期中数学常考点分类专题（考查范围：7～10章）（拓展培优篇）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（拓展培优篇） （考查范围：数据的收集、整理、描述；认识概率；中心对称图形——平行四边形；分式.） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】数据的收集、整理、描述..................................................1 第8章 认识概率 【考点2】认识概率................................................................4 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点3】图形的旋转——利用旋转的性质求值证明....................................6 【考点4】平行四边形——图形变换问题.............................................12 【考点5】平行四边形——最值问题.................................................17 【考点6】平行四边形——动点问题.................................................22 【考点7】矩形、菱形、正方形——图形变换问题.....................................27 【考点8】矩形、菱形、正方形——最值问题.........................................33 【考点9】矩形、菱形、正方形——动点问题.........................................37 第10章 分式 【考点10】分式的意义及分式的值..................................................42 【考点11】分式的基本性质........................................................44 【考点11】分式的运算............................................................46 【考点12】分式的化简求值........................................................48 【考点13】分式方程的增根与无解..................................................50 【考点14】已知分式方程的解（集）求参数值........................................51 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点15】分式的运算化简求值....................................................54 【考点16】解分式方程............................................................57 【考点17】数据的收集、整理、描述与认识概率......................................60 【考点18】平行四边形图形变换压轴................................................64 【考点19】平行四边形存在性问题..................................................68 【考点20】矩形、菱形、正方形图形变换压轴........................................74 【考点21】矩形、菱形、正方形存在性问题..........................................79 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】数据的收集、整理、描述 1．（19-20七年级上·山东菏泽·期末）某学校准备为七年级学生开设共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 人数 40 60 100    下列说法不正确的是（  ） A．这次被调查的学生人数为400人 B．对应扇形的圆心角为 C．喜欢选修课的人数为72人 D．喜欢选修课的人数最少 【答案】B 【分析】根据表格和扇形图，通过计算，对每个选项分别进行判断，即可得到答案. 解：这次被调查的学生人数为：60÷15%=400（人），故A正确； ∵D所占的百分比为：，A所占的百分比为：， ∴E对应的圆心角为：；故B错误； ∵喜欢选修课的人数为：（人），故C正确； ∵喜欢选修课C有：（人），喜欢选修课E有：（人）， ∴喜欢选修课的人数为40人，是人数最少的选修课；故D正确； 故选：B. 【点拨】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 2．（2024七年级·全国·竞赛）七年级一班50人参加百米测试，每人跑三次，测试情况统计如图，其中三次都没达标的有2人，三次都达标的有16人．那么恰有两次达标的人数占全班人数的 ． 【答案】54 【分析】本题考查了条形统计图的应用，正确理解图示信息是解答本题的关键．根据图示，先求出三次达标的人数，以及至少一次达标的人数，由此可知恰有两次达标的人数等于三次达标的总人数减去2倍的三次都达标的人数，再减去至少达标一次的人数，进一步计算即可得到答案． 解：第一次达标的有（人），第二次达标的有（人），第三次达标的有（人），至少达标一次的有（人），恰有两次达标的有（人），占全班人数的． 故答案为54． 3．（21-22八年级下·北京·期中）某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0与2：1的积分不同），积分均为正整数． 根据上表回答问题： （1）当B队的总积分时，上表中m处应填 ； （2）写出C队总积分p的所有可能值为 ． 【答案】 0：2 9或10 【分析】（1）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a<b<c<d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案； （2）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可． 解：（1）由题可知：每场比赛的结果有四种： 0：2，1：2，2：1，2：0， 根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a<b<c<d， 根据E的总分可得：a+c+b+c=9， ∴a=1，b=2，c=3， 根据A的总分可得：c+d+b+d=13， ∴d=（13-c-b）÷2 =（13-3-2）÷2 =4， 设m对应的积分为x， 当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x=1+2=6， ∴x=1， ∴m处应填0：2； （2）∵C队胜2场， ∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时， p=1+4+3+2=10； 当C、B的结果为2：1时， p=1+3+3+2=9； ∴C队总积分p的所有可能值为9或10． 故答案为：9或10． 【点拨】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键． 第8章 认识概率 【考点2】认识概率 1．（20-21九年级上·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 解：p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点拨】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 2．（22-23八年级下·江苏南京·期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 【答案】③ 【分析】分别求出三个事件的可能性，再比较大小即可得到答案． 解：①抽到的学号是奇数的可能性为； ②抽到的学号是个位数的可能性为； ③抽到的学号不小于35的可能性为， ， 发生可能性最小的事件为为③， 故答案为：③． 【点拨】本题主要考查了基本可能性的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 3．（22-23九年级上·辽宁丹东·期中）一个不透明的口袋中装有红色、黑色、白色的小球共30个，小球除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现摸到红色、黑色球的频率稳定在和．则口袋中白色球的个数可能是 个． 【答案】24 【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黑色球的概率为和，则摸到白球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中白色球的个数． 解：根据题意得摸到红色、黑色球的概率为和， 所以摸到白球的概率为， 因为（个）， 所以可估计袋中白色球的个数为24个． 