高一数学期中模拟卷01（新高考地区专用，测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何表面积与体积）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期中卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B D B A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．16 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）观察函数图象，知， 解得， （2分） 函数的最小正周期，解得，（3分） 由，得，又，则，（5分） 所以的解析式为. （6分） （2）将的图象上的点先向右平移个单位长度， 得， 因此，由，得，（10分） 由，得， 所以的单调增区间是，对称中心为. （13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为E是线段AD的中点，所以. （4分） （2）证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. （6分） 由（1）可知，则，（8分） 所以，所以. （9分） （3）因为，，所以. （10分） 由（1）可知，所以. （12分） 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. （15分） 17．（15分） 【详解】（1）由， 故， 所以，所以，（3分） 由余弦定理，（5分） 因为，所以． （6分） （2）在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． （8分）    当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以，（10分） 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． 且，（12分） 在中，由正弦定理，得， 解得． 又因为为的平分线，所以．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）已知，， 所以， （2分） 所以，（3分） 因为，，则，，（4分） 因为点是的重心，所以，（6分） 因为在直线上，所以. （7分） （2），（8分） 所以， 设，由（1）得，所以 （10分） 所以 （12分） 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：， 当或时，的最大值为：，所以，（14分） 因为的对称轴为，所以在上单调递增， 又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 （17分） 19．（17分）【详解】（1）因为， 所以. （2分） （2）①因为 ， （4分） 且，，则， 所以. （6分） 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； （8分） ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， （10分） 可得， 即，可得， （12分） 又因为，可知点为的重心，则， 可得， （14分） 则， ， ， 可得， 所以. （17分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期中卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何表面积与体积。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】， 则. 故选：A. 2．已知向量，，若，则（   ） A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或2 【答案】C 【详解】若，则，解得或. 故选：C. 3．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， . 故选：D 5．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 6．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 7．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则的最大值为. 【答案】ACD 【详解】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B错误； 对于C中，由，因为，可得，即 又因为，可得， 联立方程组，可得，解得，所以C正确； 对于D中，由，可得， 因为，可得，即， 表示以为圆心，半径为的圆， 可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 11．正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ，，，，，设，， 则，，，由， 得，则，解得， 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A错误； 对于B，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，，则 ，而，当时，取得最大值为，D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 13．正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为 . 【答案】 【详解】设球的半径为.因为是球与平面交线上的动点，即平面， 在中，，， 设的中点为，连接并延长，交球于，则， ，， 此时三角形的面积最大，且最大面积为. 是球面上的动点， 要使四面体的体积最大，则点到平面的距离要最大， 当平面时，点到平面的距离最大，且最大距离. 依题意，解得. 球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 【详解】（1）观察函数图象，知， 解得， （2分） 函数的最小正周期，解得，（3分） 由，得，又，则，（5分） 所以的解析式为. （6分） （2）将的图象上的点先向右平移个单位长度， 得， 因此，由，得，（10分） 由，得， 所以的单调增区间是，对称中心为. （13分） 16．（15分）如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为E是线段AD的中点，所以. （4分） （2）证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. （6分） 由（1）可知，则，（8分） 所以，所以. （9分） （3）因为，，所以. （10分） 由（1）可知，所以. （12分） 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. （15分） 17．（15分）设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 【详解】（1）由， 故， 所以，所以，（3分） 由余弦定理，（5分） 因为，所以． （6分） （2）在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． （8分）    当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以，（10分） 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． 且，（12分） 在中，由正弦定理，得， 解得． 又因为为的平分线，所以．（15分） 18．（17分）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【详解】（1）已知，， 所以， （2分） 所以，（3分） 因为，，则，，（4分） 因为点是的重心，所以，（6分） 因为在直线上，所以. （7分） （2），（8分） 所以， 设，由（1）得，所以 （10分） 所以 （12分） 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：， 当或时，的最大值为：，所以，（14分） 因为的对称轴为，所以在上单调递增， 又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 （17分） 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【详解】（1）因为， 所以. （2分） （2）①因为 ， （4分） 且，，则， 所以. （6分） 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； （8分） ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， （10分） 可得， 即，可得， （12分） 又因为，可知点为的重心，则， 可得， （14分） 则， ， ， 可得， 所以. （17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何表面积与体积 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知向量，，若，则（   ） A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或2 3．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 7．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则的最大值为. 10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11．正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 13．正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 14．已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 16．（15分）如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 17．（15分）设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 18．（17分）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何表面积与体积 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知向量，，若，则（   ） A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或2 3．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 7．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则的最大值为. 10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11．正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 13．正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 14．已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调增区间和对称中心. 16．（15分）如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 17．（15分）设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 18．（17分）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$