陕西省榆林市府谷县第一中学2025届高三仿真模拟考试（五）数学试题

2025届高三仿真模拟考试（五） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数：=3+2i,则 (1-i02= A.3-3i B.3+3i C- D.+ 2.已知集合A={xly=ln(4-x)},B=(1,2,3,4,5},则A∩B= A.(5) B.{1,2,3) C.1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 3.已知点A,B,C是直线1上相异的三点，0为直线1外一点，且2OA=3O+xO元，则A的 值是 A.-1 B.1 c- 吃 4,若圆(x一a)2十(y一a)2=9上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 A.(-4,4) B.(-3,3) C.(-2√2-1,2√2+1) D.(-22,-√2)U(W2,2√2) 5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三 角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为9√2π，则该圆锥的体积为 A.6√2π B.42π C.32r D.9x 6,抛物线y=x:的焦点到双曲线？一一=1的渐近线的距离为 A.12 & 6 c唱 仿真模拟考试（五）数学试题第1页（共4页） CS扫描全能王 手亿人都在用的行猫Ap的 7.已知函数f(x)=2.x'十4x,且a+b<0,则f(a)+f(b)的值是 A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定符号 8.已知函数f(x),g(x)的定义域均是R,且满足f(4十x)+f(-x)=0,g(0)=g(2)=1,g(x+y)十 g(x一y)=g(x)f(y),则下列结论中正确的是 A.f(x)为奇函数 B.g(x)为偶函数 C.g(-1-x)=g(-1十x) D.g(1-x=g(1+x) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知互不相等的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的 方差为si,平均数为x1:去掉的两个数据的方差为s,平均数为x2:原样本数据的方差为s2, 平均数为x.若x1=x2,则 A.I=I1 B.10s*=9si+s C.剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D.剩下18个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 10.已知函数f(x)=|cos2x|+cos|x|,有下列四个结论，其中正确的结论为 Af(x)的图象关于y轴对称 B.π不是f(x)的一个周期 Cfu)在区间[受，]上单调递诚 D当：，引时，：的值城为[侣] 11.已知x1,x2,x,是函数f(x)=x3-ax十1的三个零点(a>0,x1<x,<x),则 A.a33 2 B.x1<0<x2 C.f'(x1)=f'(x) D.()(()0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若x+a)+) 的展开式中x的系数为9，则a的值为 仿真模拟考试（五）数学试题第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的归猫Ap中 n一1，n为奇数， 13.已知数列(a,}满足a.= 其前n项和为S.,则S1o= n,n为偶数， 14.点F,F:分别为双曲线C:一，京=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2作斜率为-3的 3的直 线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点.若△F:AB为以AB为底边的等腰三角形， 则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a一c=√2b,b2+ac=a2十c2. (1)求角C; (2)若△ABC的面积为3+ 2,求c. 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC,且AB=AC,A1B=A1C. (1)证明：AA1⊥平面ABC: (2)若AA,=BC=2,∠BAC=90°，求平面A,BC与平面A1BC1的夹角的余弦值. 17.