按照的形式， — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第四单元 分数的意义和性质（4） 约分通分和分数和小数的互化 思维导图 易错讲解 易错点1：约分不彻底 题目：将约分。 【错误解答】： 【错因分析】：对最简分数的概念理解不透彻，没有把分子分母约到只有公因数1。的分子分母还有公因数2，不是最简形式。 【正确解答】： 易错点2：最简分数判断失误 题目：判断是否为最简分数。 【错误解答】：是 【错因分析】：对最简分数的定义掌握不牢，的分子分母还有公因数2，不是最简分数。 【正确解答】：否，不是最简分数。 易错点3：异分母分数比较大小，通分后比较错误 题目：比较和的大小。 【错误解答】：通分后，，所以 【错因分析】：通分过程正确，但比较通分后的分子大小时出现错误，没有正确比较分子大小。 【正确解答】：通分后，，因为，所以 易错点4：约分过程中分子分母除以不同数 题目：约分。 【错误解答】： 【错因分析】：没有正确运用分数的基本性质，约分要分子分母同时除以相同的数（0除外），这里除以了不同的数。 【正确解答】： 易错点5：通分过程中分子未同步变化 题目：通分和。 【错误解答】：3和7的最小公倍数是21 ，， 【错因分析】：通分依据理解错误，通分是根据分数基本性质，分子分母要同时乘相同的数，这里通分过程中分子未乘7。 【正确解答】：3和7的最小公倍数是21 ，， 易错点6：分数与小数互化时，小数位数确定错误 题目：把化成小数。 【错误解答】：（末尾多写了一个0） 【错因分析】：对分数化小数的结果准确性把握不好，没有理解小数末尾0的意义，在结果中多写了无意义的0。 【正确解答】： 易错点7：小数化分数，分母确定错误 题目：把0.35化成分数。 【错误解答】： 【错因分析】：没有掌握小数化分数的方法，0.35是两位小数，分母应该是100，而不是10。 【正确解答】： 易错点8：判断最简分数能否化成有限小数，忽略分母质因数情况 题目：判断能否化成有限小数。 【错误解答】：能化成有限小数 【错因分析】：没有正确掌握判断方法，14分解质因数为，分母含有2和5以外的质因数7，所以不能化成有限小数。 【正确解答】：不能化成有限小数 易错点9：约分通分在实际问题中，数量关系分析错误 题目：有两根绳子，一根长24米，另一根长36米，要把它们剪成同样长的小段且无剩余，每段最长是多少米？可以剪成几段？ 【错误解答】：求24和36的最小公倍数是72，所以每段最长72米，米，除不尽（对题意理解错误，用错知识点） 【错因分析】：没有理解实际问题的本质，这里是求24和36的最大公因数，而不是最小公倍数。 【正确解答】：24和36的最大公因数是12，所以每段最长12米。段，即可以剪成5段。 重难点培优 分母调整问题（分子不变型） 核心特征：分子不变，分母变化 解题方法： 通分使两个新分数同分子 比较分母变化量 反推出原分母 典例：将一个分数的分母减去2再约分得 ，如果将它的分母加上1再约分，则得 。求这个分数。 【答案】： 【解析】：因为两次变化后分子不变，把和化成分子相同的分数。 先对进行转化， ； 。 此时两个分数分子都是12，是分母加上1得到的，那么原分母就是 ；是分母减去2得到的，原分母也可以是 。 所以这个分数是 。 【总结】：遇到这类分子不变的分数问题，把两个分数化成分子相同的分数，再根据分母的变化情况求出原分母，进而得到原分数。 1.将一个分数的分母加上2再约分得 ，分母加上3再约分得 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：由于分子不变，把和化成分子相同的分数。 ， 。 是分母加上2得到的，原分母就是 ；是分母加上3得到的，原分母也为 。 所以原来的分数是 。 2.将一个分数的分母加上3再约分得 ，分母加上2再约分得 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：因为分子不变，把和化成分子相同的分数。 ， 。 是分母加上3得到的，原分母是 ；是分母加上2得到的，原分母也是 。 所以原来的分数是 。 3.将一个分数的分母加上5再约分得 ，分母加上4再约分得 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：鉴于分子不变，把和化成分子相同的分数。 ， 。 是分母加上5得到的，原分母是 ；是分母加上4得到的，原分母也是 。 