期中数学常考点分类专题（考查范围：16～18（18.1）章）（拓展培优篇）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（拓展培优篇） （考查范围：二次根式；勾股定理；平行四边形） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第16章 二次根式 【考点1】二次根式性质与规律探究..................................................1 【考点2】二次根式意义与分式方程、不等式拓展探究..................................2 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合..........................................2 【考点4】二次根式的分母有理化....................................................3 第17章 勾股定理 【考点5】用勾股定理解直角三角形..................................................3 【考点6】勾股定理与折叠..........................................................4 【考点7】勾股定理与最值..........................................................5 【考点8】勾股定理与动点..........................................................5 第18章（18.1）平行四边形 【考点9】平行四边形性质与判定综合................................................6 【考点10】平面直角坐标系中的平行四边形...........................................7 【考点11】平行四边形图形变换——平移.............................................8 【考点12】平行四边形图形变换——折叠.............................................8 【考点13】平行四边形图形变换——旋转.............................................9 【考点14】平行四边形中的动点问题................................................10 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点15】二次根式计算化简求值..................................................11 【考点16】平行四边形性质与判定综合压轴..........................................11 【考点17】平行四边形与勾股定理综合压轴..........................................12 【考点18】三角形中位线与平行四边形的性质与判定综合压轴..........................13 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第16章 二次根式 【考点1】二次根式性质与规律探究 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）若（为正整数），则下列说法正确的个数是（    ） ①，，；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（22-23八年级下·重庆·阶段练习）设表示与（为自然数）最接近的整数，则的值是 ． 【考点2】二次根式意义与分式方程、不等式拓展探究 1．（19-20八年级上·重庆沙坪坝·期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 2．（18-19八年级下·重庆巴南·期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 3．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【考点4】二次根式的分母有理化 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ． 2．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子： ． 3．（20-21九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 第17章 勾股定理 【考点5】用勾股定理解直角三角形 1．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且相交于点，过点作，垂足为，若，则的长度为（    ）    A． B． C．3 D．6 2．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【考点6】勾股定理与折叠 1．（20-21八年级下·湖北荆门·期中）如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 2．（2024·重庆綦江·二模）如图，在中，，，将折叠，点恰好落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的长度为 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 【考点7】勾股定理与最值 1．（2023·安徽合肥·二模）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 2．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【考点8】勾股定理与动点 1．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（　　）． A． B．2 C． D．4 2．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒． 3．（2024·湖南长沙·一模）如图，等边的边长是，分别是边上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为 ． 第18章（18.1）平行四边形 【考点9】平行四边形性质与判定综合 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 2．（2022·山西大同·一模）如图，，，，，则线段的长为 ．    2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图所示，在等腰中，延长边到点D，延长边到点E，连接，恰有．则 ． 【考点10】平面直角坐标系中的平行四边形 1．（22-23九年级下·江苏南京·期中）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知，若点使得，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 3．（2024·河南周口·一模）如图，在中，，，，是的中位线，点在线段上，将沿着直线向右平移，使点与点重合，点的对应点依次为，连接，，当是等腰三角形时，的长为 ． 【考点11】平行四边形图形变换——平移 1．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（18-19八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系里，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点D在平面内，且四边形是平行四边形，则当线段最小时，点D的坐标为 ． 【考点12】平行四边形图形变换——折叠 1．（2021·浙江宁波·一模）如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        【考点13】平行四边形图形变换——旋转 1．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③； ④周长的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是 ． 3．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ． 