故答案为：24． 【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点3】图形的旋转——利用旋转的性质求值证明 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，是等边外一点，把绕点顺时针旋转到，已知，，，则等边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，为等边三角形，得到，，然后利用勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，从而得到，最后利用勾股定理即可得到． 解：连接，，如图， 是等边三角形， ，， 绕点顺时针旋转到， ，， 为等边三角形，，即， 在和中， ， ， ， ； 为等边三角形， ，， ， ， 在中，，，， ， ； 取的中点，连接， 则， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 等边的边长为． 故选：B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 3．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转，得到，为线段的中点，是线段上的动点，在将绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作，为垂足，根据直角三我的性质与勾股定理求出，，根据为线段的中点，求得．当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，根据求最小值；当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，根据求最大值． 解：如图，过点作，为垂足， 在中， ，， ， ∴， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，如图： 此时最小值为：． 当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，如图： 此时最大值为：， 故答案为：，． 【点拨】本题考查旋转变换，勾股定理，直角三角形的性质，最短距离问题等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． 【考点4】平行四边形——图形变换问题 1．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离． 解：作于， ，，， ，， ， ， ，， 的中点为， 平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点， 把代入得，，解得， ， 平移距离为． 故选：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 解：如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】分按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出，根据等面积法求出，证明，得到，易得四边形为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解． 解：如图1和图2，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接， 则有，得， ， 由等面积法有； ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在图1中，， 在图2中，同理得：． 【点拨】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点5】平行四边形——最值问题 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形，等边三角形．熟练掌握平行四边形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，，得到，得到，得到，得到，点F在直线上运动，当时，根据含的直角三角形的性质得到的最小值为． 解：在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 2．（2024·浙江·一模）已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点E与点D重合时（如图2），则的长为 ； （2）当取最大值时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）如图2所示，过D作的延长线于，设，则，由折叠、平行四边形可得，则，，可得，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由折叠、平行四边形可得，则，由，可知当最短时，最大，如图所示，当时，有最大值，由（1）可得之间的距离为，则 ，设，则，由折叠可得，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的解即可． 解：（1）解：如图2所示，过D作的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得， 故答案为：． （2）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 如图所示，当时，有最大值， 由（1）可得之间的距离为， ∴当时， ， 设，则， 由折叠可得， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 【考点6】平行四边形——动点问题 1．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．延长，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出即可． 解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：    ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ，即， 解得：或（舍去）， 在中根据勾股定理得：， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】连接，在上截取，连接，由折叠性质可知垂直平分，则，，，，根据等腰三角形的性质和内角和定理得，由四边形是平行四边形，得，，，，证明是等边三角形，再证明，则，，根据线段和差可得，过作，交延长线于点，由勾股定理得：，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 解：连接，在上截取，连接， 由折叠性质可知，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分平行和平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：当时，则，如图，    在中，，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时，则，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行， ∴四边形是平行四边形， ∴, 由折叠的性质得， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或 【考点7】矩形、菱形、正方形——图形变换问题 1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（   ） A．6 B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得． 解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M， 此时， 当l落在位置时，与菱形交于N，B， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴点C到y距离为， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 解：由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】根据已知可知，根据距离公式求解即可；求的长分两种情况：画出图形求解即可． 解：正方形与正方形的边长分别为6和4， 如图： 则， 当正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ∴平分， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 整理得：； 当C，G，F三点共线时，分两种情况： ①如图： 作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， 设， 则， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：或（舍去） ∴， ∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， 同理可证明四边形为正方形， 设，则， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，，， 解得：或（舍去）， ∴，即， ∵为正方形对角线， ∴， 同理再证明， ∴， 综上所述：或， 故答案为：；或． 