2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　因为＝＋，＝－，又3＝，所以＝－2＋3，即＝－2m＋3n.故选B． 答案　B 2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析　由已知条件可知BE＝3DE， 所以DF＝AB， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 答案　A 3．(2024·西北工业大学附属中学期末)在△ABC中，点P满足＝2－，则(　　) A．点P不在直线BC上 B．点P在CB的延长线上 C．点P在线段BC上 D．点P在BC的延长线上 解析　因为＝2－，得－＝－，所以＝，所以B，P，C三点共线，且点P在CB的延长线上，故选B． 答案　B 4．(多选题)(2024·扬州高一期末)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD上的两个三等分点，则下列选项正确的是(　　) A．＝ B．＝－ C．＝＋ D．＝＋ 解析　＝＝，A正确；＝＋＝－＋，B错误；由平行四边形法则，知＝＋，C正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，D错误． 答案　AC 5．下列向量中a，b共线的有________(填序号)． ①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 解析　①中，a＝－b； ②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a； ③中，a＝4e1－e2＝4＝4b； ④中，当e1，e2不共线时，a≠λb. 答案　①②③ 6．在△ABC中，4＝3＋，且＝λ，则λ＝________. 解析　由题意得3(－)＝－⇒3＝，如简图，所以＝4，即λ＝4. 答案　4 7．(2024·银川二中校考)若＝，＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 解析　∵＝，∴－＝(－)，又＝λ＋μ， ∴－＝(λ＋μ－) ＝λ＋(μ－1)， ∴ 解得λ＝3，μ＝－2，∴λ＋μ＝1，故答案为1. 答案　1 8．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． (1)证明　因为＝λ＋(1－λ)， 所以＝λ＋－λ， －＝λ－λ， 所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． 又与有公共点A， 所以A，B，M三点共线． (2)解析　由(1)知＝λ，又点B在线段AM上， 则与同向，且||＞||＞0， 所以λ＞1. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)(2024·安徽安庆一中高一段考)已知4－3＝，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线 C．||＝|| D．||＝3|| 解析　因为4－3＝，所以3－3＝－，所以3＝，因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||，所以B、D正确，A错误；由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋，所以||＝||不一定成立，所以C错误． 答案　BD 10．已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若＋＝λ，λ∈(0，＋∞)，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 解析　设＝＋，则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上． 又，分别表示，方向上的单位向量，由平行四边形法则知点P也在∠A的平分线上，所以△ABC一定是等腰三角形．故选B． 答案　B 11.(2024·重庆模拟)五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝，若－＝λ(λ∈R)，则λ＝________. 解析　根据图形的对称性可知＝，＝，故－＝－＝＋＝，又||＝||，||＝||，故＝＝，∴λ＝. 答案　 12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 解析　设BC的中点为D，则＋＝2. 由已知条件可得M为△ABC的重心， 则＝，故＋＝3， 即m＝3. 答案　3 13．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线． 证明　＝－， 因为＝，＝＝(＋)，所以＝＋－＝－①， ＝－＝－②， 由①②可知＝3，即∥， 又因为MC，MN有公共点M，所以M，N，C三点共线． [核心价值·探索创新] 14．(2024·山师附中月考)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，] D．(－1,0) 解析　设＝m，则m＞1， 因为＝λ＋μ， 所以m＝λ＋μ， 即＝＋， 又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ＞1，故选B． 答案　B 15．已知P是△ABC所在平面内的点，且＋2＋3＝3. (1)求证：点P在直线AB上； (2)求△PAC与△PBC的面积之比． (1)证明　因为＝－， 所以＋2＋3＝3可化为＋2＋3＝3(－)， 即2＝－4，得＝－2， 故∥，又，共起点， 所以点P在直线AB上． (2)解析　由(1)知，点P在底边AB上，且PB＝2PA． 因为△PAC与△PBC同高， 所以△PAC与△PBC的面积之比为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$