2.4.1 平面向量基本定理(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．设a，b 为平面内所有向量的一组基，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k＝(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C．10 D．－10 解析　＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b. 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ使得＝λ， 即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b. 因为a，b为基向量， 所以解得λ＝，k＝2. 答案　A 2．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A． B． C． D．1 解析　在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，又E为AO的中点，则＝＝×＝×(＋)＝＋，所以λ＝μ＝，则λ＋μ＝. 答案　A 3．在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 解析　∵P是BC边的中点， ∴＝－＝－－. ∵c＋a＋b＝0， ∴c(－－)＋a＋b＝0， 即(a－c)＋(b－c)＝0. ∵与不共线， ∴a－c＝0，且b－c＝0，∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 答案　C 4.如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 解析　因为＝3， 所以－＝3(－)． 所以4＝＋3. 因为＝，所以＝， 所以4＝＋， 所以4＝－＋(－)＝－2＋， 所以＝－＋， 所以＝－a＋b. 答案　B 5．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. 解析　如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点T. 由已知易得AB＝AT， ∴＝＝λ＋μ， 即＝λ＋μ. ∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1， 即(λ＋μ)＝1.∴λ＋μ＝. 答案　 6．(2024·泰安高一期中)已知{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ＝________. 解析　因为a＝4e1－2e2与b＝－2e1＋λe2共线，所以存在实数t，使a＝tb，即4e1－2e2＝t(－2e1＋λe2)＝－2te1＋λte2，所以解得λ＝1. 答案　1 7．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝－λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ－μ＝________. 解析　因为四边形ABCD为矩形，且E为AO的中点，所以＝＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－ ＝－＋， 因为＝－λ＋μ(λ，μ∈R)， 所以λ＝，μ＝， 所以λ－μ＝－＝. 答案　 8．(2024·浙江金华高一期末)如图，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I. (1)用和分别表示和； (2)若＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值． 解析　(1)＝＋＝－＋. 因为＝， 所以＝＋＝－＋. (2)＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)＋， ＝＋μ＝＋μ(－＋) ＝＋(1－μ). 由平面向量基本定理，得 解得 [关键能力·综合提升] 9.在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，点M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ，μ的值分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析　＝＝(＋)， 因为AH⊥BC，∠ABC＝60°， 所以BH＝1，所以BH＝BC， 故＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 故λ＝，μ＝. 答案　B 10．(多选题)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ 解析　因为AB∥CD，AB＝2CD，M为AB的中点，所以AM＝CD，AM∥CD，则四边形AMCD为平行四边形，所以＝＋＝＋，A正确；因为M为AB的中点，所以＝＋，B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；由A知，＝，故＝－＝－，D错误． 答案　AB 11.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为____________________． 解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.在Rt△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，故＝4，＝2，即＝＋＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 答案　6 12.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝________. 解析　设＝a，＝b， 则＝(＋)＝a＋b， 又＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ ＝a＋b. 根据平面向量基本定理得消去λ整理得m＋n＝2. 答案　2 13.(2024·江西抚州七校期中联考)如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b. (1)试用向量a，b表示； (2)过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F，记＝λ，＝μ，求证：＋为定值． (1)解析　设＝ma＋nb(m，n∈R)， 则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb， ＝－＝－＝－a＋b. 因为A，M，D三点共线，所以与共线， 故存在实数t使得＝t， 则(m－1)a＋nb＝t， 即(m＋t－1)a＝b. 又a，b不共线，所以 可得m＋2n＝1.① ＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a， 又C，M，B三点共线，所以与共线， 同理可得3m＋n＝1.② 由①②解得m＝，n＝， 故＝a＋b. (2)证明　因为＝－＝a＋b－λa＝a＋b，＝－＝μ－λ＝－λa＋μb，且与共线， 所以存在实数k使得＝k， 则a＋b＝k(－λa＋μb)， 即a＝b. 又a，b不共线， 所以可得－λ＝－λ·， 整理得＋＝5，即＋为定值5. [核心价值·探索创新] 14．如图所示，在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D． 解析　设＝m＋n， ＝λ＋μ. ∵B，D，E，C共线， ∴m＋n＝1，λ＋μ＝1. ∵＋＝x＋y， ∴x＋y＝2， ∴＋＝(x＋y) ＝≥＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，∴＋的最小值为. 答案　D 15.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设＝x1＋y1，＝x2＋y2，则＋＝________. 解析　因为点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以＝＝，所以＝＋ ＝＋＝＋×(－)＝＋＝＋，同理，＝＋＝＋，所以x1＝，y1＝，x2＝，y2＝，所以＋＝＋＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$