章末整合提升2(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 章 末 整 合 提 升 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 一、平面向量的运算 题点多探　多维探究 角度1　向量的线性运算 1．向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解要注意大小、方向两个方面． 2．题型主要为以下两大类 (1)几何、字母表示下的运算．包括线性运算法则及几何意义；向量式的运算、化简；向量的表示；证明三点共线、两线段平行；证明线段相等；求点或向量的坐标等内容的考查．此类问题更注重考查的是数形结合思想的应用． (2)坐标表示下的运算．此类问题考查内容与第一类相同，但更加注重考查将向量问题向代数问题转化的能力． [题组训练] 1．在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(DM,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(BC,\s\up16(→))　　　　　　　 B．eq \o(DC,\s\up16(→)) C．eq \o(AC,\s\up16(→)) D．eq \o(BD,\s\up16(→)) 解析　eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(DM,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(AM,\s\up16(→))＋eq \o(MD,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))， 在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))， 所以eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(DM,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))， 故选B． 答案　B 2．如图，在△ABD中，已知eq \o(BC,\s\up16(→))＝2eq \o(CD,\s\up16(→))，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) B．eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) C．eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,2) eq \o(AC,\s\up16(→)) D．eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,2) eq \o(AC,\s\up16(→)) 解析　因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝2eq \o(CD,\s\up16(→))， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 故选C． 答案　C 3．在△ABC中，点M，N满足eq \o(AM,\s\up16(→))＝2eq \o(MC,\s\up16(→))，eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \o(NC,\s\up16(→))，若eq \o(MN,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，则x＝________；y＝________. 解析　因为eq \o(AM,\s\up16(→))＝2eq \o(MC,\s\up16(→))，所以eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)). 因为eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \o(NC,\s\up16(→))，所以eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(AN,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→)). 又eq \o(MN,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))不共线，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6). 答案　eq \f(1,2)　－eq \f(1,6) 角度2　向量数量积的运算 1．利用数量积的定义、运算律求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． 2．借助零向量 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． 3．借助平行向量与垂直向量 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b⇔a·b＝0等解决问题． 4．建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． [题组训练] 1．设向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k＝(　　) A．－eq \f(3,2)　　　　　　　 B．－eq \f(5,3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,2) 解析　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)， 又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0， 解得k＝－eq \f(3,2). 答案　A 2．设四边形ABCD为平行四边形，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝4.若点M，N满足eq \o(BM,\s\up16(→))＝3eq \o(MC,\s\up16(→))，eq \o(DN,\s\up16(→))＝2eq \o(NC,\s\up16(→))，则eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(NM,\s\up16(→))＝(　　) A．20 B．15 C．9 D．6 解析　如图所示，由题设知： eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(NM,\s\up16(→))＝eq \o(NC,\s\up16(→))－eq \o(MC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up16(→))， ∴eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(NM,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(3,4)\o(AD,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,3)|eq \o(AB,\s\up16(→))|2－eq \f(3,16)|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＋eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,3)×36－eq \f(3,16)×16＝9. 答案　C 二、向量的平行、垂直、夹角、模的问题 1．证明共线问题常用的方法 (1)向量a，b(b≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使a＝λb. (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线⇔x1y2－x2y1＝0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 2．证明垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 3．解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a|＝eq \r(x2＋y2)[其中a＝(x，y)]． (2)应用三角形或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2. 4．求向量的夹角 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦 cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)) \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). [题组训练] 1．已知a，b为单位向量，且(2a－b)⊥b，则|a＋b|＝(　　) A．1 B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5) 解析　a，b为单位向量，且(2a－b)⊥b， 可得(2a－b)·b＝2a·b－b2＝0， 所以2a·b＝b2＝|b|2＝1，则|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(3). 故选B． 答案　B 2．已知|a|＝|b|＝1，a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(7,5)))，则|a－b|＝________. 解析　由|a＋b|2＋|a－b|2＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)＝2(|a|2＋|b|2)， 可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2＋|a－b|2＝4， 解得|a－b|2＝2，即|a－b|＝eq \r(2). 答案　eq \r(2) 3．已知非零向量a，b，且|a|＝|b|＝|a＋b|.求： (1)a与b的夹角； (2)b与a－b的夹角． 解析　(1)设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，如图，由|a|＝|b|＝|a＋b|知，▱OACB是菱形，且△OAC与△OBC都是正三角形，则∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°， 所以a与b的夹角为120°. (2)因为∠AOB＝120°，所以∠OAB＝∠OBA＝30°， 又eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b，所以eq \o(OB,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))的夹角为180°－30°＝150°， 所以b与a－b的夹角为150°. 