【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线构造全等三角形，并学会分类讨论的思想． 【考点8】矩形、菱形、正方形——最值问题 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可． 解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 延长到点N，使得， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴当D，F，N三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是， 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D′，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 解：在边长为4的菱形中，， ∴，，， 将沿射线的方向平移得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，令交于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解． 解：延长至点G，使，连接、、， ∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当D、E、G三点共线时，取最小值为， 在边长为5的正方形中，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【考点9】矩形、菱形、正方形——.动点问题 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作于，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过G作于H，在取点P，使，，得出，，进而得出，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，同理可证，，，根据勾股定理求出，即可求解． 解：过G作于H，在取点P，使， ∵，在正方形中，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动， 当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O， 同理可证，， ∴， ∴， 即点运动的路径长是， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，E是的中点，F是边上的一个动点（点F不与点A，D重合）．将沿所在直线翻折，点A的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或2或 【分析】分三种情况：当，连接，勾股定理求得的长，可判断，，三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，于是得到结论；当时，连接，，证明点，，三点共线，再用勾股定理可得答案． 解：①当时，连接，如图： 点是的中点，，，四边形是矩形， ，，， ， 将沿所在直线翻折，得到， ， ， ， 点，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ； ②当时，如图： ， 点在线段的垂直平分线上， 点在线段的垂直平分线上， 点是的中点， 是的垂直平分线， ， 将沿所在直线翻折，得到， ，， 四边形是正方形， ； ③当时，连接，，如图： 点是的中点，，，四边形是矩形， ，， ， 将沿所在直线翻折，得到， ， ， ， 点，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ； 综上所述，的长为或2或， 故答案为：或2或． 【点拨】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 第10章 分式 【考点10】分式的意义及分式的值 1．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）的倒数为（   ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【分析】本题考查倒数和分式，掌握乘积为的两个数互为倒数，没有倒数是解题的关键 解：当时，没有倒数， 当时，的倒数为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 3．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 【考点11】分式的基本性质 1．（22-23八年级上·重庆九龙坡·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可． 解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意； D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 3．（20-21八年级上·四川达州·期末）若，．则的值为 【答案】 【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出. 解：2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②， 将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③． ①+③得: 10x+ 5y= 0， ∴y= -2x， 将y= - 2x代入①中 得:2x- （-2x）+4z=0 ∴z=-x 将y= -2x，z=-x，代入上式 = = = = 故答案为： 【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简. 【考点11】分式的运算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可． 解：∵ ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 2．（21-22七年级下·浙江杭州·期末），，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式． 若关于，的分式是完美对称式，则： ；若完美对称式满足：，且，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据完美对称式的定义可得，化简即可得的值；将代入可得，从而可得，再根据平方根的性质可得，由此即可得出答案． 解：由完美对称式的定义得：， 整理得：， 则， 解得， 将代入得：， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了分式的加减运算、平方根的性质，掌握理解完美对称式的定义是解题关键． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容． 解： ． 故答案为：． 【考点12】分式的化简求值 1．（2022·河北邢台·三模）若，则式子的值在（    ） A．和0.4之间 B．0.4和1之间 C．1和1.6之间 D．1.6和2.2之间 【答案】A 【分析】先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，然后对无理数进行估算，然后代入求解即可． 解： ， ∵，即， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查分式的化简求值，无理数的估算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的分式通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答, 准确熟练地进行计算是解题的关键． 解： ， ∵， ∴， 当时，原式， 故答案为：． 【考点13】分式方程的增根与无解 1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，，由此方程有增根无解，可得，计算求解即可． 解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解分式方程得到，根据分式方程的解无解和分式有意义的条件求出且，再分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出，据此确定a的取值范围，从而确定符合题意的整数a，最后求和即可． 解：解方程，得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴且， ∴且； 解，得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：9． 3．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 【考点14】已知分式方程的解（集）求参数值 1．