(15分)尼知精圆C:号+兰=1a>6>0)的离心率为号左，右顶点分别为AB,点P,Q 为椭圆上异于A,B的两点，△PAB面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,kz,且3k1=5k2,求证：直线PQ经过定点， 配2共，心 CS扫描全能王 子亿人都在用的归猫Ap中 18.(17分)已知函数f(x)=-】-lnr+ag (a∈R). (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)当a>0时，讨论f(r)的单调性： (3)若x>1,fx)≤1一x一相成立，求a的取值范围. 19.(17分)已知有限数列{a,》,从数列{am}中选取第i1项、第i2项，…，第i。项(i1<i2<…< i.),顺次排列构成数列(b.},其中b:=a,,1≤k≤m,则称新数列(b,}为{a,}的长度为m的 子列.规定：数列{a.}的任意一项都是(a.}的长度为1的子列：若数列(a,}的每一子列的所 有项的和都不相等，则称数列{an}为完全数列.设数列{a.}满足a,=n,1≤n≤25，n∈N”. (1)判断下面数列{a.)的两个子列是否为完全数列，并说明理由. 数列①：3,5,7,9,11；数列②：2,4,8,16. (2)数列{a,}的子列{b.}的长度为m,且(b.)为完全数列，证明：m的最大值为6. (数列a,的子列6，的长度m=5,且6，为完全数列，求+云+片+后+的量 大值. 仿真模拟考试（五）数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 子亿人都在用的归猫Ap中2025届高三仿真模拟考试（五） 数学参考答案及评分意见 1D【折1因为=3+么，所以=3么期-己3生-2+号故选D 2.B【解析】A={xy=n(4-x)}={xx<4},则A∩B={1,2,3.故选B. 3.A【解析12O=3O丽+A0元，即O=O元+之元.因为点A,B,C是直线1上相异的三点.即点A.B.C三 点共线.所以2+-1，解得入=一1放选A 4.D【解析】平面内到原点的距离为1的点的轨迹的方程为x2十y=1, 设圆(x一a)+(y一a)=9的圆心为C,则圆(x一a)2+(y一a)2=9上恰有两个点到原点的距离为1， 等价于圆C与圆x+y”=1相交，即2<√a+a<4,∴a∈(-22，一√2)U(W2,22),故选D. 5.D【解析】设该直角圆锥的底面半径为r,母线长为1，高为h.因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以 (2r)=十12→l=√2r,因为直角圆锥的侧面积为9√2x,所以9√2π=πrl→9√2π=πr·√2r→r=3,即1= 3厄.因此=V个-7=18-9=3，所以该直角圆维的体积为写h=号×xX9X3=9x,故选D 1 6A【解折1由抛物线y=,得其焦点坐标为0}又双曲线号-苦-1的新近线方程为y=士厅，即士反x- 1 。出 y=0,则由点到直线的距离公式得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d= √2+1 2故选A 7B【解析】由题得函数f(x)的定义域为R,且f(一x)=-2.x一4x=一f(x),所以函数f(.x)是奇函数.因为函 数y=2.,y=4.x都是增函数，所以函数f(x)也是增函数（提示：增函数十增函数=增函数）.因为a十b<0,所 以a<-b,所以f(a)<f(-b),所以f(a)-f(-b)<0,所以f(a)+f(b)<0.故选B. 8.D【解析】令x=y=O,代人g(x+y)+g(x-y)=g(x)(y),得g(0)+g(O)=g(0)f(0),又由g(0)=1.得 f(0)=2,所以f(.x)的图象不过原点，所以f(x)不是奇函数，故A错误.令x=0,y=1,代入g(x十y)十 g(x-y)=g(x)f(y),得g(1)十g(-1)=g(0)f(1)=f(1):再令x=0,y=-1.代人g(x+y)十g(x-y)= g(x)f(y),得g(-1)+g(1)=g(0)f(一1)=f(-1),由上两个式子可得f(1)=f(-1).再令x=y=1,代入 g(x十y)十g(x一y)=g(x)f(y),得g(2)+g(0)=g(1)f(1),因为g(0)=g(2)=1,所以g(1)f(1)=2,即 g(1)≠0.f(1)≠0，结合上式可知f(-1)≠0.令x=-2,代入f(4+x)+f(-x)=0,得f(2)=0:再令x=0,y=2,代 入g(x十y)+g(x-y)=g(x)f(y),得g(2)+g(-2)=g(0)f(2)=0,可知g(-2)=-1:再令x=y=-1,代人 g(x+y)+g(x一y)=g(x)f(y),得g(-2)+g(0)=g(-1)f(-1),由上式可知，g(-1)f(-1)=0,结合 f(一1)≠0，所以g(一1)=0，因为g(一1)=0，g(1)≠0，所以g(x)不可能为偶函数，故B错误，令x=一1，代入 g(x十y)+g(x-y)=g(x)f(y),得g(-1十y)+g(-1-y)=g(-1)f(y)=0,由上式可知，g(-1+x)十 g(-1一x)=0,故C错误.