章末达标检测1(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知sin(π＋α)＝，则cos＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． 解析　由sin(π＋α)＝－sin α＝，得sin α＝－，则cos＝－sin α＝，故选B． 答案　B 2．如图是折扇的示意图，其中OA＝20 cm，∠AOB＝，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是(　　) A．50π cm2 B．100π cm2 C．150π cm2 D．200π cm2 解析　设OA＝r，∠AOB＝α，则扇环的面积S＝αr2－α2＝αr2＝××400＝100π(cm2)．故选B． 答案　B 3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为sin ＞0，cos ＜0， 所以点在第四象限． 又因为tan α＝＝－， 所以α的最小正值为2π－π＝π.故选D． 答案　D 4．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A．－ B．－ C．0 D． 解析　由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－，故选A． 答案　A 5．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为y＝Asin(ωx＋φ)时，通过降噪系统产生声波曲线y＝－Asin(ωx＋φ)将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2cos D．y＝2cos 解析　由图可知，A＝2，噪音的声波曲线的最小正周期T＝＝π，则ω＝2. 因为噪音的声波曲线过点，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，所以φ＝－， 即噪音的声波曲线为y＝2sin， 则可以用来智能降噪的声波曲线为 y＝－2sin＝2cos，故选C． 答案　C 6．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)，x∈[0，π]的值域为，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D．(0，＋∞) 解析　∵0≤x≤π，∴－≤ωx－≤ωπ－(逻辑推理)，又f(x)∈，∴≤ωπ－≤，解得≤ω≤.故选C． 答案　C 7．(2024·安徽六安高三联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴交于点M，距离y轴最近的最大值点为N，若x1，x2∈(－a，a)，且x1≠x2，恒有f(x1)≠f(x2)，则实数a的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得，A＝3,3sin φ＝，|φ|＜， ∴φ＝. 由五点作图法知×ω＋＝，解得ω＝3， ∴f(x)＝3sin. 令2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得－≤x≤＋，k∈Z. ∴(－a，a)⊆，∴0＜a≤. 答案　C 8．已知函数f(x)＝2sin，若x1，x2∈[－2π，2π]，且满足f(x1)＋f(x2)＜0，f(x1)f(x2)≥4，则x1－2x2的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　由f(x1)＋f(x2)＜0，f(x1)·f(x2)≥4， 得f(x1)＝f(x2)＝－2. 当f(x)＝2sin＝－2时， 2x＋＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z. 由x1，x2∈[－2π，2π]， 得x1，x2∈， 则(x1－2x2)max＝(x1)max－2(x2)min＝－2×＝.所以x1－2x2的最大值为.故选B． 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝|tan 2x| D．f(x)＝sin |x| 解析　当x∈时，2x∈，由于f(x)＝cos 2x在x∈时单调递减，且cos 2x＜0，故f(x)＝|cos 2x|在区间上单调递增．故A不符合题意．而f(x)＝|sin 2x|以为周期，在区间上单调递减；f(x)＝|tan 2x|的周期为且在区间上单调递减，故B，C符合题意；f(x)＝sin |x|不是周期函数．故选BC． 答案　BC 10．对于函数f(x)＝sin x＋cos x，给出下列选项，其中不正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点对称 B．存在α∈，使f(α)＝1 C．存在α∈，使函数f(x＋α)的图象关于y轴对称 D．存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立 解析　函数f(x)＝sin x＋cos x＝2sin. 对于A：函数f(x)＝2sin， 当x＝时，2sin＝2， 不能得到函数f(x)的图象关于点对称． ∴A错误； 对于B：α∈，可得α＋∈，f(α)∈(，2]，不存在f(α)＝1，∴B错误； 对于C：函数f(x＋α)的对称轴方程为 x＋α＋＝＋kπ，k∈Z，可得x＝kπ＋－α， 当k＝0，α＝时，可得图象关于y轴对称． ∴C正确； 对于D：f(x＋α)＝f(x＋3α)说明2α是函数的周期， 函数f(x)的周期为2π，故α＝π， ∴不存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，∴D错误，故选ABD． 答案　ABD 11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤π)，且f≤f(x)≤f对任意的x∈R都成立，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．当ω取最小值时，φ＝－ C．f＝0 D．f(x)在区间上单调递增 解析　因为f≤f(x)≤f对任意的x∈R都成立，所以ω＋φ＝2k1π－，ω＋φ＝2k2π＋，k1，k2∈Z且k2≥k1，所以ω＝(2k＋1)π，ω＝2(2k＋1)，其中k＝k2－k1，k1，k2∈Z，又ω＞0，所以f(x)的最小正周期T＝＝，k∈Z，故A错误；易知ωmin＝2，此时φ＝2k2π－，k2∈Z，因为|φ|≤π，所以φ＝－，B正确；易知x＝和x＝是f(x)图象的两条对称轴，所以是f(x)图象的一个对称中心，故C正确；当k＞1时，f(x)的最小正周期T≤，而－＝＞，故D错误．