专题05：数学广角——鸽巢问题（复习讲义）（解析版+学生版）-2024-2025学年六年级数学下册期中复习讲练测（人教版）

【复习讲义】2024-2025学年六年级数学下册期中复习讲练测（人教版） 专题05：数学广角——鸽巢问题 （考点梳理+知识清单+真题精讲精练） 【考点1】基础鸽巢问题 【考点2】鸽巢问题的进阶 【考点3】最不利原则——“摸同色球”问题 【考点4】最不利原则——求“至少数（总数）”问题 知识点01：鸽巢问题 1、鸽巢问题（抽屉原理） “鸽巢原理”（一）：把m个物体任意放进n个鸽巢里（m＞n，n是自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 “鸽巢原理”（二）：把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2、应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题 （1）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n＋1个物品。 （2）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了（k＋1）（k是大于0的自然数）个物品，那么至少需要有（kn＋1）个物品。 （3）（分放的物体总数－1）÷（其中一个鸽笼里至少有的物体个数－1）＝a……b（b＜a），a就是所求的鸽笼数。 3、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法： （１）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 （２）设计“鸽巢”的具体形式。 （３）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。 4、应用“鸽巢原理”解决实际问题的一般步骤： （1）构造“鸽巢”,建立“数学模型”； （2）把物体放入“鸽巢”,进行比较分析； （3）说明理由,得出结论。 考点1：基础鸽巢问题 【例1】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）把30本书放入7个抽屉里，总有一个抽屉至少有（ ）本书。 【例2】（23-24六年级下·湖南岳阳·期末）五一劳动节，有51名老人在广场上载歌载舞，欢度节日，那么至少有（ ）名老人生日在同一个月。 【例3】（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）5名客人要住进4间客房，至少有（ ）名客人要住进同一间客房。 【例4】（23-24六年级下·贵州黔西·期末）望谟县位于黔西南州东部，因布依方言“王母”谐音而得名。2024年贵州望谟“三月三”第二届乡村山地马拉松设置四个项目，共计1350人，总有一个项目至少有（ ）人参跑。 考点2：鸽巢问题的进阶 【例5】（23-24六年级下·河南郑州·期末）把26条金鱼最多放进（    ）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 A．4 B．5 C．6 D．7 【例6】（23-24六年级下·湖北武汉·期末）六（1）班有36名同学，按学号依次轮流当值日班长，这学期有22周，每人至少轮到（   ）次。 A．2 B．3 C．4 D．5 【例7】（23-24六年级下·湖南永州·期末）体育器材室有若干个足球、篮球和排球，体育老师让44名同学到体育器材室拿球，每人最少拿1个，最多拿2个，那么至少有（ ）名同学拿球的情况完全相同。 【例8】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 【例9】（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 考点3：最不利原则——“摸同色球”问题 【例10】（23-24六年级下·湖北十堰·期末）盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，至少取出（ ）个玻璃球，才能保证有2个是同色的。 【例11】（23-24六年级下·河南信阳·期中）口袋里有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其它完全相同。要保证摸出2个红球，至少一次要摸出（ ）个球。 【例12】（23-24六年级下·河南安阳·期末）有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，混合放在一个布袋里，至少取（    ）个球，能保证取到两个颜色相同的球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【例13】（23-24六年级下·河南许昌·期中）25个鸡蛋最多放进（    ）个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 A．7 B．6 C．5 D．4 【例14】（23-24六年级下·甘肃武威·期中）有大小一样的红、黄、蓝三种颜色的小球，放在一个不透明的箱子中，其中红球有3个、黄球有2个、蓝球有8个。至少摸出（ ）个球才能保证一定有两个颜色相同的小球；如果从中摸出一个球，那么摸到红球或黄球的可能性比摸到蓝球的可能性（ ）。（填“大”或“小”） 【例15】（23-24六年级下·河南三门峡·期末）六（1）班有49个同学，那么班上至少有（    ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 考点4：最不利原则——求“至少数（总数）”问题 【例16】（23-24六年级下·广东佛山·期中）育才小学六（1）班有45名学生，班里成立了一个图书角，如果保证至少有一名同学能借到3本或3本以上的课外书，图书角至少应该有（ ）本书。