阶段测评3(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

阶段测评(三)[§1～§4] (时间90分钟，分值110分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“α∥β”是“m∥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　根据面面平行的性质定理，可知当α∥β时，有m∥n，故充分性成立；反之，当m∥n时，α，β可能相交(如图所示)，故必要性不成立，所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件． 答案　A 2．六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　) A．1对　　　　　　　 B．2对 C．3对 D．4对 解析　由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，故此六棱柱的面中互相平行的有4对． 答案　D 3．如图所示，在三棱锥或四棱台中，点P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) 解析　选项A，连接PQ，SR，四边形PQRS是平行四边形，所以点P，Q，R，S共面，故排除A；选项C、D中的PQ∥RS，所以点P，Q，R，S共面，故排除C、D，选项B中显然P，Q，R，S不共面． 答案　B 4．使平面α∥平面β的一个条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线 解析　A，B，C项中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D项正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β. 答案　D 5．下列命题不正确的是(　　) A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 解析　直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D两个命题也正确，故选A． 答案　A 6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是(　　) A．MN＝EF，且MN与EF平行 B．MN≠EF，且MN与EF平行 C．MN＝EF，且MN与EF异面 D．MN≠EF，且MN与EF异面 解析　设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则MN＝a.作点E在平面ABCD内的射影点G，则点G为AD的中点，连接EG，GF，如图，所以EF＝＝ ＝a，所以MN≠EF，故A、C错误；延长EF，可知直线EF与平面BCC1B1相交且交点在正方体外，即该交点不在MN上，所以MN与EF异面，故B错误．故选D． 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．用一个平面去截正方体，所得截面不可能是(　　) A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 解析　如图所示，当截面为三角形时，可能出现等边三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形、正方形、等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；当截面为六边形时，可能出现正六边形． 答案　ABC 8．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示三个平面，则下列选项中，不正确的有(　　) A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β B．若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β 解析　A错误，可考虑三棱柱模型，三棱柱的三个侧面中任意两个与第三个侧面相交，两条交线即侧棱相互平行，但这两个侧面不平行；B正确，由判定定理可知，由m，n两条相交直线所确定的平面既与α平行，也与β平行，因而α∥β；C错误；D错误．故选ACD． 答案　ACD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9.如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______________________． 解析　设过点A的母线与圆柱上底面交于点C． 如图，将圆柱侧面展开，则BC＝＝π. 在圆柱的侧面展开图上，最短路径的长度为AB＝ ＝ . 答案　 10.(2024·滁州高一期末)如图所示，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点E(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，D1E＝λEC1，则λ＝________. 解析　如图所示，设B1C∩BC1＝O，可得平面BC1D1∩平面B1CE＝OE， ∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO， ∵O为B1C的中点，∴E为C1D1的中点， ∴D1E＝EC1．故λ＝1． 答案　1 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB． 证明　取AD的中点O，连接OC，OE，如图．因为E为侧棱PD的中点，所以OE∥PA，OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， 所以OE∥平面PAB． 因为BC＝2，AD＝4，AO＝AD＝2，即AO＝BC，且BC∥AD， 所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB． 又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以OC∥平面PAB． 因为OC∩OE＝O，OC⊂平面OCE，OE⊂平面OCE，所以平面OCE∥平面PAB．因为CE⊂平面OCE，所以CE∥平面PAB． 12．(13分)如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P­ABCD，如图②所示．求证：在四棱锥P­ABCD中，AP∥平面EFG. 证明　在直角梯形 ABCP中，因为BC＝AP，D为AP的中点，所以BC＝AD． 又因为BC∥AD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD． 因为G为BC的中点，E为PC的中点，所以在题图②中GE∥BP. 又GE⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，所以GE∥平面PAB． 由F为PD的中点，得EF∥DC． 因为AB∥DC，所以EF∥AB． 又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB． 因为EF∩GE＝E，EF⊂平面EFG，GE⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB． 因为PA⊂平面PAB，所以AP∥平面EFG. 13．(15分)如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN∥平面PAD； (2)在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD． (1)证明　如图，取PD的中点E，连接EN，AE. 因为在△PDC中，E，N分别为PD，PC的中点， 所以EN∥DC，且EN＝DC． 又在平行四边形ABCD中，M是AB的中点， 所以AM∥DC，且AM＝DC， 即EN∥AM，且EN＝AM， 所以四边形AMNE是平行四边形， 即MN∥AE. 因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD． (2)解析　取PB的中点Q，连接NQ，QM. 因为Q，N分别是PB，PC的中点， 所以NQ∥BC． 因为AD∥BC，所以NQ∥AD． 又NQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以NQ∥平面PAD． 由(1)知MN∥平面PAD． 又NQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，NQ∩MN＝N， 所以平面MNQ∥平面PAD． 即Q为PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD． 14．(17分)如图，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上． (1)若PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC； (2)若点Q满足PQ∶QD＝2∶1，则点M满足什么条件时，BM∥平面AQC? (1)证明　因为PM∶MA＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD． 因为底面ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以MQ∥BC． 因为MQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以MQ∥平面PBC． 因为BN∶ND＝PQ∶QD，所以QN∥PB． 因为QN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以QN∥平面PBC． 因为MQ∩QN＝Q，MQ，QN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PBC． (2)解析　当点M为PA的中点时，BM∥平面AQC．证明如下： 设BD交AC于点O，则点O为BD的中点，取PQ的中点E，连接ME，BE，OQ(图略)． 因为PQ∶QD＝2∶1，且E为PQ的中点， 所以PE＝EQ＝QD，所以Q为DE的中点． 又点O为BD的中点，所以BE∥OQ. 因为BE⊄平面AQC，OQ⊂平面AQC， 所以BE∥平面AQC． 因为点M，E分别为PA，PQ的中点， 所以ME∥AQ. 因为ME⊄平面AQC，AQ⊂平面AQC， 所以ME∥平面AQC． 因为BE∩ME＝E，BE，ME⊂平面BME， 所以平面BME∥平面AQC． 因为BM⊂平面BME，所以BM∥平面AQC． 所以当点M是PA的中点时，BM∥平面AQC． 学科网（北京）股份有限公司 $$