【考点14】平行四边形中的动点问题 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点15】二次根式计算化简求值 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算∶_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【考点16】平行四边形性质与判定综合压轴 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. （1）如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： （1）操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． （2）探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． （3）拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 【考点17】平行四边形与勾股定理综合压轴 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． （1）折痕的长为 ； （2）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． （4）在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 【考点18】三角形中位线与平行四边形的性质与判定综合压轴 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知和中，，，． （1）如图1，连结、，判断和的数量及位置关系，并说明理由； （2）若，， ①当点、、三点在同一直线上时，请画出所有符合题意的图形，并求出线段的长度； ②如图2，为中点，为中点，直接写出的面积大小． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C为x轴负半轴上一点，点P为线段延长线上一点． （1）如图1，，，求C点坐标； （2）如图2，若，，求的面积； （3）如图3，当点在线段的延长线上，连接，将点C沿y轴翻折得到点D，过点D作，垂足为点E，，的延长线交于点F，取线段的中点，连接，当时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（拓展培优篇） （考查范围：二次根式；勾股定理；平行四边形） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第16章 二次根式 【考点1】二次根式性质与规律探究..................................................1 【考点2】二次根式意义与分式方程、不等式拓展探究..................................4 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合..........................................5 【考点4】二次根式的分母有理化....................................................8 第17章 勾股定理 【考点5】用勾股定理解直角三角形.................................................10 【考点6】勾股定理与折叠.........................................................15 【考点7】勾股定理与最值.........................................................20 【考点8】勾股定理与动点.........................................................25 第18章（18.1）平行四边形 【考点9】平行四边形性质与判定综合...............................................30 【考点10】平面直角坐标系中的平行四边形..........................................34 【考点11】平行四边形图形变换——平移............................................37 【考点12】平行四边形图形变换——折叠............................................39 【考点13】平行四边形图形变换——旋转............................................44 【考点14】平行四边形中的动点问题................................................48 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点15】二次根式计算化简求值..................................................52 【考点16】平行四边形性质与判定综合压轴..........................................55 【考点17】平行四边形与勾股定理综合压轴..........................................61 【考点18】三角形中位线与平行四边形的性质与判定综合压轴..........................67 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第16章 二次根式 【考点1】二次根式性质与规律探究 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）若（为正整数），则下列说法正确的个数是（    ） ①，，；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和规律型的题目，分别计算当为1，2，3，4时的值，可得规律，即可得出答案，找出数字的规律是解题的关键． 解：为正整数）， ， ， ，故①正确； ，故②正确； ， ， ， ， 所以可知， ，故③正确． 故选：D． 3．（22-23八年级下·重庆·阶段练习）设表示与（为自然数）最接近的整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据题意发现规律，进而计算即可求解． 解：由题意得，，有2个， ，有4个， ，有6个， ，有8个， ，有10个， ， ，有21个， ∴原式， 故答案为：． 【考点2】二次根式意义与分式方程、不等式拓展探究 1．（19-20八年级上·重庆沙坪坝·期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【点拨】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 2．（18-19八年级下·重庆巴南·期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2． 解：解不等式得x＞m， 解不等式得x＞2， ∵不等式组解集为x＞2， ∴m≤2， ∵式子的值是整数， 则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m≤2得，m=-3，-2或2． 即符合条件的所有整数m的个数是3个． 故选：C． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可． 解：原式． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点拨】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键． 根据题意，将展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答案． 解：根据题意得： ， ． 故选：． 【考点4】二次根式的分母有理化 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 解： ， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子： ． 【答案】2 【分析】先把，分别化为与，再化简，结合分母有理化，最后计算加减运算即可． 解： ； 故答案为：2 【点拨】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法与技巧是解本题的关键． 3．（20-21九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 解： ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点拨】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 第17章 勾股定理 【考点5】用勾股定理解直角三角形 1．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且相交于点，过点作，垂足为，若，则的长度为（    ）    A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】证明，即可得到，得出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长，最后由勾股定理求得的长． 解：证明：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ； ， ，即， ， 在中，， ． 故选：C 【点拨】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，找到对应角相等． 2．