6.5.1 直线与平面垂直(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 任何一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 一条直线 一个平面 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 平行 a∥b 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 平行 任意一点 投影 锐角 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 两条相交 a∩b＝A l⊥α 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 垂直 垂直 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 学业标准 素养目标 1．理解并掌握直线与平面垂直的相关定义、直线与平面所成角的定义．(重点) 2．掌握直线与平面垂直的性质定理、判定定理，并能运用它们解决有关线面垂直问题．(重点、难点) 1．通过学习直线与平面垂直、直线与平面所成角的定义，提升直观想象等核心素养． 2．通过直线与平面垂直的性质与判定定理的应用，提升逻辑推理等核心素养. 导学1　直线与平面垂直的定义 如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？ [提示]　垂直关系，所成的角度不变，都为90°. ◎结论形成 1．直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作_______ 有关 概念 直线l称为平面α的________，平面α称为直线l的________．它们唯一的公共点P称为________ 图示及 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2．重要结论(唯一性结论) 过一点有且只有____________与一个平面垂直，过一点有且只有____________与一条直线垂直． 导学2　直线与平面垂直的性质 如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，请回答下面的问题． (1)灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？ [提示]　垂直． (2)灯柱所在的直线间是什么位置关系？ [提示]　平行． ◎结论形成 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线________ a⊥α，b⊥α⇒________ 2．直线到平面的距离 如果一条直线与平面________，那么这条直线上____________到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离． 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线与它在这个平面上的________所成的________，叫作这条直线与这个平面所成的角． (2)一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹的角是0°. 导学3　直线与平面垂直的判定 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．用曲尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ [提示]　不能，因为不能保证木棒与板面内任一直线垂直． ◎结论形成 1．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的____________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α，,__________,l⊥a，l⊥b)) ⇒________ 2．重要结论：如果两条平行线中的一条________于一个平面，那么另一条也________于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l垂直于平面α内任意直线，则l⊥α.(　　) (2)若直线l垂直于α内一个梯形的两条边，则有l⊥α.(　　) (3)若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线．(　　) (4)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　　) 解析　(1)显然正确． (2)若l垂直于梯形平行的两边，则l不一定垂直α. (3)如图a不垂直α，但α内的直线b可以垂直a. (4)当这无数条直线为平面α内的平行直线时，不能判定l⊥α. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 解析　直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边． 答案　B 3．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是(　　) A．a∥α B．a⊥α C．a⊂α D．a⊂α或a∥α 解析　a⊥b，b⊥α，则a⊂α或a∥α，故选D． 答案　D 4．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成角的大小为________． 解析　如图，由长方体的性质可知，B1D1为斜线BD1在底面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角． 在Rt△BD1B1中， tan∠BD1B1＝eq \f(BB1,B1D1)＝eq \f(\r(3),3)， ∴∠BD1B1＝eq \f(π,6). 答案　eq \f(π,6) 题型一　直线与直线、直线与平面垂直的判定 一题多变 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F. (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD． [证明]　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC． 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC． 又PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF. (2)由(1)知PC⊥平面AEF， 所以PC⊥AG， 同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以AG⊥PD． [母题变式] (变条件、变结论)若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH. 证明　因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC， 又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA， 因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， 且PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC，FH⊂平面PAC， 所以BD⊥FH. 证明线面垂直的关键点 (1)证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直，三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是寻找线线垂直的方法． (2)判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用： ①两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线与两平行平面中的一个面垂直，则它与另一个平面也垂直． [触类旁通] 1．(多选题)如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　) A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC 解析　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，又BC⊥AE，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，故A正确； 由BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB， 得BC⊥AD， 又PA＝AB，D是PB的中点， ∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC， ∴AD⊥平面PBC，故C正确； 由AD⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 得AD⊥PC，故B正确； 由BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB， 得PB⊥BC， ∴PB与DC不垂直， ∴PB与平面ADC不垂直．故D错误． 答案　ABC 题型二　线面垂直的性质的应用 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC．证明：AE∥MN. [证明]　因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB． 又AB∥CD，所以AE⊥CD． 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD． 又CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD．因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD． 又MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. [素养聚焦]　在直线与平面垂直的性质定理的应用过程中，体现了逻辑推理等核心素养． (1)本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据． (2)空间证明线线平行的方法有定义法、公理4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理． [触类旁通] 2．(1)(多选题)已知直线a，b与平面α，β，γ，则下列命题正确的是(　　) A．若a⊥b，b⊂α，则a⊥α B．若a∥b，b⊂α，则a∥α C．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥α，α∥β，则a⊥β (2)如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l. (1)解析　若a⊥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α或a与α相交，A错误；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，B错误；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，C正确；若a⊥α，α∥β，则a⊥β，D正确． 答案　CD (2)证明　因为EA⊥α，α∩β＝l， 即l⊂α，所以l⊥EA． 同理l⊥EB．又EA∩EB＝E， 所以l⊥平面EAB． 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB． 由线面垂直的性质定理，得a∥l. 题型三　直线与平面所成的角 (1)(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° (2)在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于点M，AN⊥PC于点N.求证： ①BC⊥平面PAC； ②若AB＝eq \r(2)AP，求直线AB与平面AMN所成角的正切值． (1)[解析]　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1＝O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO＝eq \f(C1O,BC1)＝eq \f(1,2)，故∠C1BO＝30°，故选项C错误； 直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故选项D正确．综上，答案选ABD． [答案]　ABD (2)[证明]　①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， ∵△ABC是直角三角形，AB为斜边， ∴BC⊥AC． 又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC． ②由①知BC⊥平面PAC， ∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN. 又AN⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥PB． 又PB⊥AM，AM∩AN＝A， ∴PB⊥平面AMN. 即∠BAM是AB与平面AMN所成的角． ∵△AMB∽△PAB，∴∠APB＝∠MAB， 在Rt△APB中，AB＝eq \r(2)AP，∴tan∠APB＝eq \r(2). 故直线AB与平面AMN所成角的正切值为eq \r(2). 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的投影，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算． [触类旁通] 3.如图，Rt△ABC的斜边AB在平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是斜边AB上的高，则CD与平面α所成的角为________． 解析　作CC1⊥平面α，连接AC1，BC1，DC1，则∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的角． 设CC1＝a，则AC＝2a，BC＝eq \r(2)a. 因为在Rt△ABC中，AB＝eq \r(6)a， 所以CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(2,\r(3))a. 在Rt△CC1D中，sin∠CDC1＝eq \f(CC1,CD)＝eq \f(\r(3),2)， ∴∠CDC1＝60°.即CD与平面α所成的角为60°. 答案　60° 知识落实 技法强化 1．直线与平面垂直的定义及有关概念． 2．直线与平面垂直的性质定理、判定定理． 3．直线与平面所成的角. 1．转化法． 2．直线与平面所成角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求解时，作图、证明、计算缺一不可. $$