（同步讲练篇）第二单元 （长方体的认识、展开图及表面积）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（北师大版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 长方体（一） （长方体的认识、展开图及表面积） 【考点1】长方体和正方体的认识及特征 3 【考点2】长方体和正方体有关棱长的应用 4 【考点3】长方体和正方体的展开图 5 【考点4】长方体和正方体表面积的计算 6 【考点5】长方体和正方体表面积的应用 7 【考点6】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 8 【考点1】长方体和正方体的认识及特征 考点详述 1.长方体有 6 个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同；有 12 条棱，相对的棱长度相等；有 8 个顶点。 2.正方体有 6 个面，都是完全相同的正方形；有 12 条棱，每条棱的长度都相等；有 8 个顶点。正方体是特殊的长方体。 【思路点拨】 在认识长方体和正方体特征时，可通过观察实物、模型等方式，从面、棱、顶点三个方面去分析和记忆。对于长方体面的特殊情况以及正方体与长方体的关系要重点理解。 典型例题 一个长方体的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，高是 4 厘米，这个长方体的 6 个面中最大面的面积是多少平方厘米？最小面的面积是多少平方厘米？ 解题过程 长方体 6 个面中，相对的面面积相等，面积计算公式为“长×宽” “长×高” “宽×高”。 最大面的面积：（平方厘米） 最小面的面积：（平方厘米） 练习题 1.一个正方体的棱长是 5 厘米，它的一个面的面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的长、宽、高分别是 10 分米、8 分米、6 分米，这个长方体中最大面与最小面的面积差是多少？ 3.用一根 48 厘米长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【考点2】长方体和正方体有关棱长的应用 考点详述 1.长方体的棱长总和 =（长 + 宽 + 高）× 4 ，可以根据这个公式，在已知棱长总和以及其中两个棱的长度时，求出第三个棱的长度。 2.正方体的棱长总和 = 棱长× 12 ，已知正方体的棱长总和，可以求出其棱长；反之，已知棱长也能求出棱长总和。 【思路点拨】 首先要牢记长方体和正方体棱长总和的计算公式，当遇到相关问题时，分析已知条件和所求问题，看是直接运用公式计算，还是需要对公式进行变形后再计算。 典型例题 用一根 96 厘米长的铁丝围成一个长方体框架，已知长方体的长是 12 厘米，宽是 7 厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 解题过程 根据长方体棱长总和公式，长方体的高 = 棱长总和÷4 - 长 - 宽。 （厘米） 练习题 1.一个长方体的棱长总和是 80 厘米，长是 10 厘米，高是 4 厘米，求宽是多少厘米？ 2.一个正方体的棱长总和是 60 厘米，它的棱长是多少厘米？ 3.要制作一个棱长是 8 厘米的正方体框架，至少需要多长的铁丝？ 【考点3】长方体和正方体的展开图 考点详述 1.长方体和正方体的展开图是将立体图形的表面沿某些棱剪开后平铺得到的平面图形。长方体的展开图有多种形式，但相对的面在展开图中是隔开的；正方体展开图有 11 种基本形式，同样相对的面不相邻。 2.通过展开图可以进一步理解长方体和正方体的面与面之间的关系，并且能根据展开图还原成立体图形。 【思路点拨】 可以通过实际操作，如用纸张制作长方体和正方体并剪开，观察展开图的特征。在判断展开图能否折成正方体或长方体时，重点关注相对面的位置关系。 典型例题 一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是（    ）。 A．好 B．有 C．趣 解题过程 分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的"1－3－2"型，折成正方体后，“数”与“有”相对，“学”与“玩”相对，“好”与“趣”相对，据此解答。 详解：由分析可得：一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是有。 故答案为：B 练习题 1.下面四个图形中，不能折叠成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2.如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是( )，4的相对面是( )，5的相对面是( )。 3.如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A与( )相对，C与( )相对。 【考点4】长方体和正方体表面积的计算 考点详述 1.长方体的表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2 ，是长方体 6 个面的面积之和。 2.