章末达标检测2(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b| A．①②　　　　　　　 B．①③ C．①③⑤ D．②④⑤ 解析　易知a＝0，则①③⑤正确． 答案　C 2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)．若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)， 且c满足3a－2b＋c＝0， ∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)． 答案　A 3．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 得[(b＋c)＋a][(b＋c)－a]＝3bc， 即(b＋c)2－a2＝3bc， 整理得b2＋c2－a2＝bc， 根据余弦定理得cos A＝＝. 因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°. 故选B． 答案　B 4．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为a＝(3,1)，b＝(2,2)，所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)， 则＝＝，＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B． 答案　B 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccos B＋bcos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则＝(　　) A． B． C．2 D． 解析　把余弦定理代入ccos B＋bcos C＝，得a＝， 由b2＋c2－a2＝bc，得2bccos A＝bc， ∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝. 所以＝＝2. 故选C． 答案　C 6．(2024·吉林长春二中高一下期末)《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4，东畔长为2，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为(注：sin 41°≈0.66)(　　) A．4 B．3.3 C．6.6 D．7 解析　由题可得，∠DAC＝49°－19°＝30°，在△ACD中，由余弦定理可得DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，则28＝AC2＋48－12AC，即(AC－2)(AC－10)＝0，因为∠D＞∠DCA，所以AC＞AD，故AC＝10，故BC＝AC·cos 49°＝10·sin 41°≈6.6. 答案　C 7．(2024·福建福州八中高一下期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC中最小角的余弦值等于(　　) A． B． C． D． 解析　因为20a＋15b＋12c＝0，所以20a(－)＋15b＋12c＝0，即(20a－15b)＋(12c－20a)＝0.又和不共线，所以所以b＝a，c＝a，所以在△ABC中a为最小边，即A为最小角，所以△ABC中最小角的余弦值为cos A＝＝. 答案　A 8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，＝2，＝＋，则||＝(　　) A． B． C． D． 解析　∵＝－＝＋－＝－＋， ∴||＝ ＝ ＝＝. 故选A． 答案　A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量m＋n＝(3,1)，m－n＝(1，－1)，则(　　) A．(m－n)⊥n B．(m－n)∥n C．|m|＝|n| D．〈m，n〉＝135° 解析　因为m＋n＝(3,1)，m－n＝(1，－1)，所以m＝(2,0)，n＝(1,1)． (m－n)·n＝1×1＋(－1)×1＝0，则(m－n)⊥n，A正确，B错误；|m|＝＝2，|n|＝，则|m|＝|n|，C正确；cos〈m，n〉＝＝，则〈m，n〉＝45°，D错误． 答案　AC 10．下列说法正确的有(　　) A．已知a＝(－1,2)，b＝(2，x)，c＝(8，y2)，若a⊥b，b与c共线，则y＝±2 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线 D．若＝(3,1)，＝(m－1，m)，∠BAC为锐角，则实数m的范围是m> 解析　对于A，由a⊥b，可得a·b＝－2＋2x＝0，解得x＝1，即b＝(2,1)； 又因为b与c共线，所以2y2－1×8＝0，可得y2＝4，解得y＝±2，所以A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，若b＝0，那么若a∥b，b∥c，则a与c不一定平行，所以B错误； 对于C，若|a|≠|b|，不妨令a＝2b，则a与b是共线的，即C错误； 对于D，若∠BAC为锐角，则·＝3(m－1)＋m>0，解得m>， 且，不同向，则3m－(m－1)≠0， 即m≠－，综上m>，D正确．故选AD． 答案　AD 11．如图，已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝λ(0＜λ＜1)，则(　　) A．当λ＝时，＝＋ B．当λ＝时，cos〈，〉＝ C．对任意λ∈(0,1)，⊥不成立 D．|＋|的最小值为4 解析　如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，D(0,2)，由＝λ，可得E(3λ，2)． 