1.1 周期变化(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝0，且f(1)＝2，则f(5)的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析　∵f(x＋2)＝f(x)，∴2是f(x)的周期， ∴f(5)＝f(1)＝2.故选C． 答案　C 2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1]时，f(x)＝则f的值为(　　) A．－1 B．－ C． D． 解析　∵2是f(x)的周期， ∴f＝f＝f， ∴f＝－2＝－.故选B． 答案　B 3．(2024·亳州高一课时练习)假定现在时间是12时整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则t＝(　　) A． B． C． D． 解析　时针1小时转过30°，t小时转过(30t)°；分针每分钟转过6°，t小时转过(60t×6)°，所以30t＝60t×6－360，解得t＝.故选A． 答案　A 4．(2024·吉林榆树第一高级中学月考)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，若当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，且f(2 021－a)＝(0＜a＜1)，则实数a＝(　　) A． B． C． D． 解析　由函数f(x)是奇函数，知函数f(x)的图象关于点(0,0)对称．又函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴函数f(x)的周期是4，∴f(2 021－a)＝f(4×505＋1－a)＝f(1－a)． 又0＜a＜1，∴0＜1－a＜1，∴f(1－a)＝2(1－a)＝，解得a＝.故选D． 答案　D 5．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝且f(2)＝2，则f(2 024)＝___________________. 解析　∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝＝f(x)，∴T＝4，f(2 024)＝f(4)＝＝. 答案　 6．当x∈N时，函数y＝2＋(－1)x的周期为______． 解析　当x∈N时，函数的取值依次为3,1,3,1，…，故函数的周期为2. 答案　2 7．(2024·景德镇高一期末)周期为4的函数f(x)满足f(x)＝f，且当x∈时，f(x)＝x3－1，则不等式f(x)≤0在上的解集为________． 解析　f(x)周期是4，则f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数， x∈[0,2]时，f(x)＝x3－1是增函数，且f(1)＝0， 不等式f(x)≤0化为f(|x|)≤f(1)，所以|x|≤1，即－1≤x≤1. 答案　 8．如图所示为某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？ (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从点A算起呢？ 解析　(1)由图象易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次． (2)如果从点O算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动．如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动． [关键能力·综合提升] 9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析　由函数f(x)是奇函数且f(x)在区间[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在区间[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．所以D正确．故选D． 答案　D 10．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f与f都为奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是周期为2的周期函数 B．f(x)是周期为4的周期函数 C．f为奇函数 D．f为奇函数 解析　因为函数f(x)的定义域为R，且f与f都为奇函数，所以f＝－f，f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(x)＝－f， f(x)＝－f， 所以f＝f，即f＝f(x)，故B正确，A错误； 因为f＝f＝f，且f为奇函数，所以f为奇函数，故D正确； 因为x＋2与x＋1相差1，不是最小周期的整数倍，且f为奇函数，所以f不为奇函数，故C错误． 答案　BD 11．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(2)＝3，则f(2 030)＝________. 解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数． 由f(x＋4)＝－f(x)＋2， 得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)， ∴f(x)是周期T＝8的偶函数， ∴f(2 030)＝f(6＋253×8)＝f(6)＝－f(2)＋2＝2－3. 答案　2－3 12．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题： ①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来) 解析　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立． 令x＝y＝0，所以f(0)＝0. 令x＋y＝0，所以y＝－x， 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)． 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数． 由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以周期T＝4，即f(x)为周期函数． f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)． 又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)， 所以函数关于x＝1对称． 由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称， 所以f(x)在[1,2]上为减函数． 由f(x＋2)＝－f(x)， 令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)． 答案　①②③④ 13．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立． (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． (1)证明　由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)， 知f(3＋x)＝f ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函数，且周期为3. (2)解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2， 又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. [核心价值·探索创新] 14．(2024·南阳高一校考)已知函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x∈R都有f(x)＋f(－x)＝2，当x∈(0,2]时，f(x)＝x＋2.则f(2 022)＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析　∵函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－3对称， ∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，∴f(－2＋x)＝f(－2－x)，取x＝x＋2，可得f(－2＋x＋2)＝f[－2－(x＋2)]， ∴f(x)＝f(－4－x) 又对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝2， 取x＝－4－x，可得f(－4－x)＋f(x＋4)＝2， 所以f(x)＝f(－4－x)＝2－f(－x)， f(－4－x)＝2－f(x＋4)， ∴f(x＋4)＝f(－x)， ∴f[(x＋4)＋4]＝f(－x－4)＝f(x)， 即f(x＋8)＝f(x)，T＝8， ∴f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(2＋4)＝f(－2)＝2－f(2)＝2－(2＋2)＝－2. 故选D． 答案　D 15．若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，求(k)的值． 解析　令y＝1，得 f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)， f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)， 消去f(x＋2)和f(x＋1)，得到 f(x＋3)＝－f(x)， 故f(x)周期为6； 令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒ f(0)＝2， f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2， f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1， f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2， 故(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3， 即(k)＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$