（20-21八年级下·重庆巫山·期末）能使分式方程有非负实数解，且使一次函数y=kx-1的图像不经过第一象限的所有整数的积为（　  ） A．-20 B．20 C．40 D．-40 【答案】C 【分析】分别确定能使分式方程有非负实数解且使一次函数y=kx-1的图象不经过第一象限的所有整数k，注意分式中分母不为0，即x-1≠0，然后确定其积即可． 解：∵分式方程有非负实数解， ∴-k+2（x-1）=3， 解得：x=≥0，且x≠1， 解得：k≥-5，且k≠-3， ∵y=kx-1的图象不经过第一象限， ∴k＜0， ∴-5≤k＜0且k≠-3， ∵k是整数， ∴k=-5、-4，-2，-1 -5×（-4）×（-2）×（-1）=40； 故选：C． 【点拨】本题考查了带字母系数的分式方程的解和一次函数图象与系数的关系，此类题的解题思路为：①先将字母系数看作常数，解分式方程，根据已知中分式方程的解列不等式求其字母的取值，要注意此时分母不为0；②根据一次函数y=kx+b中图象的条件确定其一次项系数k：k＞0，图象过一、三象限；k＜0，图象过二、四象限． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）满足方程：的正整数有序数对个数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是求出的取值范围．化简方程，根据题意得出，，分别代值求解即可； 解：∵不定方程， ∴， ∴， 由题意可知， 当时，， 当时，， 当时，n不是整数， 当时，， 当时，n不是整数， 当时，n不是整数， 当时，n不是整数， 当时，． 故方程：的正整数有序数对为：，，，，共4个． 故答案为：4． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组和分式方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，由不等式组的解集有且只有四个整数解可得，再求出分式方程的解，由分式方程的解为非负数可得，进而根据分式方程的分母不等于得，即得的取值范围为且，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出的取值范围是解题的关键． 解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为且， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点15】分式的运算化简求值 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 解： ， 当，时，原式． 2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 【答案】；1 【分析】先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定值，最后代入求解即可． 解： ； ， 解，得，， 解，得，， ∴， ∴整式解为，，， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 【点拨】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件等知识．熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件是解题的关键． 3．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 解：解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 【考点16】解分式方程 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）（1）解方程：             （2）关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法步骤，注意验根，是解决问题的关键． （1）运用去分母，移项，合并同类项，系数化成1，经检验，即得； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1求出x的表达式，根方程的根为正数且分母不为0，即可求出m的取值范围． 解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 经检验，是原分式方程的根， 故原分式方程的根为：； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 移项，得， 系数化成1，得； ∵方程的解是正数， ∴，且， ∴，且． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在于充分利用运算规律计算． 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】（1）是，理由见分析；（2）或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 解：（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 【考点17】数据的收集、整理、描述与认识概率 1．（23-24八年级上·海南海口·期末）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 优秀 42 良好 m 合格 12 n 待合格 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生； （2）在表中， ， ； （3）补全条形统计图． 【答案】（1）100；（2）40，；（3）见分析 【分析】本题考查了统计表与频数分布直方图综合，理解统计表并会应用数据是解题关键． （1）用“优秀”的频数除以频率即可； （2）用调查总数乘以“良好”的频率得到的值，用“合格”的频数除以调查总数得到； （3）根据（2）的结果补全频数分布直方图即可． 解：（1）解：（名） 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：， （3）解：补全频数分布直方图，如图所示， 2．（23-24七年级上·江西景德镇·期末）小宇同学对本校七（2）班全体同学的校服型号（型号共分类K、L、M、N四种）进行了调查．根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图． （1）七（2）班共有多少名同学？ （2）该班型号为M型的学生有多少人？并补全条形统计图． （3）扇形统计图中，求M型的扇形圆心角． 【答案】（1）50名；（2）15名，补全条形统计图见分析；（3） 【分析】（1）根据穿L型的人数除以所占的百分比列式进行计算即可求出学生总人数； （2）总人数乘M型所占百分比求出M型的人数，然后补全条形统计图即可； （3）用M型所占的百分比乘以360°计算即可得解． 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，熟练掌握两种统计图的互补性，从不同的统计图中得到必要的信息，是解决问题的关键． 解：（1）（名）， 答：共有50名同学； （2）， M：（名）， 答：型号为M型的由15名学生； 补全条形统计图：    （3）∵一个周角为， ∴， 答：M型的扇形圆心角为． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． （1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____________，其中红球的个数是____________； （2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率； （3）在袋中再放入个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用表示）． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数； 列出表格，利用概率公式计算； 由（2）可知可能出现的结果共有种，且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有种结果，计算概率即可． 解：（1）解：由图表可知：摸出红球的频率分布在上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是，红球的个数是：个， 故答案为：，； （2）列表格为： 红1 红2 红3 白 红1 / 红1，红2 红1，红3 红1，白 红2 红2，红1 / 红2，红3 红2，白 红3 红3，红1 红3，红2 / 红3，白 白 白，红1 白，红2 白，红3 / 可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有种，且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有种结果，概率为． （3）解：从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有种，且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有种结果，概率为， 故答案为：． 