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【复习讲义】2024-2025学年六年级数学下册期中复习讲练测（人教版） 专题05：数学广角——鸽巢问题 （考点梳理+知识清单+真题精讲精练） 【考点1】基础鸽巢问题 【考点2】鸽巢问题的进阶 【考点3】最不利原则——“摸同色球”问题 【考点4】最不利原则——求“至少数（总数）”问题 知识点01：鸽巢问题 1、鸽巢问题（抽屉原理） “鸽巢原理”（一）：把m个物体任意放进n个鸽巢里（m＞n，n是自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 “鸽巢原理”（二）：把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2、应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题 （1）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n＋1个物品。 （2）如果有n（n是大于0的自然数）个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了（k＋1）（k是大于0的自然数）个物品，那么至少需要有（kn＋1）个物品。 （3）（分放的物体总数－1）÷（其中一个鸽笼里至少有的物体个数－1）＝a……b（b＜a），a就是所求的鸽笼数。 3、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法： （１）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 （２）设计“鸽巢”的具体形式。 （３）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。 4、应用“鸽巢原理”解决实际问题的一般步骤： （1）构造“鸽巢”,建立“数学模型”； （2）把物体放入“鸽巢”,进行比较分析； （3）说明理由,得出结论。 考点1：基础鸽巢问题 【例1】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）把30本书放入7个抽屉里，总有一个抽屉至少有（ ）本书。 【答案】5 【分析】被分放书本的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放书本的数量……剩下书本的数量，一个抽屉里至少分放书本的数量＝平均每个抽屉分放书本的数量＋1，据此解答。 【详解】30÷7＝4（本）……2（本） 4＋1＝5（本） 所以总有一个抽屉至少有5本书。 【例2】（23-24六年级下·湖南岳阳·期末）五一劳动节，有51名老人在广场上载歌载舞，欢度节日，那么至少有（ ）名老人生日在同一个月。 【答案】5 【分析】一年有12个月，把这12个月看作12个抽屉，把51名老人看作51个整体，51÷12＝4……1，由此利用抽屉原理可知，每个抽屉有4名，还余下1名，不管放哪个抽屉里，一定至少有4＋1＝5名老人相同生日。 【详解】51÷12＝4（名）……1名） 4＋1＝5（名） 根据分析可得，至少有5名老人生日在同一个月。 【例3】（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）5名客人要住进4间客房，至少有（ ）名客人要住进同一间客房。 【答案】2 【分析】根据题意，先将5名客人平均分给4间客房，每间客房住进1名客人，还剩下1名客人，这1名客人无论住进哪间客房里，总有一间客房至少有2名客人。 【详解】5÷4＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 至少有2名客人要住进同一间客房。 【例4】（23-24六年级下·贵州黔西·期末）望谟县位于黔西南州东部，因布依方言“王母”谐音而得名。2024年贵州望谟“三月三”第二届乡村山地马拉松设置四个项目，共计1350人，总有一个项目至少有（ ）人参跑。 【答案】338 【分析】根据抽屉原理，把四个项目看成四个抽屉，将总人数平均分成4份后，剩余的人数也会选择项目，那么肯定会有一个项目中的人数会至少增加一人。据此解答。 【详解】1350÷4＝337（人）……2（人） 337＋1＝338（人） 所以，总有一个项目至少有338人。 考点2：鸽巢问题的进阶 【例5】（23-24六年级下·河南郑州·期末）把26条金鱼最多放进（    ）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】抽屉原理如：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体，（2） 当n能被m整除时，k＝个物体 。抽屉原理本质是平均分配，将鱼缸数量看作抽屉，将26条金鱼平均分到m个鱼缸里，若26÷m＝k（条）……r（条），即每个鱼缸可以放入k条，还余下r条，余下r条也要放入鱼缸中，无论怎样放，至少有一个鱼缸里再放入1条，即至少有一个鱼缸里有（k＋1）条，从题意可知，k＝5－1＝4，再用26÷4，即26里有几个4就有几个鱼缸。 【详解】26÷（5－1） ＝26÷4 ＝6（个）……2（条） 把26条金鱼最多放进6个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。 故答案为：C 【例6】（23-24六年级下·湖北武汉·期末）六（1）班有36名同学，按学号依次轮流当值日班长，这学期有22周，每人至少轮到（   ）次。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】在本题中，一周有5天上学，因此本学期的总天数是（22×5），学生数是36，用除法计算并对商和余数进行分析即可得解。 【详解】22×5÷36 ＝110÷36 ＝3（次）……2（天） 每人轮3次，还余2天。则前两号同学轮4次，后面34号同学轮3次。 因此，每人至少轮到3次。 故答案为：B 【例7】（23-24六年级下·湖南永州·期末）体育器材室有若干个足球、篮球和排球，体育老师让44名同学到体育器材室拿球，每人最少拿1个，最多拿2个，那么至少有（ ）名同学拿球的情况完全相同。 【答案】5 【分析】根据题意，列出所有可能的拿球情况。拿1个球时，有足球、篮球、排球3种可能；拿2个球时，有足球和足球、篮球和篮球、排球和排球、足球和篮球、足球和排球、篮球和排球6种可能，一共9种拿球情况。然后，把这9种情况看作9个“抽屉”，将44名同学看作“物品”。接下来，用同学的数量除以抽屉的数量，即44÷9。最后，根据所得的商和余数，判断至少有多少名同学拿球情况相同，据此解答。 