正方体的表面积 = 棱长×棱长× 6 ，由于正方体 6 个面完全相同，所以用一个面的面积乘以 6 即可得到表面积。 【思路点拨】 计算长方体表面积时，要准确找到长、宽、高，分别算出三个不同面的面积，再根据公式计算。计算正方体表面积时，关键是确定棱长，然后代入公式。 典型例题 一个长方体的长是 5 分米，宽是 4 分米，高是 3 分米，求它的表面积是多少平方分米？ 解题过程 根据长方体表面积公式： （平方分米） 练习题 1.一个正方体的棱长是 6 厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的长是 8 米，宽是 5 米，高是 2 米，求它的表面积。 3.一个正方体的表面积是 150 平方分米，它的棱长是多少分米？ 【考点5】长方体和正方体表面积的应用 考点详述 在实际生活中，经常会遇到需要计算长方体或正方体表面积的问题，如粉刷房间、制作包装盒等。但有些情况下不需要计算 6 个面的面积，要根据具体情况分析需要计算哪些面的面积。 【思路点拨】 首先要明确实际问题的情境，确定哪些面是需要计算面积的，哪些面不需要计算。然后根据长方体和正方体表面积的计算方法进行求解。 典型例题 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长是 5 分米，宽是 3 分米，高是 4 分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 解题过程 因为鱼缸无盖，所以只需要计算 5 个面的面积，即一个底面和四个侧面的面积。 （平方分米） 练习题 1.要给一个棱长是 3 米的正方体水池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 2.制作一个长 2 米，宽 0.8 米，高 1.2 米的长方体通风管，需要多少平方米的铁皮？（通风管两端开口） 3.一个长方体的游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 2 米，要在游泳池的内壁和底面抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【考点6】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 考点详述 1.把一个长方体或正方体切割成几个小长方体或正方体时，表面积会增加。增加的表面积就是切割面的面积，每切一刀会增加两个切割面的面积。 2.把几个长方体或正方体拼合成一个大的长方体或正方体时，表面积会减少。减少的表面积就是重合面的面积，每拼一次会减少两个重合面的面积。 【思路点拨】 在分析切拼问题时，要清楚切割或拼接的方式，确定增加或减少的面的形状和数量，然后根据面的面积公式计算表面积的变化。 典型例题 把一个棱长是 4 厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 解题过程 切成两个长方体，增加了两个正方形的面，正方形面的面积为平方厘米，增加的表面积为平方厘米。 练习题 1.把两个棱长是 3 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2.把一个长 8 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体，沿着水平方向切成两个小长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 3.把三个棱长为 2 分米的正方体，拼成一个大长方体，大长方体的表面积比原来三个正方体的表面积之和减少了多少平方分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 长方体（一） （长方体的认识、展开图及表面积） 【考点1】长方体和正方体的认识及特征 3 【考点2】长方体和正方体有关棱长的应用 4 【考点3】长方体和正方体的展开图 4 【考点4】长方体和正方体表面积的计算 7 【考点5】长方体和正方体表面积的应用 8 【考点6】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 9 【考点1】长方体和正方体的认识及特征 考点详述 1.长方体有 6 个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同；有 12 条棱，相对的棱长度相等；有 8 个顶点。 2.正方体有 6 个面，都是完全相同的正方形；有 12 条棱，每条棱的长度都相等；有 8 个顶点。正方体是特殊的长方体。 【思路点拨】 在认识长方体和正方体特征时，可通过观察实物、模型等方式，从面、棱、顶点三个方面去分析和记忆。对于长方体面的特殊情况以及正方体与长方体的关系要重点理解。 典型例题 一个长方体的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，高是 4 厘米，这个长方体的 6 个面中最大面的面积是多少平方厘米？最小面的面积是多少平方厘米？ 解题过程 长方体 6 个面中，相对的面面积相等，面积计算公式为“长×宽” “长×高” “宽×高”。 最大面的面积：（平方厘米） 最小面的面积：（平方厘米） 练习题 1.