专项练习4 用公因数和公倍数解决问题-五年级下册数学（西师大版）

第一单元：倍数与因数 专项练习4 用公因数与公倍数解决问题 1．7和9的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；4和24的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；10和15的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．把一筐苹果分给小朋友，每人分6个或9个都正好分完，这筐苹果至少有( )个。 3．；，和的最大公约数是 ，最小公倍数是 。 4．如果m是n的倍数，m和n都是非零自然数，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5．（判断）相邻的两个自然数（0除外）只有公因数1。( ) 6．两个不为零的自然数a和b是互质数，它们的最大公因数是（     ），最小公倍数是（     ）。 A．1；ab B．ab；b C．a；ab D．b；1 7．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是90，已知一个数是18，另一个数是（     ）。 A．90 B．15 C．18 D．30 8．某班男女生分别列队参加活动，男生24人，女生18人，要使每排人数相同，每排最多有几人？男、女生分别能排几排？ 9．小明和爸爸每天围绕街心花园晨跑，小明15分钟跑一圈，爸爸12分钟跑一圈．如果父子两人同时同地起跑，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？此时，爸爸和小明各跑了几圈？ 10．五年级同学参加义务劳动，6人一组、8人一组都余2人，五年级至少有多少人？ 11．把两根长度分别是120厘米和180厘米的铁丝，截成长度相等的小段，每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？一共截成多少段？ 12．小红花每6天浇一次水，兰花第8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少多少天后给这两种花同时浇水？ 13． 插一排红旗共26面，原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米．如果起点一面不移动，还可以有　 　不移动． 14．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 答案解析 1． 1 63 4 24 5 30 【分析】7和9是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，7×9＝63；4和24是倍数关系，它们的最大公因数是其中的较小数4，最小公倍数是其中的较大数24；10和15的最大公因数和最小公倍数可以用短除法来求。 【详解】 7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63；4和24的最大公因数是4，最小公倍数是24；10和15的最大公因数是5，最小公倍数是5×2×3＝30。 【点睛】两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；两个数是倍数关系，最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是较大数；求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般用短除法。 2．18 【分析】即求6和9的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 所以9和6的最小公倍数是：2×3×3＝18，即这筐苹果至少18个。 【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 3． 9 630 【分析】求两数的最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积；依此即可求解。 【详解】因为，， 则和的最大公约数是，最小公倍数。 【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。 4． n m 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】如果m是n的倍数，m和n都是非零自然数，那么m和n的最大公因数是n，最小公倍数是m。 【点睛】特殊情况还有两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积。 5．√ 【分析】两个自然数公有的因数就是它们的公因数，根据公因数的意义，公因数只有1的两个数互质。据此解答。 【详解】相邻两个自然数（0除外）一定是互质数，所以它们的公因数只有1。例如：3和4，它们的公因数只有1；原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题需熟练掌握公因数和互质数的意义。 6．A 【分析】根据互质数的意义可知，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此进行求解即可。 【详解】两个不为零的自然数a和b是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 故答案为：A 7．D 【分析】首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公约数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以用最小公倍数除以最大公约数就得到了两个数的独有因数的积，进而组合成要求的数即可。 【详解】因为90÷6＝15，15＝3×5， 其中甲数是18，18＝6×3 所以乙数是：6×5＝30 故答案为：D 【点睛】掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解题关键。 8．6人；男生能排4排，女生能排3排 【分析】根据“男女生分别列队”、“每排人数相同”、“每排最多”可知，就是求24和18的最大公因数，据此求出每排的人数即可；用男、女生各自的总人数除以每排的人数即可求出男、女生分别能排几排。 【详解】24＝2×2×2×3； 18＝2×3×3； 24和18的最大公因数为2×3＝6； 答：每排最多有6人； 24÷6＝4（排）； 18÷6＝3（排）； 答：男生能排4排，女生能排3排。 【点睛】根据题目中的关键信息“每排人数相同”、“每排最多”确定是求24和18的最大公因数是解答本题的关键。 9．60分钟，5圈，4圈 【详解】15与12的最小公倍数是：60 小明跑的圈数：60÷15=4（圈） 爸爸跑的圈数是：60÷12=5（圈） 10．26人 【分析】根据题意可知，总人数去掉2人之后，剩下的人数为6和8的公倍数，要求至少多少人，即求6和8的最小公倍数，再加上去掉的2人即可。 【详解】6＝2×3； 8＝2×2×2； 6和8的最小公倍数为2×3×2×2＝24； 24＋2＝26（人）； 答：五年级至少有26人。 【点睛】明确总人数去掉2人之后，剩下的人数为6和8的公倍数是解答本题的关键。 11．60厘米；5段 【分析】求出两根铁丝长度的最大公因数就是每段最长的长度，两根铁丝的总长度÷每段长度＝截成的段数，据此列式解答。 【详解】120＝2×2×2×3×5 180＝2×2×3×3×5 2×2×3×5＝60（厘米） （120＋180）÷60 ＝300÷60 ＝5（段） 答：每小段最长60厘米，一共截成5段。 