三、用正、余弦定理解三角形 1．已知两角和一边．如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π，求C，由正弦定理求a，b. 2．已知两边和这两边的夹角．如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． 3．已知两边和其中一边的对角．如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． 4．已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C． [题组训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(13)，bc＝12，A＝eq \f(π,3)，则b＋c＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2×12×eq \f(1,2)＝13，所以b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝49，所以b＋c＝7. 答案　B 2．(多选题)在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2bsin A，a＝3eq \r(3)，c＝5，则b＝(　　) A．7 B．eq \r(7) C．eq \r(97) D．97 解析　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， 由a＝2bsin A得2Rsin A＝2×2Rsin B·sin A， 角A为三角形的内角，sin A≠0，所以sin B＝eq \f(1,2)， 当△ABC为锐角三角形时B＝eq \f(π,6). 根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝27＋25－45＝7， 所以b＝eq \r(7). 当∠B为钝角时，B＝eq \f(5π,6)，b2＝27＋25＋45＝97， ∴b＝eq \r(97)，故选BC． 答案　BC 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝______. 解析　由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(3,sin 60°)＝eq \f(\r(6),sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(2),2). 又b<c且C＝60°，∴B＜60°. 所以B＝45°，因此A＝180°－60°－45°＝75°. 答案　75° 4．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是 △ADC面积的2倍． (1)求eq \f(sin B,sin C)； (2)若AD＝1，DC＝eq \f(\r(2),2)，求BD和AC的长． 解析　(1)S△ABD＝eq \f(1,2)AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝eq \f(1,2)AC·ADsin∠CAD． 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以AB＝2AC． 由正弦定理得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2). (2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， 所以BD＝eq \r(2). 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC， 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. 四、正、余弦定理的实际应用 1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，然后从这几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 3．实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解． [题组训练] 1．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A．eq \f(17\r(6),2) 海里/小时 B．34eq \r(6) 海里/小时 C．eq \f(17\r(2),2) 海里/小时 D．34eq \r(2) 海里/小时 解析　如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)， ∴MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)，∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6),2)(海里/小时)． 答案　A 2.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花． (1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是不是定值？请说明理由； (2)为了让游客深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径(PM，PN，MN)的长度和最小？ 解析　(1)PM与PN的长度之和是定值．理由：在△BPM中，∠MBP＝45°，∠BMP＝180°－45°－60°＝75°，由正弦定理得eq \f(PB,sin 75°)＝eq \f(PM,sin 45°)， ∴PM＝(eq \r(3)－1)PB，同理可得PN＝(eq \r(3)－1)PC， ∴PM＋PN＝(eq \r(3)－1)(PB＋PC)＝(eq \r(3)－1)BC＝400(eq \r(3)－1)(米)， 为定值． (2)在△PMN中，由余弦定理得 MN2＝PN2＋PM2－2PN·PMcos 60°＝(PM＋PN)2－3PM·PN ≥(PM＋PN)2－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PM＋PN,2)))2 ＝160 000(eq \r(3)－1)2－3×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(400\r(3)－1,2)))2＝40 000(eq \r(3)－1)2， ∴MN≥200(eq \r(3)－1)，当且仅当PN＝PM，即点P为BC的中点时，MN取得最小值200(eq \r(3)－1)(米)． 故当点P为MN的中点时，三条小径(PM，PN，MN)的长度和最小． 混淆向量平行与直线平行 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(－1,2)，D(2，－1)，请问：AB与CD平行吗？ [错解]　因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－1)，eq \o(CD,\s\up16(→))＝(3，－3)， 又1×(－3)－(－1)×3＝0， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→))，即AB∥CD． [正解]　因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－1)，eq \o(CD,\s\up16(→))＝(3，－3)， 又1×(－3)－(－1)×3＝0，所以eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→)). 又eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－1)， 而－1×(－1)－1×1＝0， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(AC,\s\up16(→))，所以A，B，C，D四点共线， 所以AB与CD不平行． [纠错心得] 在同一平面内，若两条直线无交点，则两直线平行；若a与b的方向相同或相反，则a∥b.注意向量平行与直线平行的区别． 向量在平面几何中的应用 (13分)如图所示，在▱ABCD中，AD，DC边的中点分别为E，F，连接BE，BF，与AC分别交于点R，T.求证：AR＝RT＝TC． [审题指导]　要证明AR＝RT＝TC，只要找出AR，AT，AC的关系即可，为此需借助eq \o(AR,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线、eq \o(ER,\s\up16(→))与eq \o(EB,\s\up16(→))共线设参数，利用解方程求出参数． [规范解答]　设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AR,\s\up16(→))＝r， eq \o(AT,\s\up16(→))＝t，则eq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋b.(1分) 因为eq \o(AR,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线，所以存在实数n，使得r＝n(a＋b)，n∈R.(2分) 因为eq \o(ER,\s\up16(→))与eq \o(EB,\s\up16(→))共线，所以存在实数m，使得eq \o(ER,\s\up16(→))＝meq \o(EB,\s\up16(→))，m∈R.(3分) 而eq \o(EB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AE,\s\up16(→))＝a－eq \f(1,2)b， 则eq \o(ER,\s\up16(→))＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b)).(4分) 因为eq \o(AR,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(ER,\s\up16(→))， 所以n(a＋b)＝eq \f(1,2)b＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))， 即(n－m)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(m－1,2)))b＝0①.(6分) 因为向量a，b不共线②， 于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2)＝0，)) 解得m＝n＝eq \f(1,3)，(9分) 所以eq \o(AR,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，同理eq \o(AT,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)).(11分) 所以eq \o(AR,\s\up16(→))＝eq \o(RT,\s\up16(→))＝eq \o(TC,\s\up16(→))，故AR＝RT＝TC．(13分) $$