当λ＝时，E(1,2)，则＝(1,2)，＝(－2,2)，设＝m＋n，又＝(0,2)，所以得故＝＋，故A错误；当λ＝时，E(2,2)，则＝(2,2)，＝(－1,2)，故cos〈，〉＝＝＝，故B正确；＝(3λ，2)，＝(3λ－3,2)，若⊥，则·＝3λ(3λ－3)＋2×2＝9λ2－9λ＋4＝0，对于方程9λ2－9λ＋4＝0，Δ＜0，故不存在λ∈(0,1)，使得⊥，故C正确；＋＝(6λ－3,4)，所以|＋|＝≥4，当且仅当λ＝时等号成立，故D正确． 答案　BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出一个同时满足下列条件①②的向量a的坐标：________. ①|a|＝1； ②向量a与b＝(1，－1)的夹角α∈. 解析　由|a|＝1，可设a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]．又向量a与b＝(1，－1)的夹角α∈，所以θ∈∪，在该区间内任取一个θ即可．不妨取θ＝，则a＝. 答案　(答案不唯一) 13．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 解析　由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又0≤θ≤π， 所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|cos θ＝3＋2×＝6. 答案　　6 14．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，且点M在△ACD的内部(不含边界)，若＝＋m，则·的取值范围是________． 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，因为D为BC中点，AB＝AC＝3， 所以D，A(0,0)，B(3,0)，C(0,3)， 则＝＋m＝(3,0)＋m(0,3)＝(1,3m)， 则M点的坐标为(1,3m)． 又M点在△ACD的内部(不含边界)，所以1＜3m＜2，即＜m＜. 则·＝·(－2,3m) ＝1＋3m ＝9m2－m＋1＝92＋， 因为＜m＜，所以·∈. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图所示，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且＝.设＝a，＝b. (1)试用基底{a，b}表示，； (2)若G为长方形ABCD内部一点，且＝a＋b，求证：E，G，F三点共线． (1)解析　由题可知＝＋＝＋＝＋＝b＋a； ＝＋＝＋＝－＝a－b. (2)证明　＝a＋b， ＝－＝a－b，＝a－b＝2， ∴，共线，又∵，有一公共点E， ∴E，G，F三点共线． 16．(15分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0， (1)用，表示； (2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形． (1)解析　因为2＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－. (2)证明　如图， ＝＋＝－＋＝(2－)， 故＝. 即DA∥OC，且DA≠OC． 故四边形OCAD为梯形． 17．(15分)为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 解析　①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)． ②第一步：计算AM. 由正弦定理得AM＝. 第二步：计算AN. 由正弦定理得AN＝. 第三步：计算MN. 由余弦定理得 MN＝. 18．(17分)(2024·江苏省淮州中学高一期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C． (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC． (1)证明　设△ABC的外接圆半径为R. 由正弦定理，得sin∠ABC＝，sin C＝. 因为BDsin∠ABC＝asin C， 所以BD·＝a·，即BD·b＝ac. 又b2＝ac，所以BD＝b. (2)解析　因为AD＝2DC， 所以AD＝b，CD＝. 在△ABC中，cos C＝，① 在△BCD中，cos C＝.② 由①②得a2＋b2－c2＝3，整理得2a2－b2＋c2＝0. 又b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，解得a＝或a＝. 当a＝，b2＝ac＝时，a＋b＝＋＜c(舍去)． 当a＝，b2＝ac＝时，cos∠ABC＝＝. 所以cos∠ABC＝. 19.(17分)如图所示，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB＝2，BC＝，A＝，D为AC延长线上一点，且CD＝＋1. (1)求∠BCD的大小； (2)求BD，AC的长． 解析　(1)在△ABC中，因为AB＝2，A＝， BC＝， 由正弦定理可得＝， 即＝＝＝2， 所以sin∠ACB＝， 因为∠ACB为钝角，所以∠ACB＝， 所以∠BCD＝. (2)在△BCD中，由余弦定理可知 BD2＝CB2＋CD2－2CB·DC·cos∠BCD， 即BD2＝()2＋(＋1)2－2(＋1)·cos ， 整理得BD＝2. 在△ABC中，由余弦定理可知 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A， 即()2＝22＋AC2－2×2ACcos ， 整理得AC2－2AC＋2＝0， 解得AC＝±1. 因为∠ACB为钝角，所以AC<AB＝2，所以AC＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$