1.7 正切函数(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝3tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 答案　C 2．函数y＝tan 2的最小正周期为(　　) A．　　　 B．π　　　 C．2π　　　 D．3π 解析　因为y＝tan 2＝tan，所以T＝＝. 答案　A 3．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 解析　令kπ－＜π＋＜kπ＋，解得 kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确； 令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误； 正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误． 故选AB． 答案　AB 4．已知函数f(x)＝sin x－ktan x＋2(k∈R)，若f＝－1，则f＝(　　) A．5　　　 B．3 C．1　　　 D．0 解析　依题意，令g(x)＝sin x－ktan x，则g(x)是奇函数，f(x)＝g(x)＋2， 于是得f＋f＝＋＝g－g＋4＝4， 所以f＝4－f＝5.故选A． 答案　A 5．(2024·德州第一中学校考)函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是________． 解析　因为函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为， 所以该函数的最小正周期为，因为ω>0，所以＝⇒ω＝2，即f(x)＝tan 2x， 因此f＝tan＝tan＝， 故答案为. 答案　 6．函数y＝tan的单调递增区间是________． 解析　令kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z. 答案　(k∈Z) 7．设Q＝tan，P＝tan，则Q与P的大小关系为________． 解析　因为正切函数为周期函数，所以tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan，又0＜＜＜，所以tan＜tan，即tan＜tan，故Q＜P. 答案　Q＜P 8．设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． 解析　(1)∵ω＝， ∴最小正周期T＝＝＝2π. 令－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z)． (2)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. ∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)． [关键能力·综合提升] 9．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则(　　) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 解析　∵y＝tan ωx在内是减函数， ∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0. 答案　B 10．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．sin 145°＜tan 47° B．函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为 C．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞) D．y＝tan x在第一、四象限是增函数 解析　A正确，sin 145°＝sin 35°＜1，tan 47°＞1， 故sin 145°＜tan 47°； B错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为； C正确，∵≤x＜， ∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2； D错误，y＝tan x在每一个区间，k∈Z上单调递增，但不能说在第一、四象限是增函数．故选AC． 答案　AC 11．(2024·江苏南通如皋高一质检)已知函数f(x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________． 解析　由于是函数f(x)图象的对称中心，所以＋φ＝，k∈Z，所以φ＝－，k∈Z，由于|φ|＜，故取k＝0,1，φ＝－，. 答案　－或 12．已知函数f(x)＝Atan (ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝______. 解析　由图象可知：T＝2＝， ∴ω＝2，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z. 又|φ|＜， ∴φ＝.又f(0)＝1，∴Atan ＝1，得A＝1， ∴f(x)＝tan ， ∴f＝tan ＝tan ＝. 答案　 13．(2024·绵阳南山中学校考)设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解析　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即＝，因为ω>0，所以ω＝2， 从而f(x)＝tan(2x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝， 故f(x)＝tan. 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z， 即－＋<x<＋，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为(k∈Z)，无单调递减区间． (2)由(1)知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为 . [核心价值·探索创新] 14．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论： ①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)； ③f(0)＝1；④>0； ⑤f>. 当f(x)＝tan x时，正确结论的序号为________． 解析　由于f(x)＝tan x的周期为π，故①正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；f(0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故④正确；⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f>，在区间上有f<，故⑤不正确． 答案　①④ 15．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由． 解析　y＝tan＝tan， ∵y＝tan x在区间(k∈Z)上单调递增，∴a＜0， 又x∈，∴－ax∈， ∴－ax∈， ∴ 解得－－≤a≤6－8k，k∈Z. 由－－＝6－8k，得k＝1，此时－2≤a≤－2. ∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$