一个正方体的棱长是 5 厘米，它的一个面的面积是多少平方厘米？ 答案：（平方厘米） 解析：正方体每个面都是正方形，正方形面积 = 棱长×棱长，所以一个面的面积为平方厘米。 2.一个长方体的长、宽、高分别是 10 分米、8 分米、6 分米，这个长方体中最大面与最小面的面积差是多少？ 答案：（平方分米） 解析：先分别算出最大面（长×宽）和最小面（宽×高）的面积，再求差。 3.用一根 48 厘米长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 答案：（厘米） 解析：正方体有 12 条棱且长度相等，铁丝的长度就是正方体的棱长总和，所以用棱长总和除以 12 可得棱长。 【考点2】长方体和正方体有关棱长的应用 考点详述 1.长方体的棱长总和 =（长 + 宽 + 高）× 4 ，可以根据这个公式，在已知棱长总和以及其中两个棱的长度时，求出第三个棱的长度。 2.正方体的棱长总和 = 棱长× 12 ，已知正方体的棱长总和，可以求出其棱长；反之，已知棱长也能求出棱长总和。 【思路点拨】 首先要牢记长方体和正方体棱长总和的计算公式，当遇到相关问题时，分析已知条件和所求问题，看是直接运用公式计算，还是需要对公式进行变形后再计算。 典型例题 用一根 96 厘米长的铁丝围成一个长方体框架，已知长方体的长是 12 厘米，宽是 7 厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 解题过程 根据长方体棱长总和公式，长方体的高 = 棱长总和÷4 - 长 - 宽。 （厘米） 练习题 1.一个长方体的棱长总和是 80 厘米，长是 10 厘米，高是 4 厘米，求宽是多少厘米？ 答案：（厘米） 解析：根据长方体棱长总和公式变形，用棱长总和除以 4 后，依次减去长和高，得到宽。 2.一个正方体的棱长总和是 60 厘米，它的棱长是多少厘米？ 答案：（厘米） 解析：由正方体棱长总和公式，用棱长总和除以 12 即可求出棱长。 3.要制作一个棱长是 8 厘米的正方体框架，至少需要多长的铁丝？ 答案：（厘米） 解析：根据正方体棱长总和公式，用棱长乘以 12 得到所需铁丝的长度。 【考点3】长方体和正方体的展开图 考点详述 1.长方体和正方体的展开图是将立体图形的表面沿某些棱剪开后平铺得到的平面图形。长方体的展开图有多种形式，但相对的面在展开图中是隔开的；正方体展开图有 11 种基本形式，同样相对的面不相邻。 2.通过展开图可以进一步理解长方体和正方体的面与面之间的关系，并且能根据展开图还原成立体图形。 【思路点拨】 可以通过实际操作，如用纸张制作长方体和正方体并剪开，观察展开图的特征。在判断展开图能否折成正方体或长方体时，重点关注相对面的位置关系。 典型例题 一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是（    ）。 A．好 B．有 C．趣 解题过程 分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的"1－3－2"型，折成正方体后，“数”与“有”相对，“学”与“玩”相对，“好”与“趣”相对，据此解答。 详解：由分析可得：一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是有。 故答案为：B 练习题 1.下面四个图形中，不能折叠成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 答案：B 分析：正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2—2—2”型：两两相连各错一； （4）“3—3”型：三个两排一对齐； 不能围成正方体的展开图类型： （1）一条线上不过四； （2）“田字形”“七字型”“凹字型”；据此解答。 详解：由分析可知： A.属于“2—3—1”型，能折叠成正方体； B．不属于正方体的展开图类型，不能折叠成正方体，折叠时有重叠的面； C．属于“2—3—1”型，能折叠成正方体； D．属于“1—4—1”型，能折叠成正方体。 故答案为：B 2.如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是( )，4的相对面是( )，5的相对面是( )。 答案： 6 1 2 分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方形展开图的“2－2－2”型，并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此判断即可。 详解：由分析可得： 通过对展开图的观察，1和4在对面，3和6在对面，剩下的2和5在对面。 综上所述：如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是6，4的相对面是1，5的相对面是2。 3.如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A与( )相对，C与( )相对。 答案： F E 分析：据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，根据特征进行判断即可。 详解：由分析可得： 该展开图中，折成正方体后，“A”和“F”相对，“B”和“D”相对，“C”和“E”相对。 