1.6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响&1.6.2 探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 §6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 6.2　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 横 伸长 纵坐标 频率 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 左 右 栏目导航 第一章　三角函数 1 左 右 初相 相位 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．了解ω，φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．(难点) 2．掌握y＝sin x与y＝sin(ωx＋φ)图象间的变换关系．(重点) 1．通过“五点法”作函数图象，提升直观想象等核心素养． 2．在函数图象间的变换关系中培养逻辑推理等核心素养. 导学1　探究ω的取值对y＝sin ωx的图象的影响 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin eq \f(1,2)x的周期分别是什么？ [提示]　2π；π；4π. 当问题1中三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？ [提示]　当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的eq \f(1,2)，y＝sin eq \f(1,2)x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍． ◎结论形成 1．周期 一般地，对于ω＞0，有sin ωx＝sin(ωx＋2π)＝sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,ω))).根据周期函数的定义，T＝eq \f(2π,ω)是函数y＝sin ωx的最小正周期． 2．ω对函数y＝sin ωx的图象的影响 函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的______坐标缩短到原来的_______(当ω＞1时)或________(当0＜ω＜1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(__________不变)得到的． 3．频率 通常称周期的倒数eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)为________． eq \f(1,ω) 导学2　探究φ的取值对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))与y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象，从表中所列变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝sin(x＋φ)的图象与y＝sin x的图象之间有什么关系？ [提示]　函数y＝sin(x＋φ)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过左右平移|φ|个单位长度得到． ◎结论形成 1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 函数y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向______(φ＞0)或向______(φ＜0)平移______个单位长度得到的． |φ| 2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向______(φ＞0)或向______(φ＜0)平移_______个单位长度得到的． 3．初相、相位 在函数y＝sin(ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为________，ωx＋φ为________． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\a\vs4\al(φ),ω))) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到函数y＝cos x的图象．(　　) (2)把函数y＝sin x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．(　　) (3)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,12)))的图象．(　　) (4)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))的图象是由函数y＝sin 4x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到的．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．要得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 解析　将函数y＝sin x的图象上所有点向右平移eq \f(π,3)个单位长度，就可得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象． 答案　B 3．函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A．2　　 B．eq \f(1,2)　　 C．4　　 D．eq \f(1,4) 解析　由题意可得到图象解析式为y＝sineq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2). 答案　B 4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的周期是________，初相是________，相位是________，最小值是________． 解析　周期T＝eq \f(2π,3)，初相是－eq \f(π,6)，相位是3x－eq \f(π,6)，最小值是－1. 答案　eq \f(2π,3)　－eq \f(π,6)　3x－eq \f(π,6)　－1 题型一　利用“五点法”画三角函数的图象 已知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6))). (1)求f(x)的最小正周期； (2)用“五点法”画函数y＝f(x)在一个周期内的简图． [解析]　(1)f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,3). (2)画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋eq \f(π,6),则x＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X－\f(π,6))),列表如下： X 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,18) eq \f(π,9) eq \f(5π,18) eq \f(4π,9) eq \f(11π,18) f(x) 0 2 0 －2 0 描点，连线得： 1．求函数最小正周期的常用方法 (1)公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝eq \f(2π,|ω|)求得； (2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期． 2．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． [触类旁通] 1．(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝cos |2x|　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x)) (2)画出函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈R的简图． 解析　(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝ －cos 2x是偶函数，y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.故选D． (2)T＝eq \f(2π,2)＝π. ①列表：2x＋eq \f(π,3)取值为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π得到对应的x与y的值如下表： x －eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) 2x＋eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π 3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 0 3 0 －3 0 ②描点． ③用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示． 函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期T＝π， 将所得图象向左、右分别扩展π个单位， 就得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈R的图象． 答案　(1)D　(2)略 题型二　三角函数图象的平移变换 一题多变 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象可以看作是由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ [解析]　函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象，可以看作是把函数y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度而得到的． [母题变式] 1．(变条件)若将本例中“y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))”改为“y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))”，其他不变，又该怎样变换？ 解析　y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))， 可以看作是把函数y＝sin x上所有的点向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到． 2．(变条件、变结论)若将本例改为：函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象可由函数y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？ 解析　y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，可由y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到． [素养聚焦]　在图象的平移过程中，揭示了图象间的内在联系，体现了逻辑推理等核心素养． 图象平移变换的方法 (1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键． (2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位． (3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移eq \f(φ,ω)个单位；若φ＜0，则右移eq \f(|φ|,ω)个单位． [触类旁通] 2．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1 的图象，可将y＝sin 2x 的图象(　　) A．先向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向右平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析　为了得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1 的图象，可先将y＝sin 2x 的图象向右平移eq \f(π,6) 个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 的图象，再向上平移1个单位长度即可． 答案　A 题型三　三角函数图象的伸缩变换 一题多解 　把函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，所得函数的解析式记为g(x)． (1)求函数g(x)； (2)求函数g(x)的单调递减区间； (3)求函数g(x)取最小值时自变量x的集合． [解析]　(1)方法一　把函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，可得y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,4)))的图象，即函数解析式为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(3π,4)))，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4)))的图象，故g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4))). 方法二　设f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，把f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，再把y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，可得g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).∵f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))， ∴g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4))). 故g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4))). (2)∵g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4)))，令t＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3π,4)， 则y＝sin t的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z. 由2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(3x,2)＋eq \f(3π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，得eq \f(4kπ,3)－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(4kπ,3)＋eq \f(π,2)，k∈Z. 即函数g(x)的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4kπ,3)－\f(π,6)，\f(4kπ,3)＋\f(π,2)))，k∈Z. (3)由eq \f(3x,2)＋eq \f(3π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，得当x＝eq \f(4kπ,3)－eq \f(5π,6)，k∈Z时， g(x)取到最小值， 此时x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ,3)))－\f(5π,6)，k∈Z)). 1．三角函数图象伸缩变换的方法 由y＝sin(ω1x＋φ)的图象得到y＝sin(ω2x＋φ)的图象，应将横坐标变为原来的eq \f(ω1,ω2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ω1,ω2)＞1))倍或eq \f(ω1,ω2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜\f(ω1,ω2)＜1))，纵坐标不变． 2．由y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)研究函数的单调性、最值等，把ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的性质来完成． [触类旁通] 3．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2 解析　y＝cos x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))). 即C1：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))). 答案　D [缜密思维提能区]　易错辨析 三角函数图象平移变换规则不清致误 为了得到y＝sineq \f(1,2)x的图象，只需要将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,3)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,3)个单位长度 [错解]　由y＝sineq \f(1,2)x的图象得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象时， ∵φ＝－eq \f(π,6)，∴向左平移eq \f(π,6)个单位长度．故选A． [正解]　∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))＝sineq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))， ∴当由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象得y＝sineq \f(1,2)x的图象时， 应该是向左平移eq \f(π,3)个单位长度． [答案]　C [纠错心得] 在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点： (1)平移之前应先将函数解析式化为同名函数； (2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象要清楚； (3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))). 知识落实 技法强化 1．ω，φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． 2．y＝sin(ωx＋φ)的图象的综合应用. 1．图象变换过程中φ，ω具有相对性． 2．平移方向：φ不确定时，要讨论其符号. $$