【考点18】平行四边形综合压轴题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． （1）如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； （2）如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； （3）在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）见分析；（3），或，或 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解． 解：（1）解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； （3）解： ，，四边形为平行四边形， ，， ，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 如图3，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 轴，， 当为对角线时，构成平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， 的中点坐标为，， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：； 综上，点的坐标为，或，或． 【点拨】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 2．（21-22八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线的交点，过点O作直线分别交于点． （1）求证：． （2）若，，，求四边形的周长． （3）若，直接写出的值为 ． 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得到，，由平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据得到，于是得到，即可得到结论． （3）根据全等三角形的性质，即可得到． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：同（1）可证． ∴， ∴， ∴四边形的周长为． （3）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点19】平行四边形存在性问题 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28． （1）分别求点A、B、C的坐标． （2）若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）存在，或或 【分析】（1），分别代入即可求得点B、A的坐标，再根据，即可求得，从而可求点C坐标； （2）先根据中点坐标公式求出中点，然后用待定系数法求解即可； （3）①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的左边时，③当为平行四边形的右边时，分别 求出点D的坐标即可． 解：（1）解：∵直线与轴交于点A与轴交于点B ∴把代入解析式得：， ∴， 把代入解析式得：， ∴， ∴ ∵ 即，而， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵当点刚好运动到的中点时， ∴，， ∴ 设直线解析式为， 把，分别代入解析式得： ，解得：， ∴直线解析式为． （3）解：存在． ①如图，当为平行四边形的对角线时， ∵平行四边形， ∴，即， ∴， 把代入直线解析式，得， ∴， 又∵，且， ∴． ②如图，当为平行四边形的左边时， 同理， 把代入直线解析式，得， ∴ 又∵，且， ∴， ③如图，当为平行四边形的右边时，作轴于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴ ∴，即的纵坐标为 把代入直线解析式，得， ∴， 又∵， ∴ 综上，在x轴上存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形． 此时，点D的坐标为或或． 【点拨】本题考查直线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与分别经过轴上的点、点，交于点，点为直线上的一点． （1）求出和的表达式及点的坐标； （2）若点的横坐标小于点的横坐标，连接、，当和的面积相等时，求点的坐标； （3）在上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为：，一次函数的解析式为：，；（2）点的坐标为；（3）在上是存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的图像与性质，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）先利用待定系数法求出和的表达式，再联立和的表达式可求出点的坐标； （2）求出，，由，且，可得点在轴的右侧，进而得到，最后根据得到，即可求解； （3）设，，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，分别列方程组即可求解． 解：（1）解：将点代入中， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为：； 将点代入可得：， 解得：， 一次函数的解析式为：； 联立， 解得：， ； （2）,点， ， 由（1）知，， ， 在中，令，得， ， ， ， ，且， 点在轴的右侧， ， ， ， 解得:, 点的坐标为； （3）在上是存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，理由如下： 设，， 又，， 当，为对角线时，，的中点重合， 即， 解得：， ； 当，为对角线时，，的中点重合， 即， 解得：， ； 综上所述，的坐标为或． 【考点20】矩形、菱形、正方形综合压轴题 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． （3）连接，若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）1 【分析】（1）证明即可； （2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即； （3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是菱形，是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：在菱形中，连接交于点P，则， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图： 设 ∵， ∴， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴，而 ∴， ∴． 【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． （2）【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【答案】（1）；（2），，；秒或秒或秒 【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解； （2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可； 分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可． 解：（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变， 故再从图看出：，， ， 故答案为：，，； 如图，过作交于点， 由翻折得，， ，， ， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， 当点从运动到图为止时，， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒， 故答案为：秒或秒或秒． 【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【考点21】矩形、菱形、正方形存在性问题 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． （1）求证：四边形 为正方形； （2）如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）① ②存在，N的坐标为，或 【分析】（1）由矩形的性质得出， 先证明四边形是矩形，再证明，再由，即可证明四边形 为正方形． （2）①分别求出直线，的解析式，再求出两直线的交点坐标，再求出点H的坐标，再根据计算即可．②设，，而，，利用菱形的性质分三种情况，分别列式计算即可得出答案． 