综上所述：A与F相对，C与E相对。 【考点4】长方体和正方体表面积的计算 考点详述 1.长方体的表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2 ，是长方体 6 个面的面积之和。 2.正方体的表面积 = 棱长×棱长× 6 ，由于正方体 6 个面完全相同，所以用一个面的面积乘以 6 即可得到表面积。 【思路点拨】 计算长方体表面积时，要准确找到长、宽、高，分别算出三个不同面的面积，再根据公式计算。计算正方体表面积时，关键是确定棱长，然后代入公式。 典型例题 一个长方体的长是 5 分米，宽是 4 分米，高是 3 分米，求它的表面积是多少平方分米？ 解题过程 根据长方体表面积公式： （平方分米） 练习题 1.一个正方体的棱长是 6 厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 答案：（平方厘米） 解析：根据正方体表面积公式，代入棱长 6 厘米进行计算。 2.一个长方体的长是 8 米，宽是 5 米，高是 2 米，求它的表面积。 答案：（平方米） 解析：先算出三个不同面的面积，再根据长方体表面积公式计算。 3.一个正方体的表面积是 150 平方分米，它的棱长是多少分米？ 答案：设棱长为分米，²，²，（分米） 解析：根据正方体表面积公式列出方程，求解得到棱长。 【考点5】长方体和正方体表面积的应用 考点详述 在实际生活中，经常会遇到需要计算长方体或正方体表面积的问题，如粉刷房间、制作包装盒等。但有些情况下不需要计算 6 个面的面积，要根据具体情况分析需要计算哪些面的面积。 【思路点拨】 首先要明确实际问题的情境，确定哪些面是需要计算面积的，哪些面不需要计算。然后根据长方体和正方体表面积的计算方法进行求解。 典型例题 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长是 5 分米，宽是 3 分米，高是 4 分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 解题过程 因为鱼缸无盖，所以只需要计算 5 个面的面积，即一个底面和四个侧面的面积。 （平方分米） 练习题 1.要给一个棱长是 3 米的正方体水池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 答案：（平方米） 解析：水池底面是一个正方形，四周有四个相同的正方形面，分别计算后相加。 2.制作一个长 2 米，宽 0.8 米，高 1.2 米的长方体通风管，需要多少平方米的铁皮？（通风管两端开口） 答案：（平方米） 解析：通风管两端开口，只需要计算四个侧面的面积。 3.一个长方体的游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 2 米，要在游泳池的内壁和底面抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 答案：（平方米） 解析：先计算底面面积，再计算四个侧面的面积，最后相加。 【考点6】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 考点详述 1.把一个长方体或正方体切割成几个小长方体或正方体时，表面积会增加。增加的表面积就是切割面的面积，每切一刀会增加两个切割面的面积。 2.把几个长方体或正方体拼合成一个大的长方体或正方体时，表面积会减少。减少的表面积就是重合面的面积，每拼一次会减少两个重合面的面积。 【思路点拨】 在分析切拼问题时，要清楚切割或拼接的方式，确定增加或减少的面的形状和数量，然后根据面的面积公式计算表面积的变化。 典型例题 把一个棱长是 4 厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 解题过程 切成两个长方体，增加了两个正方形的面，正方形面的面积为平方厘米，增加的表面积为平方厘米。 练习题 1.把两个棱长是 3 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 答案：两个正方体拼成长方体，减少了两个面。一个正方体一个面的面积是平方厘米，两个正方体的表面积总和是平方厘米，拼成长方体后表面积是平方厘米。 解析：先算出两个正方体的表面积总和，再减去减少的两个面的面积。 2.把一个长 8 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体，沿着水平方向切成两个小长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 答案：沿着水平方向切，增加的是两个长为 8 厘米、宽为 6 厘米的长方形的面，增加的表面积为平方厘米。 解析：确定切割面的形状和尺寸，计算增加的面积。 3.把三个棱长为 2 分米的正方体，拼成一个大长方体，大长方体的表面积比原来三个正方体的表面积之和减少了多少平方分米？ 答案：拼一次减少两个面，拼两次共减少个面，一个面的面积是平方分米，所以减少的表面积是平方分米。 解析：明确拼接次数和减少面的数量，计算减少的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$