阶段测评2(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

阶段测评(二)[6.1～6.2] (时间90分钟，分值110分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．30°或150° D．60° 解析　由正弦定理＝，可得sin C＝＝＝， ∵a>c，则A>C，即0°＜C＜60°， ∴C＝30°.故选A． 答案　A 2．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A，且c＝2a，则＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析　因为asin 2B＝bsin A， 所以2asin Bcos B＝bsin A， 利用正弦定理可得2abcos B＝ab， 所以cos B＝，又c＝2a， 所以cos B＝＝＝， 解得＝.故选C． 答案　C 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　) A． B． C． D． 解析　由正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cos B＝＝，又B∈(0，π)，故B＝. 答案　C 4．已知a，b是不共线的非零向量，＝a＋2b，＝3a－b，＝2a－3b，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 解析　因为＝＋＋，所以＝(a＋2b)＋(3a－b)＋(2a－3b)＝2(3a－b)，因为＝3a－b，a，b是不共线的非零向量，所以∥且||≠||，所以四边形ABCD是梯形．故选A． 答案　A 5.(2024·黑龙江哈三中高一期末)为运输方便，某工程队将从A到D修建一条湖底隧道，如图，工程队从A出发向正东方向行10 km到达B，然后从B向南偏西45°方向行了一段距离到达C，再从C向北偏西75°方向行了4 km到达D，已知C在A南偏东15°方向上，则A到D的距离为(　　) A．15 km B．2 km C．10 km D．15 km 解析　连接AC，由题意，知∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，∠ACB＝15°＋45°＝60°，AB＝10 km，CD＝4 km.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，则AC＝10 km.在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝152，则AD＝2 (km)． 答案　B 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．若c＝2，b＝，则BC边上的中线AD为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　由于向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行， 所以asin B＝bcos A，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A， 由于sin B>0所以sin A＝cos A， 由于0<A<π，所以A＝. ＝(＋)， 两边平方得2＝(2＋2·＋2) ＝＝＝， 所以||＝.故选D． 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos A＝sin C 解析　由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知： 在A中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确； 在B中，由正弦定理，得＝， ∴asin B＝bsin A，故B正确； 在C中，由余弦定理，得 bcos C＋ccos B ＝b×＋c× ＝＝a，故C正确； 在D中，由余弦定理，得acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c≠sin C，故D错误．故选ABC． 答案　ABC 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则(　　) A．△ABC的面积为3 B．cos C＝ C．c＝ D．cos B＝ 解析　在△ABC中，因为a＝3，b＝4，且sin C＝， 由三角形的面积公式，可得S△ABC＝absin C＝×3×4×＝，所以A错误； 由C为锐角，且sin C＝，可得cos C＝＝，所以B正确； 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝19，可得c＝，所以C正确； 由余弦定理得cos B＝＝＝，所以D不正确． 故选BC． 答案　BC 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)． 又∵＝(－1,4)，∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力所做的功为－40. 答案　－40 10.(2024·江苏省海门中学高一期中)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝4，CD＝2，A＝45°，M为线段HL上一动点，则·的最小值为________． 解析　以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－4,2)，F(0，－2)，G(4，－2)．又M为线段HL上一动点，设M(2，y)，其中0≤y≤4，所以＝(4，－4)，＝(－2，y＋2)，所以·＝4×(－2)＋(－4)×(y＋2)＝－4y－16,0≤y≤4，所以当y＝4时，·取得最小值，为－32. 答案　－32 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)(2023·全国乙卷改编)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求cos∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解析　(1)由余弦定理可得 BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7， 则BC＝， cos ∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝×＝. 12．(13分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解析　如图所示，考点为A，检查开始处为B， 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中，AB＝(km)，AC＝1(km)， ∠ABC＝30°， 由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝， ∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)． 在△ACD中，AC＝AD＝1(km)，∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(km)． ∵×60＝5， ∴在BC上需5 min，CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格． 13．(15分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解析　设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图， 则有CD＝10t (n mile)，BD＝10t(n mile)， 在△ABC中，∵AB＝(－1)(n mile)，AC＝2(n mile)，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC＝(n mile)， 且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝， ∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角． ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 14．(17分)如图，已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是4(－1)km，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A，C之间的距离是8 km，现要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B，C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B，C的距离之和． 解析　(1)由题意可得AB＝4－4，AC＝8，∠BAC＝120°， 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(4－4)2＋82－2×(4－4)×8×＝96，故BC＝4， 即村庄B，C之间的距离为4 km. (2)在△ABC中，由正弦定理可得＝， 则sin∠ABC＝＝＝， 从而∠ABC＝45°， 故村庄C在村庄B的正西方向． 因为农贸市场D在村庄B的北偏东30°方向，所以∠CBD＝120°. 在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD， 因为CD＝BD，所以3BD2＝(4)2＋BD2＋4BD，所以BD＝4，则CD＝12， 故BD＋CD＝4＋12， 即农贸市场D到村庄B，C的距离之和为4＋12(km)． 学科网（北京）股份有限公司 $$