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出，然后利用角平分线的定义可得，再利用等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等可得，从而可得，进而利用线段的和差关系，进行计算即可解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 的面积， ， ， ， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【答案】/ / 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 【考点6】勾股定理与折叠 1．（20-21八年级下·湖北荆门·期中）如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【答案】C 【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可． 解：分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，如图所示：    ∵△AD'E≌△ADE， ∴∠AD'E=∠D=90°， ∵∠AD'B=90°， ∴∠AD'B+∠AD'E=180°， ∴B、D'、E三点共线， ∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD， ∴BE=AB=5， ∵BD'==4， ∴DE=D'E=5-4=1； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：    ∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°， ∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ， ∴△ABD″≌△BEC（ASA）， ∴BE=AB=5， ∵BD''==4， ∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9； 综上所知，DE的长为1或9， 故选C． 【点拨】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度． 2．（2024·重庆綦江·二模）如图，在中，，，将折叠，点恰好落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的长度为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，30度所对的直角边等于斜边的一半，构造直角三角形是解题的关键．延长，过作于，由，可知，，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，从而知道和的长度，不妨设，最后在中利用勾股定理求得答案． 解：延长，过作于 是的中点， 不妨设 在中，，， 解得： 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 【答案】 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【考点7】勾股定理与最值 1．（2023·安徽合肥·二模）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论． 解：如图，分别连接，，作，交的延长线于，      和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合， 此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 2．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故选：A． 【点拨】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论． 解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点8】勾股定理与动点 1．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（　　）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】连接DF，AF，EF，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案． 解：连接DF，AF，EF， 在中，，， ， 点G是DE的中点，点F是BC的中点， ，，，， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 故选：B． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒． 【答案】或4或6 【分析】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形，勾股定理的知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．过点D作于点N，根据角平分线的性质得出，通过，，，证明，利用勾股定理求出因为是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒，设点M的运动时间为，然后分三种情况分别讨论即可． 解：过点D作于点N， 由题意得：中， 根据勾股定理可得： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 设则 ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴ ∵是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒 设点M的运动时间为， 如图1所示，当时，， 解得：； 当时，分两种情况： 当M在边上运动时，如图2所示： 由题意可知： ∵， ∴ ∵ ∴ 此时； 当M在边上运动时，如图3所示： 此时 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 综上所述：点M的运动时间为或4或6秒． 故答案为：或4或6． 3．（2024·湖南长沙·一模）如图，等边的边长是，分别是边上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点作交于，连接，过点作于，先证为等边三角形得，再证和全等得，，由此得点，，在同一条直线上，则，然后由勾股定理求出，进而得，则，由此可得的长，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 解：过点作交于，连接，过点作于点， 如下图所示： ∵为等边三角形，且边长为， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点，，在同一条直线上， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得:， ∴， ∴， 故答案为：． 第18章（18.1）平行四边形 【考点9】平行四边形性质与判定综合 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】连接，利用直角三角形性质得到，再结合等边三角形性质证明四边形为平行四边形，最后利用平行四边形性质求解，即可解题． 解：连接， 点与点到直线的距离相等， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了点到直线的距离，等边三角形性质，直角三角形性质，平行四边形的性质和判定，解题的关键在于构造辅助线证明四边形为平行四边形． 2．（2022·山西大同·一模）如图，，，，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 解：过点作，且，连接，，如图：    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， 即． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的性质，等角对等边，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图所示，在等腰中，延长边到点D，延长边到点E，连接，恰有．则 ． 【答案】/100度 【分析】过点D作，且使，连接、，则四边形时平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再利用判定，根据全等三角形的性质可得，从而可推出为等边三角形，设，则，根据三角形内角和定理可分别表示出，根据等边三角形的性质不难求得的度数． 解：过点D作，且使，连接、，则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等边三角形， 设，则 ，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点10】平面直角坐标系中的平行四边形 1．（22-23九年级下·江苏南京·期中）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知，若点使得，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，数形结合思想是解题的关键．采用数形结合思想，利用平移求解． 