【详解】因为拿球的组合情况共有9种，44名同学平均分配到这9种情况中，44÷9＝4⋯⋯8，余下的8名同学不论如何分配，都会使得至少有一种情况再多1人，所以至少有5名同学拿球的情况完全相同。 【例8】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 【详解】订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 故答案为：A 【例9】（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 【答案】5 【分析】根据题意可知，先将每瓶都插（8－1）枝，用39÷（8－1）即可求出有多少个瓶子，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个瓶子，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。 【详解】39÷（8－1） ＝39÷7 ＝5（个）……4（枝） 如果鲜花有39枝，花瓶应该有5个。 考点3：最不利原则——“摸同色球”问题 【例10】（23-24六年级下·湖北十堰·期末）盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，至少取出（ ）个玻璃球，才能保证有2个是同色的。 【答案】5 【分析】根据题意，盒子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的玻璃球各5个，运气最差的情况为先取出的4个玻璃球分别是红、黄、蓝、绿各1个，再从盒子中任取一个玻璃球，此时就会出现2个同色的玻璃球。 【详解】4＋1＝5（个） 至少取出5个玻璃球，才能保证有2个是同色的。 【例11】（23-24六年级下·河南信阳·期中）口袋里有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其它完全相同。要保证摸出2个红球，至少一次要摸出（ ）个球。 【答案】5 【分析】根据题意分析，考虑最坏的情况，一次摸出的球全是黄色，则一次要摸出3个，这时，无论怎么摸，摸到的都是红球。所以，只要再多摸出2个，就能保证摸出2个红球，即至少一次要摸出3＋2＝5个球。据此解答。 【详解】3＋2＝5（个） 因此，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出5个球。 【例12】（23-24六年级下·河南安阳·期末）有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，混合放在一个布袋里，至少取（    ）个球，能保证取到两个颜色相同的球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据最不利原理，先取4个球，红、黄、蓝、白各1个，则再取1个球无论是什么颜色，都能保证取到两个颜色相同的球。 【详解】4＋1＝5（个） 则至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 故答案为：B 【例13】（23-24六年级下·河南许昌·期中）25个鸡蛋最多放进（    ）个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】要使碗的数量最多，就要使每个碗里的鸡蛋的个数最少，可以使其中一个碗放7个鸡蛋，剩下的每个都放7－1＝6个鸡蛋，据此用除法解法。 【详解】（25－1）÷（7－1） ＝24÷6 ＝4（个） 25个鸡蛋最多放进4个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 故答案为：D 【例14】（23-24六年级下·甘肃武威·期中）有大小一样的红、黄、蓝三种颜色的小球，放在一个不透明的箱子中，其中红球有3个、黄球有2个、蓝球有8个。至少摸出（ ）个球才能保证一定有两个颜色相同的小球；如果从中摸出一个球，那么摸到红球或黄球的可能性比摸到蓝球的可能性（ ）。（填“大”或“小”） 【答案】 4 小 【分析】至少摸出几个球才能保证一定有两个颜色相同的小球，也就是当摸到红球、黄球、蓝球各一个小球时，再任意摸一个颜色的小球就一定有两个相同颜色的小球；要比较摸到红球或黄球的可能性与摸到蓝球的可能性，就比较红球和黄球的数量之和与蓝球的数量，数量多的球，摸到的可能性比较大；数量比较少的，摸到的可能性小，据此解答。 【详解】当红球、黄球和蓝球各摸出一个时，任意再摸一个颜色的小球，就能保证一定有两个颜色相同的小球。 3＋1＝4（个） 因此至少摸出4个球才能保证一定有两个颜色相同的小球。 3＋2＝5（个） 因为5＜8，所以摸到红球或黄球的可能性比摸到蓝球的可能性小。 【例15】（23-24六年级下·河南三门峡·期末）六（1）班有49个同学，那么班上至少有（    ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，49个同学看作49个元素，考虑最差情况：把49个同学平均分配在12个抽屉中：49÷12＝4……1，那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。 【详解】建立抽屉：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，考虑最差情况： 49÷12＝4（个）……1（人） 4＋1＝5（个） 六（1）班有49个同学，那么班上至少有5个同学的生日在同一个月。 故答案为：B 考点4：最不利原则——求“至少数（总数）”问题 【例16】（23-24六年级下·广东佛山·期中）育才小学六（1）班有45名学生，班里成立了一个图书角，如果保证至少有一名同学能借到3本或3本以上的课外书，图书角至少应该有（ ）本书。 【答案】91 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 将书的本数看作物体个数，45名学生看作45个抽屉，根据抽屉原则二，数的本数（至少）÷学生人数＝（3－1）（本）……1（本），因此学生人数×（3－1）＋1＝图书角至少有多少本书。 【详解】3－1＝2（本） 45×2＋1 ＝90＋1 ＝91（本） 图书角至少应该有91本书。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$