【点睛】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 12．24天 【分析】此题属于最小公倍数问题，花匠今天给两种花同时浇了水，求至少多少天后给这两种花同时浇水．也就是求6和8的最小公倍数．由此解答． 【详解】先把6和8分解质因数， 6=2×3， 8=2×2×2， 6和8的最小公倍数是2×3×2×2=24； 答：至少24天后给这两种花同时浇水． 13．1． 1 63 4 24 5 30 【分析】7和9是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，7×9＝63；4和24是倍数关系，它们的最大公因数是其中的较小数4，最小公倍数是其中的较大数24；10和15的最大公因数和最小公倍数可以用短除法来求。 【详解】 7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63；4和24的最大公因数是4，最小公倍数是24；10和15的最大公因数是5，最小公倍数是5×2×3＝30。 【点睛】两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；两个数是倍数关系，最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是较大数；求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般用短除法。 2．18 【分析】即求6和9的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 所以9和6的最小公倍数是：2×3×3＝18，即这筐苹果至少18个。 【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 3． 9 630 【分析】求两数的最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积；依此即可求解。 【详解】因为，， 则和的最大公约数是，最小公倍数。 【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。 4． n m 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】如果m是n的倍数，m和n都是非零自然数，那么m和n的最大公因数是n，最小公倍数是m。 【点睛】特殊情况还有两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积。 5．√ 【分析】两个自然数公有的因数就是它们的公因数，根据公因数的意义，公因数只有1的两个数互质。据此解答。 【详解】相邻两个自然数（0除外）一定是互质数，所以它们的公因数只有1。例如：3和4，它们的公因数只有1；原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题需熟练掌握公因数和互质数的意义。 6．A 【分析】根据互质数的意义可知，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此进行求解即可。 【详解】两个不为零的自然数a和b是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 故答案为：A 7．D 【分析】首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公约数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以用最小公倍数除以最大公约数就得到了两个数的独有因数的积，进而组合成要求的数即可。 【详解】因为90÷6＝15，15＝3×5， 其中甲数是18，18＝6×3 所以乙数是：6×5＝30 故答案为：D 【点睛】掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解题关键。 8．6人；男生能排4排，女生能排3排 【分析】根据“男女生分别列队”、“每排人数相同”、“每排最多”可知，就是求24和18的最大公因数，据此求出每排的人数即可；用男、女生各自的总人数除以每排的人数即可求出男、女生分别能排几排。 【详解】24＝2×2×2×3； 18＝2×3×3； 24和18的最大公因数为2×3＝6； 答：每排最多有6人； 24÷6＝4（排）； 18÷6＝3（排）； 答：男生能排4排，女生能排3排。 【点睛】根据题目中的关键信息“每排人数相同”、“每排最多”确定是求24和18的最大公因数是解答本题的关键。 9．60分钟，5圈，4圈 【详解】15与12的最小公倍数是：60 小明跑的圈数：60÷15=4（圈） 爸爸跑的圈数是：60÷12=5（圈） 10．26人 【分析】根据题意可知，总人数去掉2人之后，剩下的人数为6和8的公倍数，要求至少多少人，即求6和8的最小公倍数，再加上去掉的2人即可。 【详解】6＝2×3； 8＝2×2×2； 6和8的最小公倍数为2×3×2×2＝24； 24＋2＝26（人）； 答：五年级至少有26人。 【点睛】明确总人数去掉2人之后，剩下的人数为6和8的公倍数是解答本题的关键。 11．60厘米；5段 【分析】求出两根铁丝长度的最大公因数就是每段最长的长度，两根铁丝的总长度÷每段长度＝截成的段数，据此列式解答。 【详解】120＝2×2×2×3×5 180＝2×2×3×3×5 2×2×3×5＝60（厘米） （120＋180）÷60 ＝300÷60 ＝5（段） 答：每小段最长60厘米，一共截成5段。 【点睛】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 12．24天 【分析】此题属于最小公倍数问题，花匠今天给两种花同时浇了水，求至少多少天后给这两种花同时浇水．也就是求6和8的最小公倍数．由此解答． 【详解】先把6和8分解质因数， 6=2×3， 8=2×2×2， 6和8的最小公倍数是2×3×2×2=24； 答：至少24天后给这两种花同时浇水． 13．5面 【详解】试题分析：根据“插一排红旗共26面，原来每两面之间的距离是4米”，用（26﹣1）×4=100米可求出需要插红旗的总距离是多少米；再根据“原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米”，可知如果起点一面不动，那么4和5米的公倍数也就是公共点的旗就不需要动；4和5的最小公倍数是20，用100÷20即可得出除了起点一面不移动外，还可以有5面不需移动． 解：总距离：（26﹣1）×4=100（米）， 4和5的最小公倍数是20， 所以除了起点一面不移动外，不需要移动的还有：100÷20=5（面）； 答：如果起点一面不移动，还可以有5面不移动． 故答案为5面． 点评：解答此题关键是把要求的问题转化成是求4和5的最小公倍数的倍数；在解答时，要注意插26面红旗，中间就有26﹣1个间隔． 14．20米；18棵 【分析】由题意可知：每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数；求出长方形的周长，用周长÷每两棵树间的距离即可求得最少需要多少棵杉树；据此解答。 【详解】100＝2×2×5×5 80＝2×2×2×2×5 所以100和80的最大公因数是2×2×5＝20，即每两棵树间的距离最多是20米。 （100＋80）×2÷20 ＝360÷20 ＝18（棵） 答：每两棵树间的距离最多是20米，最少需要18棵杉树。 【点睛】本题主要考查最大公因数的实际应用，明确每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数是解题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$