再把x用-x+2替换，代入g(-1十x)+g(-1-x)=0,得g(1一x)十g(x一3)= 0:再令y=2,代人g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),得g(x+2)+g(x-2)=g(x)f(2)=0,从而可知g(x+ 1)十g(x-3)=0,结合g(1一x)十g(x-3)=0可得，g(1-x)=g(1十x),故D正确.故选D. 9.AB【解析1对A:因为x=18,十2运，且，=元，所以x=18,十2红=21，故A正确 20 20 仿真模拟考试（五）数学答案第1页（共7页） 对B:设20个数据按从小到大的顺序排列为x1x,x,x0,则 -点+++)--+).因为-=元 所以9si+si=2(r+ri++xi)-9z+2(xi+x)-=2(ri+x+xr+…+xi+x)-l0r= 0[品++写+中品+)-F]小-10放B正角 对C:剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为”十L,是相等的，故C错误。 2 对D:因为18×22%=3.96，所以剩下18个数据的22%分位数为x:又20×22%=4.4，所以原样本数据的 22%分位数也是x:,故D错误.故选AB. 10.ABD【解析】函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=cos(-2.x)|+cos一x=|cos2.x|+cosx|=f(x),所 以∫(x)是偶函数，图象关于y轴对称，A正确： (}=m(引+-引=1（吾+小o+o-专-号-0≠(}所以x 不是∫(x)的一个周期，B正确： 1cos2a+eosx=0>f(）C错误： 当r0]时fx)=s2+s=2or+sr-1=2(sr+)- 当ze(经]时fr)=-ms2z+os=-2ox+os+1=-2os-)八+8 又0<s号所以)e(停】等上，当e-引时)e[侣.D正跑放法Am 11.ABD【解析】因为f'(x)=3x2-a2,又a>0, 由f'(x)>0→x< >由f)0<< 3 3 3 所以质数在(，停+小上单调增，在（，上单到政 }… 因为函数f(x)有三个零点，所以 a'3B3 ,放A正确 } 又因为x1<x:<xa,所以x1< 34<0.-3 <<且f0)-1>0, 所以0<工<气4，放<0<，成立，放B正确 因为函数f(x)有三个零点x1x2x,所以可设f(x)=(x一x1)(x一x:)(x一xa), 仿真模拟考试（五）数学答案第2页（共7页） 则f'(x)=(x-x1)(x-x:)十(x-x1)(x-x)十(x-x:)(x-x8), 所以f'(x)=(x,-x)(x1-x),f'(x:)=(x-x)(x:-x),f'(x)=(x-x1)(xa-x:). 若f'(x1)=f'(x).则(，x1-x:)(x1-x3)=(x:-x)(xa-x:)→2x:=x1十x 由B可知x:>0,可设x1=t-d,x=t,x:=t十d(1>0,d>0), 则f(x)=[.x-(t-d)](x-t)[x-(t+d)门=x-3t.x+(3-d2)x-t2+dt. 由31=0=1=0，这与t>0矛盾，所以f'(x1)=f'(x:)不成立，故C错误， 1 因为T+了）+了x=(红，-)，-)+(，)：)+，-tx,- (x,-)-(x,-x)+(x一)=0，故D成立.故选ABD, (x1一x:)(t1-xa)(x2-x:) 12.1 【解折r+oe+)广=r(+)+a…(e+),(+) 展开式的通项T1=C·x() Cx“-“.当8一2r=6时，r=1,此时x“的系数为C:当8-2r=8时，r=0,此时x的系数为C8. 所以+a)(e+) 的展开式中x8的系数为Cg+aCg=8+a=9,解得a=1. 13.5000 【解折15m=(a1十a+…+an)+(a,十a4十+am)=50X(0+98》+50X(2+10)=500. 2 2 14.√2【解析】由题可得|F,A|=|F,B|.如图，取AB的中点M.连接F,M,则F,MLAB. 设|F,A|=|F,B|=t,则1FB|=t-2a.F.A=1+2a,所以lAB|=(t+2a)-(t-2a)=4a, 所以|MB=2a. 因为直线AB的斜率为-后.所以∠MF,R,-吾 又|F,F:|=2c,所以|MF:|=3c,MF,=c, 则|F,B=|MFg-|MB|=3e-2a,所以F,B|=2a+F,B=3c. 在R△F,BM中，MF,+MB=F,B,即c2+(2a)=(3c),解得￡=√2，即双曲线C的离心率e=2. 