1.7 正切函数(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 §7　正切函数 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 tan x 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 R 栏目导航 第一章　三角函数 1 奇函数 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．理解正切函数的定义；熟记正切函数的诱导公式．(难点) 2．掌握正切函数的图象和性质并能解决相关问题．(重点) 1．通过正切函数的定义，诱导公式的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正切函数性质与图象的应用，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. 导学1　正切函数的定义、诱导公式 我们学习了正、余弦函数，那么正切函数如何定义呢？ [提示]　任意实数x，比值eq \f(sin x,cos x)唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，比值eq \f(sin x,cos x)是x的函数，称为x的正切函数． 我们学习了正、余弦函数的诱导公式，利用正切函数的定义如何推导正切函数的诱导公式？ [提示]　如tan(－x)＝eq \f(sin－x,cos－x)＝－tan x．再如tan(kπ＋x)＝eq \f(sinkπ＋x,coskπ＋x)＝tan x．其中x∈R，且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.其他类似推出． ◎结论形成 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值_________是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝_________，其中定义域为___________________________. eq \f(sin x,cos x) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z)) 2．正切函数的诱导公式 tan(x＋kπ)＝tan x(k∈Z) tan(－x)＝－tan x tan(π－x)＝－tan x taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,tan x) taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝eq \f(1,tan x) 其中的x是使等式两边都有意义的任意实数． 利用诱导公式，可以把任意实数x的正切函数值问题转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的正切函数值问题．当x表示角的大小时，可将任意角的正切函数值问题转化为锐角的正切函数值问题． 导学2　正切函数的图象与性质 诱导公式tan(kπ＋α)＝tan α，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是最小正周期为π的周期函数． 诱导公式tan(－α)＝－tan α，说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是奇函数． 类比画正弦函数图象的方法，可以画出正切函数的图象(如图)． 根据图象，试讨论正切函数的主要性质． [提示]　值域为(－∞，＋∞)；周期为π；取一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是单调递增的，故正切函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)． ◎结论形成 1．正切曲线 正切函数的图象称为正切曲线． 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 ______________________________ 值域 _______ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) 周期性 kπ，k∈Z，k≠0，最小正周期是π 奇偶性 __________ 单调性 在每一个区间___________________________上单调递增 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为_________________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在定义域上单调递增．(　　) (2)正切曲线的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)．(　　) (3)函数y＝tan(π－x)是奇函数．(　　) (4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4)))的最小正周期是(　　) A．eq \f(π,6)　　 B．eq \f(π,3)　　 C．eq \f(π,2)　　 D．π 解析　T＝eq \f(π,|－3|)＝eq \f(π,3). 答案　B 3．函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的单调递增区间是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) B．(kπ，kπ＋π)(k∈Z) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z) 解析　由－eq \f(π,2)＋kπ＜x＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， 得－eq \f(3π,4)＋kπ＜x＜eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)． 答案　C 4．比较大小：tan eq \f(1,2)________tan eq \f(5,2). 解析　因为tan eq \f(1,2)＞0，tan eq \f(5,2)＜0，所以tan eq \f(1,2)＞tan eq \f(5,2). 答案　＞ 题型一　正切函数的定义域、值域问题 (1)函数y＝eq \f(1,1＋tan x)的定义域为________________________． (2)函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(7π,24)))的值域是________． [解析]　(1)要使函数y＝eq \f(1,1＋tan x)有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z.)) 所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))). (2)∵－eq \f(π,12)＜x＜eq \f(7π,24)，∴－eq \f(π,2)＜2x－eq \f(π,3)＜eq \f(π,4)，即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＜1， 故函数的值域为(－∞，1)． [答案]　(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) (2)(－∞，1) [素养聚焦]　在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现了数学抽象、数学运算等核心素养． (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，但要注意x的范围，然后再确定tan x的范围． [触类旁通] 1．(1)函数y＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－tan x))的定义域为________． (2)函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))的值域为____________． 解析　(1)因为eq \r(3)－tan x＞0，所以tan x＜eq \r(3). 又因为tan x＝eq \r(3)时，x＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z. 根据正切函数图象， 得kπ－eq \f(π,2)＜x＜kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z. (2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))， ∴eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6))). 令t＝eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)，则y＝tan t， t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))的图象如图所示． 由图知所求函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[eq \r(3)，＋∞)． 答案　(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)))＜x＜kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[eq \r(3)，＋∞) 题型二　正切函数的单调性 一题多变 (1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的周期和单调区间； (2)比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大小． [解析]　(1)函数的周期T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π， 由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq \f(π,2)＜x＜2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z， 所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)． (2)由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－taneq \f(π,4)， taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))＝－taneq \f(2π,5)， 又0＜eq \f(π,4)＜eq \f(2π,5)＜eq \f(π,2)， 而y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增， 所以taneq \f(π,4)＜taneq \f(2π,5)，－taneq \f(π,4)＞－taneq \f(2π,5)， 即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＞taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))). [母题变式] (变条件)若本例(1)中“y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))”改为“y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)x))”，如何求单调区间？ 解析　y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)x))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))， 所以y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)x))的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)． 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于 y＝tan x在每一个单调区间上都是递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x的范围． (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，解得x的范围． 2．运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4))). (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))的大小． 解析　(1)因为f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))， 所以T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,\f(1,4))＝4π. 由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(x,4)－eq \f(π,6)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得4kπ－eq \f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq \f(8π,3)，k∈Z. 所以f(x)＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递减． 故原函数的最小正周期为4π， 单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)． (2)f(π)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(π,4)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－3taneq \f(π,12)， feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(3π,8)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)))＝－3taneq \f(5π,24)， 因为0＜eq \f(π,12)＜eq \f(5π,24)＜eq \f(π,2)，且taneq \f(π,12)＜taneq \f(5π,24). 所以－3taneq \f(π,12)＞－3taneq \f(5π,24)， 故f(π)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2))). 题型三　正切函数图象、性质的综合应用 　(1)函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数为________个． (2)已知f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). ①求f(x)的最小正周期； ②若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜eq \f(π,2)的φ值． [解析]　(1)因为当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，tan x>x＞sin x， 所以当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示， 观察图象可知，函数y＝tan x与 y＝sin x在区间[0,2π]上有3个交点． (2)①∵y＝tan x的最小正周期是π. ∴y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期是eq \f(π,2). ②∵f(x＋φ)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2φ))是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴eq \f(π,3)＋2φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，∴φ＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)，k∈Z. 令eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,4)－\f(π,6)))＜eq \f(π,2)，k∈Z， 解得－eq \f(4,3)＜k＜eq \f(8,3)，k∈Z. ∴k＝－1,0,1,2. 从而得φ＝－eq \f(5π,12)，－eq \f(π,6)，eq \f(π,12)，eq \f(π,3). [答案]　(1)3　(2)略 正切函数型综合题解题方法 对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω，φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解． [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝eq \f(sin x,|cos x|). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)在区间[－π，π]上作出函数f(x)的图象，并指出单调区间． 解析　(1)由cos x≠0，得x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z)). (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称． 因为f(－x)＝eq \f(sin－x,|cos－x|)＝eq \f(－sin x,|cos x|)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x，－\f(π,2)＜x＜\f(π,2)，,－tan x，－π≤x＜－\f(π,2)或\f(π,2)＜x≤π，)) 所以f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示． 从图可知，函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， 单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 知识落实 技法强化 1．正切函数图象的画法． 2．正切函数的性质. 最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)，在定义域内不单调，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z). $$