1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝f(x)＝xsin x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 解析　∵x∈R，且f(－x)＝－xsin (－x)＝xsin x＝f(x)，∴f(x)＝xsin x为偶函数．故选B． 答案　B 2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 答案　B 3．函数y＝4sin 的图象关于(　　) A．x轴对称　　　　　 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝ 对称 解析　y＝4sin＝－4sin 2x 是奇函数，所以图象关于原点对称，故选B． 答案　B 4．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 解析　∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，而y＝sin x在区间[0°，90°]上单调递增，∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.故选C． 答案　C 5．写出一个周期为2π的奇函数f(x)＝________. 解析　正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且周期为2π. 答案　sin x(答案不唯一) 6．sin 1，sin 2，sin 3的大小是________． 解析　∵sin 1＝sin(π－1)，而＜2＜π－1＜3＜π.又y＝sin x在区间上单调递减， ∴sin 2＞sin(π－1)＞sin 3， 即sin 2＞sin 1＞sin 3. 答案　sin 2＞sin 1＞sin 3 7．函数y＝cos ＋1的周期为________，对称轴为________． 解析　y＝cos ＋1＝sin x＋1， 故周期为2π，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z. 答案　2π　＋kπ，k∈Z 8．利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合． 解析　首先作出y＝sin x在区间[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0,2π]上， 当＜x≤，或≤x＜时， 不等式＜sin x≤成立． 所以＜sin x≤的解集为. [关键能力·综合提升] 9．方程2x＝sin x的解的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．无穷多 解析　方程2x＝sin x的解的个数等价于函数y＝2x与y＝sin x图象交点的个数，作出y＝2x与y＝sin x的图象如图，可知解的个数为无穷多． 答案　D 10．(多选题)已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为－2 B．f(x)的最大值为2 C．|x1－x2|的最小值为π D．|x1－x2|的最小值为2π 解析　∵f(x)的最小值为f＝－2，f(x)的最大值为f＝2，又f(x)的周期为2π，由周期的几何意义知|x1－x2|的最小值为π.故选ABC． 答案　ABC 11．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________． 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝图象(图略)，由图象易得－<x<0或＋2kπ<x<＋2kπ，k∈N. 答案　 12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，当x∈时，f(x)的解析式为____________． 解析　x∈时，3π－x∈， 因为x∈时，f(x)＝1－sin x， 所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又因为f(x)是以π为周期的偶函数， 所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈. 答案　f(x)＝1－sin x，x∈. 13．比较下列各组数的大小． (1)sin 196°和cos 156°； (2)sin 和cos ； (3)sin 和sin . 解析　(1)sin 196°＝sin (180°＋16°) ＝－sin 16°. cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24° ＝－sin 66°. ∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°. 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°. (2)∵cos ＝sin ， 又＜＜＋＜， y＝sin x在区间上单调递减， ∴sin ＞sin ＝cos ， 即sin ＞cos . (3)∵cos ＝sin ， ∴0＜cos ＜sin ＜1＜. 而y＝sin x在区间上单调递增， ∴sin ＜sin . [核心价值·探索创新] 14．方程sin x＝x2有________个正实根． 解析　如图所示，作出函数y＝sin x和y＝x2的图象．由图象知，在y轴右侧，函数y＝sin x和y＝x2的图象有3个交点． 故方程sin x＝x2有3个正实根． 答案　3 15．已知函数y＝sin x＋|sin x|. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 解析　(1)y＝sin x＋|sin x|＝ 函数图象如图所示． (2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π. 学科网（北京）股份有限公司 $$