故选BC． 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________. 解析　cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)] ＝－cos(45°＋α)＝－. 答案　－ 13．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f(x)＝________. ①f(x)为奇函数；②f为偶函数；③f(x)在R上的值域为. 解析　由②可知f＝f，由此可知f＝f(－x)＝－f(x)，f＝－f＝f(x)， 故f(x)是周期为4的奇函数，f是周期为4的偶函数，因此不妨假设f(x)＝Asin ωx，则T＝＝4⇒ω＝， 由③可知f(x)＝2sin或f(x)＝－2sin均可． 答案　2sin(答案不唯一) 14．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________. 解析　由函数f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，f(x)在区间上有最小值，无最大值及三角函数的性质，可得f(x)在x＝＝处取得最小值，即ω×＋＝2kπ－，k∈Z，化简可得ω＝8k－，∵ω＞0， ∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝，此时f(x)在区间内存在最大值． 故ω＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2024·永安九中校考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式及单调递减区间； (2)求y＝2f在上的最大值和最小值． 解析　(1)由图可知A＝1，且＝－＝，所以ω＝2， 所以f(x)＝cos(2x＋φ)，将点代入解析式，可得cos＝1，得＋φ＝2kπ，k∈Z， 即φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|≤，所以φ＝－， 则f(x)＝cos， 所以f(x)的单调递减区间满足2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)由(1)得y＝2f ＝2cos＝2cos， 因为x∈，所以2x－∈， 故当x＝0时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝2， 所以函数y在上的最大值为2，最小值为－1. 16．(15分)已知函数f(x)＝sin . (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．若关于x的方程g(x)－k＝0在区间上有实数解，求实数k的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到g(x)＝sin的图象， ∵0≤x≤，∴≤x＋≤， ∴≤sin≤1， ∴≤g(x)≤1，∴关于x的方程g(x)－k＝0在区间上有实数解， 即g(x)与y＝k的图象有交点， ∴≤k≤1，故k的取值范围为. 17．(15分)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中－π＜φ＜0，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求f(x)的单调递增区间． 解析　∵f＞f(π)， ∴sin (π＋φ)＞sin φ，得sin φ＜0. 又f(x)≤对x∈R恒成立， 故f＝±1，即sin ＝±1， ∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z. 又sin φ＜0，φ∈(－π，0)， ∴φ＝－，故f(x)＝sin . 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 18．(17分)如图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值． 解析　(1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中， 得cos θ＝.∵0≤θ≤，∴θ＝. ∵T＝π，且ω＞0，∴ω＝＝＝2. (2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝， ∴点P的坐标为. ∵点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π， ∴cos＝，且≤4x0－≤. ∴4x0－＝或4x0－＝. ∴x0＝或x0＝. 19．(17分)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个；①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y＝sin的图象平移得到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式； (2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和． 解析　(1)函数f(x)＝Asin满足的条件为①③. 理由如下： 由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数f(x)＝Asin满足的条件之一，由③可知，T＝π，所以ω＝2，故②不合题意． 所以函数f(x)＝Asin满足的条件为①③. 由①可知A＝2， 所以f(x)＝2sin. (2)因为f(x)＋1＝0，所以sin＝－， 所以2x＋＝－＋2kπ， k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]， 所以x的取值为－，，－，，所以方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为－＋－＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$