1.8 三角函数的简单应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1.如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 解析　当t＝0时，点P到x轴的距离d为，于是可以排除答案A，D；t＝时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除B．故选C． 答案　C 2．(2024·宁夏育才中学校考)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　) A．[0,5]　　　　　　　 B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 解析　由函数y＝sin x的增区间为(k∈Z)，要求F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)的增区间，由－＋2kπ≤≤＋2kπ， 解得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π，由选项知，只有[10,15]⊆[3π，5π]．故选C． 答案　C 3．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时～14时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：小时)近似满足函数关系式T＝25＋10sin，则在6时～14时中，观花的最佳时段约为(参考数据：sin≈0.6)(　　) A．6.7时～11.6时 B．6.7时～12.2时 C．8.7时～11.6时 D．8.7时～12.2时 解析　当t∈时，t＋∈，则T＝25＋10sin在上单调递增．设花开、花谢的时间分别为t1，t2. 由T1＝20，得sin＝－，t1＋＝，解得t1＝≈8.7时； 由T2＝31，得sin＝0.6≈sin，t2＋≈，解得t2≈11.6时． 故在6时～14时中，观花的最佳时段约为8.7时～11.6时，故选C． 答案　C 4．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________． 解析　由最高油价为80美元，知A＝20.由t＝150(天)时达到最低油价，知sin＝－1，所以ωπ·150＋＝2kπ＋(k∈Z)，ω＝＋(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为. 答案　 5．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)变化的规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次． 解析　据I＝5sin知ω＝100π rad/s， 该电流的周期为T＝＝＝0.02(s)， 则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为 n＝2·＝2×＝50(次)． 答案　50 6．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值． 设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(min)，试求： (1)函数p(t)的周期； (2)此人每分钟心跳的次数； (3)此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解析　(1)T＝＝＝(min)． (2)f＝＝80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)． 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 7．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的位移距离s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示． (1)求这条曲线对应的函数解析式； (2)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解析　(1)设这条曲线对应的函数解析式为 s＝Asin(ωt＋φ)． 由图象可知：A＝4，周期T＝2×＝π， 所以ω＝＝2， 此时所求函数的解析式为s＝4sin(2t＋φ)． 以点为“五点法”作图的第二关键点， 则有2×＋φ＝，所以φ＝. 得函数解析式为s＝4sin. (2)当t＝0时，s＝4sin＝4sin＝4×＝2(cm)， 所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm. 8．天门是一座宜居的城市，城区内北湖公园、陆羽公园、东湖公园是人们休闲娱乐的绝佳去处，尤其是东湖公园的摩天轮，更是让人流连忘返．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．摩天轮匀速转动一周需要24分钟，其中心O距离地面55米，半径为50米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱． (1)游客坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)当摩天轮座舱不低于地面高度80米时，游客可以观赏到全园景色．求游客在摩天轮转动一周过程中可观赏到全园景色有多长的时间． 解析　如图设座舱距离地面最近的位置为点P，以中心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系． (1)设t＝0 min时，游客上座舱时位于点P(0，－50)， 根据摩天轮转一周大约需要24 min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min，由题意可得 H＝50sin＋55(0≤t≤24)． (2)H≥80时，满足题意． 由50sin＋55≥80得， sin≥， 令2kπ＋≤t－≤2kπ＋，k∈Z， 解得24k＋8≤t≤24k＋16，k∈Z. 又因为0≤t≤24，故k＝0，则8≤t≤16. 所以16－8＝8. 所以游客在摩天轮转动一周过程中可观赏到全园景色的时间为8分钟． [关键能力·综合提升] 9．受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海岸，某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是该港口在某季节每天水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看作函数y＝Asinωt＋k的图象． (1)根据以上数据，作出这些数据的散点图，求出函数y＝f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 解析　(1)散点图： 由数据知函数y＝f(t)的周期T＝12， 振幅A＝3，k＝10，∴ω＝＝， ∴y＝3sin t＋10(0≤t≤24)． (2)由题意可知，该船进出港时，水深应不小于 5＋6.5＝11.5(m)． 3sin t＋10≥11.5，即sin t≥. ∴2kπ＋≤t≤2kπ＋π，k∈Z， ∴12k＋1≤t≤12k＋5，k∈Z， ∴在同一天内，取k＝0或1， 此时，1≤t≤5或13≤t≤17. ∴该船最早在凌晨1时进港，5时出港，或中午13时进港，下午17时出港，最多在港口停留8小时． [核心价值·探索创新] 10．为迎接夏季旅游旺季的到来，某景点单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，工作人员想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？ 解析　(1)设该函数为f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在区间[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500. 根据上述分析可得，＝12， 故ω＝，且解得 根据分析可知，当x＝2时f(x)最小， 当x＝8时f(x)最大，故sin ＝－1， 且sin ＝1.又0＜|φ|＜π， 故φ＝－.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sin ＋300. (2)由条件可知，200sin ＋300≥400，化简，得sin ≥， 即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N＋，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物． 学科网（北京）股份有限公司 $$