1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.2　余弦函数的图象与性质再认识 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 R [－1,1] x＝2kπ，k∈Z x＝(2k＋1)π，k∈Z 栏目导航 第一章　三角函数 1 2π [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 偶 y轴 kπ，k∈Z 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的关系．(难点) 2．掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题．(难点) 1．通过学习余弦曲线，培养直观想象等核心素养． 2．通过余弦函数图象与性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学　余弦函数的图象与性质再认识 函数y＝cos x与y＝sin x图象间有什么关系？ [提示]　∵cos x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))， ∴把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可得到y＝cos x的图象． 类比正弦函数性质再认识的研究方式，利用余弦函数y＝cos x的图象(如图)，进一步探究其主要性质． (1)讨论函数y＝cos x在区间[－π，π]上的单调性． [提示]　在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减． (2)当x∈R时，求函数y＝cos x取最大值时对应x的值． [提示]　x＝2kπ，k∈Z. (3)研究函数y＝cos x的奇偶性． [提示]　∵cos(－x)＝cos x，∴余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称． (4)余弦函数的图象有对称轴吗？有对称中心吗？ [提示]　对称轴为x＝kπ，k∈Z，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)． ◎结论形成 余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象与性质 图象 定义域 _______ 最值 和值域 当___________________时，ymax＝1； 当___________________时，ymin＝－1. 值域是__________ 周期性 最小正周期为________ 单调性 在区间_____________________________上单调递增； 在区间_________________________上单调递减 奇偶性 ______函数，图象关于________对称 对称轴 x＝_______________ 对称中心 ________________________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))，k∈Z 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝Acos x＋2的最大值为A＋2.(　　) (2)y＝cos x在第二象限是增函数．(　　) (3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))的图象关于原点对称．(　　) (4)函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的一条对称轴为x＝eq \f(5π,6).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析　因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 答案　D 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 4．不等式sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＜0，x∈[0,2π]的解集为______________． 解析　y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos x，作出在x∈[0,2π]的简图．满足cos x＜0的x的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，即不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) . 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 题型一　利用“五点法”作简图 用“五点法”作出函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))在一个周期内的图象． [解析]　按五个关键点列表： x eq \f(π,3) eq \f(5π,6) eq \f(4π,3) eq \f(11π,6) eq \f(7π,3) x－eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) 1 0 －1 0 1 描点、连线得函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))在一个周期内的图象，如图所示． 画y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标． [触类旁通] 1．画出函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的简图． 解析　列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 3＋2cos x 5 3 1 3 5 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)． 题型二　求三角函数的定义域 求下列函数的定义域． (1)y＝eq \r(cos x)＋eq \r(25－x2)； (2)y＝eq \r(1＋2cos x)＋lg(2sin x＋eq \r(3))． [解析]　(1)由题意，x应满足的条件为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos x≥0，,25－x2≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－5≤x≤5.)) 由数轴(如图)得原函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5，－\f(3,2)π))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，5)). (2)由题意，x应满足的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2cos x≥0，,2sin x＋\r(3)＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos x≥－\f(1,2)，,sin x＞－\f(\r(3),2)，)) 由单位圆求交集如图所示． 于是原函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＜x≤2kπ＋\f(2,3)π，k∈Z)). 含三角函数的函数的定义域的求法 先画出函数图象，找出一个周期内符合条件的并用不等式表示出来，再利用周期性表示出符合条件的所有角． [触类旁通] 2．函数y＝eq \r(2sin x－\r(2))＋log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,2)))的定义域为_____________． 解析　根据题意，需满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥\f(\r(2),2)，①,cos x＞\f(1,2)，②)) 解①得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，③ 解②得2kπ－eq \f(π,3)＜x＜2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，④ 将③④求交集，得2kπ＋eq \f(π,4)≤x＜2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z， 所以其定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)． 答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z) 题型三　正、余弦函数性质的综合应用 多维探究 角度1　三角函数奇偶性、周期性的应用 　已知函数f(x)是以eq \f(π,2)为周期的偶函数，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝eq \f(\r(3),3)cos x，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,6)))的值． [解析]　因为f(x)的周期为eq \f(π,2)，且为偶函数， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×6－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)coseq \f(π,6)＝eq \f(1,2). 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT，n∈Z的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而解决求值问题． 角度2　正、余弦函数单调性的应用 　比较cos eq \f(3,2)，sin eq \f(1,10)，－cos eq \f(7,4)，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))的大小． [解析]　sin eq \f(1,10)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(1,10)))，－cos eq \f(7,4)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(7,4)))， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))＝cos eq \f(3π,5)，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝cos eq \f(π,4). ∵0＜eq \f(π,4)＜π－eq \f(7,4)＜eq \f(π,2)－eq \f(1,10)＜eq \f(3,2)＜eq \f(3π,5)＜π， 且y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∴cos eq \f(π,4)＞coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(7,4)))＞coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(1,10)))＞cos eq \f(3,2)＞cos eq \f(3π,5)， 即coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＞－cos eq \f(7,4)＞sin eq \f(1,10)＞cos eq \f(3,2)＞coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5))). [素养聚焦]　利用正、余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，在这个过程中体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 判断正、余弦函数值的大小的一般思路是先判断三角函数值的正负．若三角函数值同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．正弦值比较，角可化到eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，余弦值比较，角可化到[0，π]． [触类旁通] 3．(1)(2024·首师大附属学校校考)已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))　　　　　 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)) (2)(多选题)已知函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，则(　　) A．2π 为f(x)的一个周期 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(4π,3) 对称 C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减 D．函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋π)) 的一个零点为eq \f(π,3) 解析　(1)y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上递减，y＝cos x在(0，π)上递减，在(π，2π)上递增，因此在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上都递减，故选B． (2)函数f(x)的最小正周期T＝2π，故A正确； 当x＝eq \f(4π,3) 时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝coseq \f(3π,2)＝0，由余弦函数图象的对称性知，B错误； 函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6))) 上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)) 上单调递增， 故C错误； f(x＋π)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋π))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(7π,6)))＝coseq \f(3π,2)＝0，故D正确， 故选AD． 答案　(1)B　(2)AD 知识落实 技法强化 1．五点法作图． 2．对余弦函数的性质进一步加深理解. 1．数形结合、分类讨论． 2．比较大小：注意化“同名”“同单调区间”. $$