15,解：)由6+ac=a2+c和余弦定理，得co5B=0+c-b-ar=1 2ac 2ac2 因为0<B<,所以B= 3· …2分 又由2a-c=√2b和正弦定理，得2sinA-sinC=2sinB, 即2an[-(+csinc=sn即2sn-c小-sc- 2, √2 整理得cosC 2 ………5分 仿真模拟考试（五）数学答案第3页（共7页） 因为0<C<,所以C=」 41 …6分 (2)因为△ABC的面积为2 acsin B=3ac3十23所以ae=2(3+1).①…8分 ae= 5π 曲E孩定理地立任+}-，便-@ sin C …10分 sin 4 式联立可得，2=23+)，解得c=2。……………………… 16.(1)证明：如图，取BC的中点M,连接MA,MA1, 因为AB=AC,A1B=A1C,所以BC⊥AM,BC⊥A,M.…2分 因为AM,A,MC平面A,MA,且AM∩A,M=M, 所以BC⊥平面A,MA. 因为A,AC平面A1MA,所以BC⊥A:A. 又因为A1A∥BB,所以B1B⊥BC.……4分 因为平面BB,C,C⊥平面ABC,平面BB,C,C∩平面ABC=BC,且B,BC平面BB,C,C, 所以BB平面ABC.…6分 因为A,A∥B,B,所以AA1⊥平面ABC.……………7分 (2)解：方法一：因为∠BAC=90°，且BC=2,所以AB=AC=√2. 由(1)及∠BAC=90可得，直线AB,AC,AA,两两垂直，以AB,AC,AA,所在直线分别为x轴，y轴、≈轴，建 立如图所示的空间直角坐标系A一xy2,则A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0N2,0),C:(0,2,2). 所以A1B=(2,0,-2),A,C=(0,n2,-2),A,C=(0,2,0).…9分 m·AB=0,1小W2x1-21=0, 设平面A,BC的法向量为m=(x1y1x,),则 即 m·A,C=0,2y1-2x1=0. 令1=1，则m=(W2,2,1):……11分 m·A1B=0,2x2-2:t=0, 设平面ABC的法向量为n=(x2yx:),则 即 n·AC=0,2y2=0, 仿真模拟考试（五）数学答案第4页（共7页） 令2=1，则n=(W2,0,1)…13分 m·n 设平而A1BC与平面A,BC,的夹角为0，则cos0= 3√/15 所以平面A,BC与平面A,BC,夹角的余弦值为 5 …15分 方法二：由(1)可知三棱柱ABC一A1B:C1是直三棱柱，又∠BAC=90°，所以直三棱柱ABC一A,B,C,可以补 成长方体ABDC一AB,D:C. 如图，连接CD,则平面A,BC,即平面A,BDC1.过点C作CP⊥C,D,垂足为P,再过P作PQ⊥A,B,垂足为 Q,连接C视.…………9分 C 因为BD⊥平面CDD,C,,且CPC平面CDD,C,所以BD⊥CP 又因为CP⊥CD,BD,C,DC平面A,BDC,,且BD∩C,D=D,所以CP⊥平面A,BDC. 又PQC平面A,BDC:,所以CP⊥PQ,即△CPQ为直角三角形.…1门分 因为A:BC平面A:BDC,所以A:B⊥CP. 因为CP,PQC平面CPQ,且CP∩PQ=P,所以A,B⊥平面CPQ. 因为CQC平面CPQ.所以CQ⊥A,B, 则∠CQP为平面A,BC与平面A,BC1的夹角的平面角.……13分 在△A,BC中，由等面积法可得CQ=0 3 因为PQ=A:C=2,所以cos∠CQP-Pe-压 CQ5· 、因此平面A,BC与平面A,BC夹角的余弦值为5。 15分 17.(1)解：当点P为椭圆C的短轴端点时，△PAB的面积取最大值， 1 且最大值为)1AB…b)X2ab=ab=么。……2分 a=2. a 2 由题意可得 解得b=1, ab=2, c:=a*-b, c=3, 标准方程为十yL……… (2)证明：设点P(x1y1),Q(xy:. 若直线PQ的斜率为0，则点P,Q关于y轴对称，则k,=一k,不符合题意.…7分 仿真模拟考试（五）数学答案第5页（共7页） 设直线PQ的方程为x=1y十n,由于直线PQ不过椭圆C的左、右顶点，则n≠士2. 由+， 可得(t2+4)y2+2ty十n-4=0, x8+4y2=4, 由△=4t2n2-4(12+4)(n2-4)=16(12+4一n2)>0.可得n2<12+4, 由一元二次方程根与系数的关系可得y:十y2=一 2tn n2-4 2+4yy:= 则=2(y+.…1分 布倍器-器 4-n2 2n -(y1+y:)+(n+2)y: 2-n.(2+n)(y,+y:)-2uy12-n_5 即直线PQ的方程为r-y-号，故直线PQ过定点（号，0小 …*…*…15分 18.解：1)当a=0时，fx)=-1-1n,求导得fx)=-1.则f(1)=0,…2分 又f(1)=一1，所以曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为y=一1，…4分 (2)函数f(x)的定义域为(0，+oo),求导得f'(x)=ae(r-1》+1_1-r-1)(ac-1) 当a>0时，由f'(x)=0,得x=1或x=一na,…6分 ①当0<a<。