阶段测评1(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

阶段测评(一)[§1～§5] (时间90分钟，分值110分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a，b是单位向量，且a＋b＝，则向量a与b夹角的余弦值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析　由题意可知|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×1·cos〈a，b〉＋1＝2＋1＝，解得cos〈a，b〉＝－. 答案　A 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝，b＝.若⊥，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析　因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝， 由⊥可得，·(a＋μb)＝0， 即＋＝0，整理得λμ＝－1.故选D． 答案　D 3．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，因为a＋2b与2a－b平行，所以(－1＋2m)×3－4(－2－m)＝0，所以m＝－.所以a·b＝－1×＋2＝. 答案　D 4．在△ABC中，点M为边AC上的点，且＝3，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　) A．－1 B．1 C． D．－ 解析　由题意易得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故λ＝，μ＝，所以λ－μ＝－. 答案　D 5．在△ABC中，点D满足＝＋，直线AD与BC交于点E，则的值为(　　) A． B． C． D． 解析　设＝λ＝＋， 则＝－＝λ－＝＋－＝＋， ＝－，且，共线，设＝k，则＋＝k(－)， 所以解得k＝， 所以＝，故＝. 答案　C 6.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝，CB＝CD＝2.若点M是边BC上的动点，则·的最小值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　以B点为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点D作DP⊥x轴，过点D作DQ⊥y轴， 垂足分别为P，Q.因为AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝，所以∠BAD＝.又CB＝CD＝2，所以B(0,0)，A(2,0)，C(0,2)，D(3，)．设M(0，a)(0≤a≤2)，则＝(－2，a)，＝(－3，a－)，所以·＝6＋a(a－)＝2＋≥，当a＝时等号成立，所以·的最小值为. 答案　B 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(7,1)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10,5) B．|b|＝10|a| C．a∥(a－b) D．a与b的夹角为45° 解析　根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝5，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4,3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，所以D选项正确． 答案　AD 8．下列说法错误的是(　　) A．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb B．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向 C．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 D．在△ABC中，若·＝·，则△ABC为等腰三角形 解析　对于A，若a＝b＝0满足a∥b，则实数λ不唯一，故选项A错误；对于B，两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则(a－b)2＝(|a|＋|b|)2，所以a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|，可得2a·b＝2|a||b|·cos〈a，b〉＝－2|a|·|b|，则cos〈a，b〉＝－1，因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝π，所以a与b共线且反向，故选项B正确；对于C，已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，若a与a＋λb的夹角为锐角，则a·(a＋λb)＝1＋λ＋2(2＋λ)＞0，且a与a＋λb不同向共线，解得λ＞－，且λ≠0，所以λ的取值范围是∪(0，＋∞)，故选项C不正确；对于D，在△ABC中，取AC的中点D，由·＝·，得·(－)＝·(＋)＝·2＝0，故BD垂直平分AC，所以△ABC为等腰三角形，故选项D正确． 答案　AC 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________. 解析　由题中条件得 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y， 所以x＝，y＝－. 答案　　－ 10.(2024·广东佛山三中高一月考)如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，记＝a，从A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为b的起点和终点，则a·b的最大值为________． 解析　由于a·b＝|a|·|b|·cos θ，其中θ为a与b的夹角，要使a·b最大，而|a|是定值，只需|b|及cos θ最大即可，当cos θ最大时取cos θ＝1，此时θ＝0°，即a∥b且a与b同向，要使|b|最大又要使a∥b且a与b同向，则b＝，此时a·b的最大值为(a·b)max＝|a|·|b|·cos θ＝1×2×cos 0°＝2. 答案　2 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)如图所示，在△ABC中，＝2，＝. (1)用，表示，； (2)若点M满足＝－＋，求证B，M，E三点共线． (1) 解析　因为＝2，＝，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3，＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－＋＝－＋×3＝－＋×3(－)＝－2＋. (2)证明　由＝－＋，可得＝－＋×2＝－＋，所以2＝－＋3，即－＝2(－)，所以＝2，所以，共线，又与有公共点E，所以B，M，E三点共线． 12．(13分)(2024·河北魏县六中高一阶段考)如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，且BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，求的值． 解析　设＝λ，又＝(＋)，则＝(＋)＝＋.设＝μ，则＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝(1－μ)＋μ，又BE＝2EA，∴＝，∴＝＋μ， ∴解得∴＝＋，又∵＝－＝－，∴·＝6·＝6·＝－2＋2＋·，∴2＝32，∴||＝||，即＝. 13.(15分)如图所示，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点．设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)求与夹角的余弦值． 解析　(1)由图可知＝＋＝＋＝a＋b.因为E是CD的中点，所以＝(＋)＝＝a＋b. (2)因为BC∥AD，△ABC为等边三角形，所以∠BAD＝120°，AB＝1，所以a·b＝|a||b|cos∠BAD＝1×3×＝－，所以·＝·a＝a2＋a·b＝×1＋×＝－，||＝＝＝＝. 设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－， 所以与夹角的余弦值为－. 14.(17分)如图所示，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； (2)求·的取值范围． 解析　(1)由已知可得＝，＝－，连接MA，MB(图略)，易得四边形OAMB是菱形，则＝＋，所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可．当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$