高二数学期中模拟卷02（人教A版2019选修第5～7章：一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布)-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5~7章（一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布）。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或6 2．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ） A．13种 B．30种 C．60种 D．120种 3．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 4．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D．9 6．的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量，则； ②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则； ③已知变量，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．已知，为实数，，，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 D．已知随机变量，则 11．下列关于展开式的判断中正确的有（    ） A．第四项的系数是160 B．各项系数之和等于64 C．各二项式系数之和等于64 D．常数项等于1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若多项式的展开式中第5项的二项式系数最大，请写出一个满足题意的的值 . 13．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 14．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序. (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案? (3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案? 16．（15分） 已知，N，若的展开式 中， ． (1)求的值； (2)求的值． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）． 17．（15分） 已知函数 (1)若，求的增区间； (2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 18．（17分） 随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5~7章（一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布）。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或6 【答案】D 【详解】因为，所以或，解得或.经检验符合题意 故选：D 2．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ） A．13种 B．30种 C．60种 D．120种 【答案】C 【详解】由分步乘法计数原理，得不同的选取方法种数是（种）. 故选：C 3．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 【答案】B 【详解】因为，所以，故 又，所以． 故选：B 4．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因在不超过20的自然数中，素数有：共8个， 其中“孪生素数”有3和5，5和7，11和13，17和19共4种情况， 则，故. 故选：A. 5．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】D 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得或（不合题意，舍去），所以， ，令，即， 由题意得，是方程的两个相异正根， 则，，符合题意， 故选：D． 6．的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且的展开式为， 令，解得，可得； 令，解得，不合题意； 所以项的系数为. 故选：B. 7．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量，则； ②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则； ③已知变量，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】对于①：随机变量，则，故①正确； 对于②：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”， 则，所以，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：D. 8．已知，为实数，，，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，函数与在上都单调递增，且函数的值域是R， ，不等式恒成立，当且仅当函数与有相同的零点， 因此，由得，由得，于是得， 则，令，，求导得， 当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增， 当时，，从而得， 所以的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误； 故选：BC. 10．下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 D．已知随机变量，则 【答案】ACD 【详解】A.设随机变量等可能取，则， 所以，则，故A正确； B.若随机变量的概率分布规律为， 则，其中是常数，则，故B错误； C.根据题意可得，又因为联立即可解得，故C正确； D.因为随机变量，所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 11．下列关于展开式的判断中正确的有（    ） A．第四项的系数是160 B．各项系数之和等于64 C．各二项式系数之和等于64 D．常数项等于1 【答案】ACD 【详解】二项式展开式的通项为（其中且），则第四项的系数为，故A正确； 令可得展开式各项系数和等于，故B不正确； 各二项式系数之和等于，故C正确； 令，即，所以展开式中常数项为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若多项式的展开式中第5项的二项式系数最大，请写出一个满足题意的的值 . 【答案】（或也可以，答案不唯一） 【详解】因为的展开式中第5项的二项式系数最大， 所以的展开式共有8项或9项或10项，即或或， 解得或或， 故答案为：（或也可以，答案不唯一） 13．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：令，则， 令， 则由知， 在上单调递减，在上单调递增 且，，. ，， ， 作出函数的图像，如下图所示：    所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 【答案】 【详解】若两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜， 第一次取球甲乙都取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有4个黑球和3个白球，盒中有2个黑球和2个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 若第一次取球甲乙都取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和4个白球，盒中有3个黑球和1个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 所以盒中有8个球的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序. (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案? (3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案? 【详解】（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序， 共有种不同的安排方案；（3分） （2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，则共有种不同的安排方案；（8分） （3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动， 内部全排列，然后和其余活动全排列， 则共有种不同的安排方案.（13分） 16．