所以原来的分数是 。 4.将一个分数的分母减去9再约分得 ，分母减去6再约分得 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：因为分子不变，把和化成分子相同的分数。 ， 。 是分母减去9得到的，原分母是 ；是分母减去6得到的，原分母也是 。 所以原来的分数是 。 分子双变问题（分母不变型） 典例：在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求原来的最简分数。 【答案】： 【解析】：先把和化成分母相同的分数， ， 。 两个新分数分子相差 ，这是加上（或减去）的同一个数的2倍，所以加上（或减去）的数是 。 那么原分子就是 ，原分数分母是14 。为了得到最简分数，分子分母同时乘2，原分数就是 。 【总结】：这类题要先把两个新分数化为同分母分数，通过分子差找到加上或减去的数与分子差的倍数关系，求出这个数，进而得到原分数分子，再确定分母得出原最简分数。 1.一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求这个分数。 【答案】： 【解析】：把和化成分母相同的分数， 。 两个新分数分子相差 ，加上（或减去）的数是 。 原分子是 ，原分数分母是8 。分子分母同时乘2，这个分数就是 。 2.一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求这个分数。 【答案】： 【解析】：将和化成分母相同的分数， ， 。 两个新分数分子相差 ，加上（或减去）的数是 。 原分子是 ，这个分数是，约分后为 。 3.一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 。求这个分数。 【答案】： 【解析】：把和化成分母相同的分数， ， 。 两个新分数分子相差 ，加上（或减去）的数是 。 原分子是 ，这个分数是，约分后为 。 分母递变问题（分子不变型） 核心特征：分母经过多次不同变化后均可约分，分子始终保持不变 解题方法： 确认分子为不变量 将各次变化后的分数通分为同分子形式 建立分母变化量的关系 通过最小公倍数确定倍数关系 反推出原分母值 验证各次变化后的约分结果 典例：将一个分数的分母加3再约分得 ，分母加5再约分得 。原分数是多少？ 【答案】： 【解析】：因为两个新分数分子相同，把和化成分子相同的分数。 ， ，但此时分母相差 ，而实际分母应相差 。 所以分子分母同时乘2，得到 ， 。 原分母就是 ，原分数是 。 【总结】：对于这类分母变化的分数问题，当新分数分子相同时，先化成分子相同的分数，再根据分母变化关系求出原分母，进而得到原分数。 1.一个分数，将它的分母加5再约分得 ，加8再约分得 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：把和化成分子相同的分数， ， ，此时分母相差 ，实际分母应相差 。 分子分母同时乘3， ， 。 原分母是，原分数是，约分后为 。 2.将一个分数的分母减去3，约分后得 。若将它的分母减去5，约分后得 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：把和化成分子相同的分数， ， ，分母相差 ，实际分母相差 ，但这里刚好符合（因为是分母减少）。 原分母是，原分数是，约分后为 。 3.把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于 。原来的分数是多少？ 【答案】： 【解析】：把和化成分子相同的分数， ， ，分母相差 ，实际分母相差 。 分子分母同时乘11， ， 。 原分母是，原分数是，约分后为 。 把分子变成相同的数进行比较分数大小 先找出两个分数分子的最小公倍数，将两个分数的分子都化为这个最小公倍数对应的数值。再依据“分子相同，分母大的分数反而小”的性质，比较转化后两个分数分母的大小，进而确定原分数的大小关系。 典例：比较和的大小。 【答案】： 【解析】：先把分子变成相同的数，和的最小公倍数是 。 ， 。 分子相同，分母越大分数越小，因为 ，所以 ，即 。 【总结】：当两个分数分子分母都不同时，可通过求分子的最小公倍数，将分子化为相同，再根据“分子相同，分母大的分数小”来比较大小。 1.比较和的大小。 【答案】： 【解析】：和的最小公倍数是 。 ， 。 因为 ，所以 ，即 。 2.比较和的大小。 【答案】： 【解析】：和互质，最小公倍数是 。 ， 。 因为 ，所以 ，即 。 3.比较和的大小。 【答案】： 【解析】：和的最小公倍数是 。 ， 。 因为 ，所以 ，即 。 把分数化成小数比较分数大小 用分数的分子除以分母，将分数转化为小数形式。按照小数大小的比较规则，先比较整数部分，整数部分大的小数大；若整数部分相同，接着比较十分位，十分位大的小数大；若十分位也相同，再比较百分位，以此类推，从而判断出分数的大小。 典例：比较和的大小。 【答案】： 【解析】：把分数化成小数， ， 。 因为 ，所以 。 【总结】：对于一些分子分母较简单的分数，可通过将分数化为小数，再根据小数大小比较的方法来确定分数的大小关系。 1.比较和的大小。 【答案】： 【解析】： ， 。 因为 ，所以 。 2.比较和的大小。 【答案】： 【解析】： ， 。 因为 ，所以 。 3.比较和的大小。 【答案】： 【解析】： ， 。 因为 ，所以 。 找中间量比较分数大小 选取合适的中间量（如、1等常见分数），分别把要比较的两个分数与中间量进行比较，判断出两个分数与中间量的大小关系，通过这种间接方式得出两个分数之间的大小关系。 典例：比较和的大小。 【答案】： 【解析】：找中间量 。 与比较， ， ，因为 ，所以 ； 与比较， ， ，因为 ，所以 。 所以 。 【总结】：当两个分数不易直接比较大小时，可找一个合适的中间量（如 、等常见分数），分别与这两个分数比较大小，从而间接得出两个分数的大小关系。 1.比较和的大小。 【答案】： 【解析】：找中间量 。 与比较， ，因为 ，所以 ； 与比较， ，因为 ，所以 。 所以 。 2.比较和的大小。 【答案】： 【解析】：找中间量 。 与比较， ， ，因为 ，所以 ； 与比较， ， ，因为 ，所以 。 所以 。 3.比较和的大小。 【答案】： 【解析】：找中间量 。 与比较， ，因为 ，所以 ； 与比较， ， ，因为 ，所以 。 再找中间量 ，与比较， ，因为 ，所以 ； 与比较， ，因为 ，所以 。 所以 。 用分数的基本性质找分数 把给定两个分数的分子分母同时扩大相同倍数（从2倍、3倍等开始尝试），在扩大后的两个分数区间内，筛选出符合条件（如最简真分数等要求）的分数。 典例：写出三个大于而小于的最简真分数。 【答案】：可以是、、（【答案】不唯一）。 【解析】：先把和的分子分母同时扩大。 比如同时扩大倍， ， ，此时中间有但不是最简； 扩大倍， ， ，中间有、 ，是最简真分数； 扩大倍， ， ，中间有、是最简真分数等。 【总结】：要找介于两个分数之间的最简真分数，可通过将两个分数的分子分母同时扩大相同倍数，在扩大后的分数区间内寻找符合条件的分数。 1.写出三个大于而小于的最简真分数。 【答案】：、、（【答案】不唯一） 【解析】：把和分子分母同时扩大。 扩大倍， ， ，中间有不是最简； 扩大倍， ， ，找到 ； 扩大倍， ， ，找到 等。 2.写出三个大于而小于的最简真分数。 【答案】：、、（【答案】不唯一） 【解析】：将和分子分母同时扩大。 扩大倍， ， ，中间有非最简分数； 扩大倍， ， ，找到 ； 扩大倍， ， ，找到 等。 3.写出三个大于而小于的最简真分数。 【答案】：、、（【答案】不唯一） 【解析】：把和分子分母同时扩大。 扩大倍， ， ，中间有非最简分数； 扩大倍， ， ，找到 ； 扩大倍， ， ，找到 等。 分数单位拆分：按形式拆分 （按形式拆分）：确定原分数单位分母的值作为公式中的，将代入公式右边，计算得出拆分后的两个不同分数单位的和。 典例：将下列各分数写成两个不同分数单位的和。 (1) (2) (3) (4) 【答案】 (1)； (2)； (3)； (4)。 【解析】 根据公式： (1)对于，这里，则； (2)对于，这里，则； (3)对于，这里，则； (4)对于，这里，则。 【总结】本次主要学习了分数单位的拆分中按形式进行拆分的方法，通过确定公式中的的值，代入公式计算出拆分后的两个不同分数单位的和，在拆分过程中要准确运用公式进行计算。 1.将下列分数写成两个不同分数单位的和。 【答案】 【解析】根据公式，这里，则。 2.把写成两个不同分数单位的和， 【答案】 【解析】由公式，当时，。 3.按照的形式， 【答案】 【解析】根据公式，其中，那么 。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$