时，由f'(x)>0,得0<x<1或x>-lna,由f'x)<0,得1<r<-lna, 所以函数f(x)在(0,1)和（一lna,+co)上单调递增，在(1，一lna)上单调递减. ②当。<a<1时，由')>0，得0r<-lna或r>l,由f'x)<0,得-lna<x<1 所以函数f(x)在(0，一lna)和(1，十∞)上单调递增，在（一lna,1)上单调递减. ③当a≥1时，由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1, 所以函数f(x)在(1.十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减. ④当a=二时，f'(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增.…10分 3)当x>1时，不等式fx)≤1-x-转化为a<n1+)r e 令函数h(x)=nx-x+1Dx,求导得'(r)=1-x)nx-x+2 e ，……12分 令gr)=1n工一x+2(r>1D,求导得g'(x)=1二<0，所以函数g(x)在1，十0)上单调递减， 且g(e)=3一e>0,p(e)=4一e2<0.则函数g(x)在(e,e2)内存在唯一的零点x.…13分 当x∈(1，x)时，p(x)>0,h'(x)<0,h(x)在(1，x。)上单周递减， 当x∈(xo,+o)时，9(x)<0,h'(x)>0,h(x)在(.ro,十oo)上单调递增， 则h(x)=h(x,)=on一+1) …15分 e 又g(xo)=lnx。-xn十2=0，即xn=e-, 仿真模拟考试（五）数学答案第6页（共7页） 则h(x)=xnx一x十1D_x。e。 e -c=-e,即h(x)=-e，…16分 所以a≤一e,即实数a的取值范围为（一co,一e门.…17分 19解：(1)数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下： 数列①：因为3十9=5十7=12，所以数列①不是完全数列：……1分 数列②：因为2,4,8,16.2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24， 2+4+8=14,2+4+16=22,2+8+16=26.4+8+16=28,2+4+8+16=30, 即每一子列的所有项的和都不相等，所以数列②是完全数列。………4分 (2)假设存在完全数列{b,},其长度m满足7≤m≤25，则b,<be<<bm, 则长度为m的数列{。)的长度大于1的所有子列共有(2一m一1)个，且这(2“一m一1)个子列，各子列所有项 的和为(2"一m一1)个互不相等的正整数.……5分 设这(2"一m一1)个正整数的最小值为a=b,十b:,最大值为b, 则6的最大值为25+24十…+28-m+6,十6：=m-2)(53-m）+b,+6, 2 可得2-m-1≤[m-2(53-m》+6,+b.]-h,+,)+1=m=2)(53-m)+1. 2 2 整理得2+1十m2一57m十102≤0. 当m=7时，2+1+72-57×7+102=8>0： 当m=8时，2+1+82-57×8+102=222>0： 当m=9时，2+1+9-57×9+102=694>0： 当10≤m≤25，则2+1+m”+102≥2+1+102+102=2250,57m≤57×25=1425， 所以2m+1+m2-57m+102>2250-1425=825>0. 综上所述：当7≤m≤25时，不存在m∈N,使得2m+1+m2一57m十102≤0成立， 所以假设不成立，则m≤6。…………………8分 又长度为6的子列12,18,21,23,24,25符合题意，所以m的最大值为6.…10分 《③活。十+言+古亡取得最大值则时云公云药聚得是大值则山山山6均取释最小值 ……1】分 因为{b,}的长度m=5,且{bu}为完全数列，b,<b2<b,<b,<b, 所以b1的最小值为1，b:的最小值为2.…………12分 取b1=1.b:=2,因为b,十b:=3.所以b的最小值为4. 取b=4,因为b,十b1=5,b:+b,=6,b,+b2+ba=7,所以b,的最小值为8. 取b1=8,因为b,十b,=9,b:+b,=10,b,+b,=12,b:+b2+b,=11,b1+十b,十b1=13.b:十b1+b1=14, b1十b2十b:十b=15,所以b后的最小值为16.……………………15分 取=16，此时6山66，均取到对应的最小值，则后云石均取到对应的最大值， 1,1,1,11 11131 1=1+2 4+8+1616' 以+++石+的最大值为器 所以十6十6，五T6 …17分 仿真模拟考试（五）数学答案第7页（共7页）