解：（1）证明∶∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为正方形； （2）①由（1）知，，四边形为正方形， ∴， ∵点F为中点 ∴， 设由，的直线解析式为， 把代入，可得出， ∴解析式为 设，得直线解析式为， 则， 解得：， ∴解析式为， 联立 解得：， ∴， 在中， 另，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②平面内存在点N，使以点A，H，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下∶ 设，，而，， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：此时，点A、M重合，舍去，或（此时，M不在x轴正半轴上，舍去）， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上：N的坐标为或 【点拨】本题考查四边形综合应用，涉及矩形，萎形，正方形的判定以及性质，一次函数的应用等，坐标与图形，解题的关键是分类讨论思想，方程思想的应用． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等边三角形的边，各取一点，，使，，相交于点． （1）求证：； （2）如图，平面内存在一点，满足． ①求的度数； ②如图，以所在的直线为轴，过点垂直所在的直线为轴建立直角坐标系，连接，且．当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）证明见分析；（2）①；②点坐标为，， 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，即可求证； （2）①由（1）可得，结合即可得出，由平角的定义可得，由三角形的内角和定理，等腰三角形的性质即可解答； ②当为等腰三角形时，存在三种情况：，，，利用勾股定理和面积法即可解答． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）①由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴； ②过点作于点， ∵，， ∴， 由①得：， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 当时， 如图，过点作，于点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时， 过点作，于点，，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时， 过点作，于点，，连接交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴为的中垂线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上所述，点坐标为，，． 【点拨】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线和运用分类讨论的思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（拓展培优篇） （考查范围：数据的收集、整理、描述；认识概率；中心对称图形——平行四边形；分式.） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】数据的收集、整理、描述..................................................1 第8章 认识概率 【考点2】认识概率................................................................3 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点3】图形的旋转——利用旋转的性质求值证明....................................3 【考点4】平行四边形——图形变换问题..............................................4 【考点5】平行四边形——最值问题..................................................5 【考点6】平行四边形——动点问题..................................................6 【考点7】矩形、菱形、正方形——图形变换问题......................................7 【考点8】矩形、菱形、正方形——最值问题..........................................8 【考点9】矩形、菱形、正方形——动点问题..........................................8 第10章 分式 【考点10】分式的意义及分式的值...................................................9 【考点11】分式的基本性质........................................................10 【考点11】分式的运算............................................................10 【考点12】分式的化简求值........................................................10 【考点13】分式方程的增根与无解..................................................11 【考点14】已知分式方程的解（集）求参数值........................................11 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点15】分式的运算化简求值....................................................11 【考点16】解分式方程............................................................12 【考点17】数据的收集、整理、描述与认识概率......................................12 【考点18】平行四边形图形变换压轴................................................14 【考点19】平行四边形存在性问题..................................................14 【考点20】矩形、菱形、正方形图形变换压轴........................................15 【考点21】矩形、菱形、正方形存在性问题..........................................16 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】数据的收集、整理、描述 1．（19-20七年级上·山东菏泽·期末）某学校准备为七年级学生开设共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 人数 40 60 100    下列说法不正确的是（  ） A．这次被调查的学生人数为400人 B．对应扇形的圆心角为 C．喜欢选修课的人数为72人 D．喜欢选修课的人数最少 2．（2024七年级·全国·竞赛）七年级一班50人参加百米测试，每人跑三次，测试情况统计如图，其中三次都没达标的有2人，三次都达标的有16人．那么恰有两次达标的人数占全班人数的 ． 3．（21-22八年级下·北京·期中）某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0与2：1的积分不同），积分均为正整数． 根据上表回答问题： （1）当B队的总积分时，上表中m处应填 ； （2）写出C队总积分p的所有可能值为 ． 第8章 认识概率 【考点2】认识概率 1．（20-21九年级上·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏南京·期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 3．（22-23九年级上·辽宁丹东·期中）一个不透明的口袋中装有红色、黑色、白色的小球共30个，小球除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现摸到红色、黑色球的频率稳定在和．则口袋中白色球的个数可能是 个． 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点3】图形的旋转——利用旋转的性质求值证明 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，是等边外一点，把绕点顺时针旋转到，已知，，，则等边的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 3．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转，得到，为线段的中点，是线段上的动点，在将绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【考点4】平行四边形——图形变换问题 1．