解：当四边形为平行四边形， 根据平行四边形的对角相等有， ∴， 点B向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点C， ∴将点A向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点D， ∴D点的坐标可能为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 已知为等腰三角形的腰，所以可以分2种情况讨论：①当时，是等腰三角形．作，垂足为，于，则四边形是平行四边形，列方程得到的值；②当时，是等腰三角形，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理列方程即可得到结论． 解：分2种情况讨论： ①当时， 作，垂足为，于，则四边形是平行四边形， ，，， ， ； ②当时， 将沿射线方向平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 综上所述：当或时，是等腰三角形． 故答案为：6或． 3．（2024·河南周口·一模）如图，在中，，，，是的中位线，点在线段上，将沿着直线向右平移，使点与点重合，点的对应点依次为，连接，，当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或1 【分析】由题意得四边形、为平行四边形，推出，求出，，，，，，分两种情况：当时，此时四边形为菱形；当时，则；分别求解即可得出答案． 解：由平移的性质可得：，，，， 四边形、为平行四边形， ， 在中，，，，是的中位线， ，，，，， ，，， 点从点向的运动过程中，逐渐变小，当点与点重合时，点与点重合，此时，故最小为， 是等腰三角形， 当时，此时四边形为菱形， ， ； 当时，则， ， ， 为等边三角形， ， ， 综上所述，为或， 故答案为：或 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、三角形中位线定理、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【考点11】平行四边形图形变换——平移 1．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，推出，利用勾股定理求出即可, 解题的关键是证明． 解：根据平移可得，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 2．（18-19八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系里，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质，A、B、C的坐标求出即可． 解：如图， 如图有三种情况：①平行四边形， ∵， ∴， ∴， 则D的坐标是； ②平行四边形， ∵， ∴， ∴， 则D的坐标是； ③平行四边形， ∵， ∴的纵坐标是，横坐标是， 则D的坐标是， 故答案为或或． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点D在平面内，且四边形是平行四边形，则当线段最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短、坐标与图形，设，由平行四边形的性质和中点坐标公式可得，，再由垂线段最短即可得出结论． 解：设， ∵， ∴，， 即，， ∵当轴时，线段的值最小， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点12】平行四边形图形变换——折叠 1．（2021·浙江宁波·一模）如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长． 解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N， 由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA， ∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA， ∴四边形ADEC是等腰梯形， 连接BE， ∵AB＝AE，CB＝CE， ∴AC是BE的垂直平分线， ∵， ∴CN＝，BN＝1， ∴AN＝AB+BN＝4+1＝5， ∴AC＝＝＝2， ∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝AC•BF， ∴4×＝2BF， ∴BF＝， ∴CF＝＝＝， 在等腰梯形ADEC中， DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝． 故选：B． 【点拨】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 解：如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分平行和平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：当时，则，如图，    在中，，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时，则，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行， ∴四边形是平行四边形， ∴, 由折叠的性质得， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或 【考点13】平行四边形图形变换——旋转 1．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③； ④周长的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，可得时，长度最小，即长度最小，即可求此时周长最小值． 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵将绕点B旋转到位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，③错误； ∵， ∴， 故②正确， ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当时，长度最小，即长度最小， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长最小值为， 故④错误， 故选：B． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，，再证明得到，过点A作，交于点H，则，可得，再证明，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 3．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线的性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图所示，过点作， ∵等腰中， ∴，则， ∴， ∴ ， 点为的中点， ． 当时，分类讨论如下： 当在内部时，如图，点与边中点重合， 由中位线定理可知，此时； 当在之外，如图2， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 又， ，在中，． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键． 【考点14】平行四边形中的动点问题 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长． 解：①如图，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，    由题意知，为等边三角形， ∴， ， ， 在四边形中， ， ， ， ∴在中， ， ； ②如图，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，    ， 又， 为等边三角形， ， ， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，的值为或 故答案为：或． 【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，度所对的直角边是斜边的一半等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案． 解：∵平行四边形， ∴，，， 如图，当落在上时， ∵由对折可得：，，，， ∴，记垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当，，， 此时重合，，， ∴落在上， ∴， 综上：或． 故答案为：或 【点拨】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键． 