（15分） 已知，N，若的展开式 中， ． (1)求的值； (2)求的值． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）． 【详解】（1）在二项式的展开式中， 若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即； 若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即； 若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；（6分） （2）由（1）知，于是中， 取，得；（10） 取，得（14分） ∴所求（15分） 17．（15分） 已知函数 (1)若，求的增区间； (2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【详解】（1）的定义域是， 时，，（2分） 令，得，（3分） ∴函数的增区间是.（4分） （3），由函数存在单调递减区间，知在上有解区间，（5分）∴，即，（7分）而，当且仅当时取等号，∴，（当时，不等式只有唯一的解，不符题意舍去），（8分） 又，∴的取值范围是．（9分） （3）时，，则即为，（10分） 令，则，（11分） 当时，，递减；（1分）当时，，递增.（12分） ∴，（13分）又，，， ∴，即实数的取值范围是．（15分） 18．（17分） 随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为， 所以．（4分） （2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3， 王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1， 张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2， 张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4， 记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2， 所以，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望（6分） （3）证明：由题知， 所以， 所以， 所以， 即：， 所以，即.（17分） 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，故，（2分） ∴，（3分） ∴曲线在处的切线方程为，即.（4分） （2）由题意得，，故函数的定义域为，（5分） ∵，∴，（6分） 当时，，，在上为增函数，无极值.（7分） 当时，由得，（8分） 由得，，由得，，（9分） ∴在上为增函数，在上为减函数，（10分） ∴当时，有极大值，极大值为，（11分） ∴，即，（12分） 令，则，（13分） ∵，∴， ∴在上为增函数，（15分） ∵， ∴要使，则，（16分） ∴实数a的取值范围是.（17分） 试卷第8页，共11页 试卷第7页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5~7章（一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布）。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或6 2．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ） A．13种 B．30种 C．60种 D．120种 3．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 4．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D．9 6．的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量，则； ②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则； ③已知变量，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．已知，为实数，，，若恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率 D．已知随机变量，则 11．下列关于展开式的判断中正确的有（    ） A．第四项的系数是160 B．各项系数之和等于64 C．各二项式系数之和等于64 D．常数项等于1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若多项式的展开式中第5项的二项式系数最大，请写出一个满足题意的的值 . 13．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 14．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序. (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案? (3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案? 16．（15分） 已知，N，若的展开式 中， ． (1)求的值； (2)求的值． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）． 17．（15分） 已知函数 (1)若，求的增区间； (2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 18．（17分） 随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A D B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（或也可以，答案不唯一） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序， 共有种不同的安排方案；（3分） （2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，则共有种不同的安排方案；（8分） （3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动， 内部全排列，然后和其余活动全排列， 则共有种不同的安排方案.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）在二项式的展开式中， 若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即； 若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即； 若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；（6分） （2）由（1）知，于是中， 取，得；（10） 取，得（14分） ∴所求（15分） 17．（15分） 【详解】（1）的定义域是， 时，，（2分） 令，得，（3分） ∴函数的增区间是.（4分） （3），由函数存在单调递减区间，知在上有解区间，（5分）∴，即，（7分）而，当且仅当时取等号，∴，（当时，不等式只有唯一的解，不符题意舍去），（8分） 又，∴的取值范围是．（9分） （3）时，，则即为，（10分） 令，则，（11分） 当时，，递减；（1分）当时，，递增.（12分） ∴，（13分）又，，， ∴，即实数的取值范围是．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为， 所以．（4分） （2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3， 王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1， 张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2， 张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4， 记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2， 所以，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望（6分） （3）证明：由题知， 所以， 所以， 所以， 即：， 所以，即.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当时，，故，（2分） ∴，（3分） ∴曲线在处的切线方程为，即.（4分） （2）由题意得，，故函数的定义域为，（5分） ∵，∴，（6分） 当时，，，在上为增函数，无极值.（7分） 当时，由得，（8分） 由得，，由得，，（9分） ∴在上为增函数，在上为减函数，（10分） ∴当时，有极大值，极大值为，（11分） ∴，即，（12分） 令，则，（13分） ∵，∴， ∴在上为增函数，（15分） ∵， ∴要使，则，（16分） ∴实数a的取值范围是.（17分） 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$