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 【考点5】平行四边形——最值问题 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 2．（2024·浙江·一模）已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点E与点D重合时（如图2），则的长为 ； （2）当取最大值时，的长为 ． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【考点6】平行四边形——动点问题 1．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        【考点7】矩形、菱形、正方形——图形变换问题 1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（   ） A．6 B． C．8 D．12 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 【考点8】矩形、菱形、正方形——最值问题 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D．10 2．（2024·四川成都·二模）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 【考点9】矩形、菱形、正方形——.动点问题 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ． 3．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，E是的中点，F是边上的一个动点（点F不与点A，D重合）．将沿所在直线翻折，点A的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为 ． 第10章 分式 【考点10】分式的意义及分式的值 1．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）的倒数为（   ） A． B． C． D．以上均不正确 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 3．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 【考点11】分式的基本性质 1．（22-23八年级上·重庆九龙坡·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 3．（20-21八年级上·四川达州·期末）若，．则的值为 【考点11】分式的运算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（21-22七年级下·浙江杭州·期末），，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式． 若关于，的分式是完美对称式，则： ；若完美对称式满足：，且，则 （用含的代数式表示）． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ． 【考点12】分式的化简求值 1．（2022·河北邢台·三模）若，则式子的值在（    ） A．和0.4之间 B．0.4和1之间 C．1和1.6之间 D．1.6和2.2之间 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）当时，的值为 ． 3．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）已知，则的值为 ． 【考点13】分式方程的增根与无解 1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 3．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于的方程无解，则的值为 ． 【考点14】已知分式方程的解（集）求参数值 1．（20-21八年级下·重庆巫山·期末）能使分式方程有非负实数解，且使一次函数y=kx-1的图像不经过第一象限的所有整数的积为（　  ） A．-20 B．20 C．40 D．-40 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）满足方程：的正整数有序数对个数为 ． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点15】分式的运算化简求值 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 3．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【考点16】解分式方程 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）（1）解方程：             （2）关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程：． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【考点17】数据的收集、整理、描述与认识概率 1．（23-24八年级上·海南海口·期末）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 优秀 42 良好 m 合格 12 n 待合格 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生； （2）在表中， ， ； （3）补全条形统计图． 2．（23-24七年级上·江西景德镇·期末）小宇同学对本校七（2）班全体同学的校服型号（型号共分类K、L、M、N四种）进行了调查．根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图． （1）七（2）班共有多少名同学？ （2）该班型号为M型的学生有多少人？并补全条形统计图． （3）扇形统计图中，求M型的扇形圆心角． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． （1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____________，其中红球的个数是____________； （2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率； （3）在袋中再放入个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用表示）． 【考点18】平行四边形综合压轴题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． （1）如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； （2）如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； （3）在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 2．（21-22八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线的交点，过点O作直线分别交于点． （1）求证：． （2）若，，，求四边形的周长． （3）若，直接写出的值为 ． 【考点19】平行四边形存在性问题 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28． （1）分别求点A、B、C的坐标． （2）若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与分别经过轴上的点、点，交于点，点为直线上的一点． （1）求出和的表达式及点的坐标； （2）若点的横坐标小于点的横坐标，连接、，当和的面积相等时，求点的坐标； （3）在上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点20】矩形、菱形、正方形综合压轴题 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． （3）连接，若，，，求的面积． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． （2）【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【考点21】矩形、菱形、正方形存在性问题 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． （1）求证：四边形 为正方形； （2）如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等边三角形的边，各取一点，，使，，相交于点． （1）求证：； （2）如图，平面内存在一点，满足． ①求的度数； ②如图，以所在的直线为轴，过点垂直所在的直线为轴建立直角坐标系，连接，且．当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$