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点15】二次根式计算化简求值 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算∶_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）9；（3）5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 解：（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【考点16】平行四边形性质与判定综合压轴 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. （1）如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 【答案】（1）；（2）①作图见分析；②；理由见分析；（3） 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 解：（1）解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点拨】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： （1）操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． （2）探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． （3）拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析；（3） 【分析】（1）由翻折的性质得出，，由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出． （2）同（1）过程一致． （3）先得出，平移平移到，则，证明点C，B，G三点共线，进而可得出，再得出，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质以及角度的和差关系即可得出答案． 解：（1）解：， ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴． （2）解：成立，理由如下： ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴ 即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立． （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴． 如下图平移平移到，则， ∴， ∵点A，B，F三点共线， ∴点C，B，G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则， 则，且， ∴四边形为平行四边形， 设， ∴， ， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质等知识，掌握平移的性质，翻折的性质是解题的关键． 【考点17】平行四边形与勾股定理综合压轴 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）35 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，得，再利用直角三角形两锐角互余可证，进而可证，得，结合平行四边形的性质即可证得结论； （2）过点作，交于，可知，，，得，可证，得，在中，，在中，，求得得，结合在中，，即可证明结论； （3）结合平行四边形的性质，由（1）可知，，，得，，设，则，，根据勾股定理得，，，可知以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，结合其面积得，即，进而可得平行四边形的面积． 解：（1）证明：∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：过点作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ， 即：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，， ∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：35． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定及性质，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． （1）折痕的长为 ； （2）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． （4）在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 【答案】（1）6；（2）相等，见分析；（3）；（4） 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由折叠知，，，再证，即可得出结论； （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为4；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为16；即可解决问题． 解：（1）解：由折叠的性质得：，， ， ， 又，， ， ， ， 是的中位线， （2）解：，证明如下： 如图，连接， 由折叠的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； （3）解：如图，连接， 由折叠知：，， ， ， 又， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； （4）解：∵，，， ∴ 如图， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 【点拨】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【考点18】三角形中位线与平行四边形的性质与判定综合压轴 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知和中，，，． （1）如图1，连结、，判断和的数量及位置关系，并说明理由； （2）若，， ①当点、、三点在同一直线上时，请画出所有符合题意的图形，并求出线段的长度； ②如图2，为中点，为中点，直接写出的面积大小． 【答案】（1），理由见分析；（2）①17或31；② 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理即可求证垂直关系； （2）①分E在线段上，D在线段上，两种情况讨论，根据勾股定理求解即可； ②取中点F，连接，，，，，根据三角形中位线定理并结合（1 ）中，，证明，得出，延长交于H，延长到点Q，使，连接，证明，得到，，根据平行线的判定与性质以及补角的性质可得出，证明，得出，，进而可证明，设，，，根据勾股定理可求出， ， 两式相减求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 解：（1）解：，理由如下， 证明：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 当E在线段上时， 由（1）知：，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值舍去）； 当D在线段上时， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值舍去）； 综上，线段的长度为17或31； ②取中点F，连接，，，，， 由（1）知：， ∵为中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长交于H，延长到点Q，使，连接AQ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，，， 在中，， 在中，， 两式相减，得， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C为x轴负半轴上一点，点P为线段延长线上一点． （1）如图1，，，求C点坐标； （2）如图2，若，，求的面积； （3）如图3，当点在线段的延长线上，连接，将点C沿y轴翻折得到点D，过点D作，垂足为点E，，的延长线交于点F，取线段的中点，连接，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握并构造全等三角形的几种常见模型：角平分线和对角互补模型，字形全等模型，倍长中线模型是解题关键． （1）根据几个非负数的和为零，则这几个非负数都为0，求出，，即，再利用得出求出即可解得点； （2）根据，过点作交轴于点D，由构造角平分线和对角互补模型，从而证明，进而可得是等腰直角三角形，再构造字形全等模型证明，可得，由即可得出答案； （3）过点作，连接并延长，与交于点，构造倍长中线模型，得，，，从而可得是的中位线，即，再由折叠的性质和三角形角关系转换证明，，从而可得，由勾股定理在中，求出，即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，，即， 如图，连接， ∵， ∴， 设， ∴， 解得， ∴点； （2）如图，过点作交轴于点D，连接，过点作，垂足为N，过点作，垂足为M，过点作，垂足为E，， ∵ ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴ （3）过点作，连接并延长，与交于点， ∵将点C沿y轴翻折得到点D， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， 又∵，， ∴． 1 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