1.4.3 诱导公式与对称&1.4.4 诱导公式与旋转(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．了解正(余)弦函数诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(难点) 3．灵活运用诱导公式进行化简、求值和证明．(重点) 1．通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　诱导公式与对称 如图，在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1′，P2′，P3′，观察并思考． (1)P与P1′关于x轴有怎样的位置关系？ (2)P与P2′关于原点有怎样的位置关系？ (3)P与P3′关于y轴有怎样的位置关系？ [提示]　(1)关于x轴对称． (2)关于原点对称． (3)关于y轴对称． 根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题： (1)sin(－α)与sin α的值有何关系？cos(－α)与cos α的呢？ (2)sin(π＋α)与sin α的值有何关系？cos(π＋α)与cos α的呢？ (3)sin(π－α)与sin α的值有何关系？cos(π－α)与cos α的呢？ [提示]　借助单位圆，依据三角函数的定义和对称关系得sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 导学2　诱导公式与旋转 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转eq \f(π,2)得到点P′，即α＋eq \f(π,2)的终边与单位圆交于点P′. (1)怎样用点P的坐标表示点P′的坐标？ (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))与cos α的值有何关系？ coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))与sin α的呢？ [提示]　(1)由平面几何的知识知P′的坐标为(－v，u)． (2)依据三角函数的定义得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cos α. coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sin α. 利用问题1中(2)的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－eq \f(π,2)与α三角函数值的关系． [提示]　sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋－α)) ＝－cos(－α)＝－cos α， 同理得coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝sin α. ◎结论形成 1．正(余)弦函数的诱导公式 对任意角α，下列关系式均成立(其中k∈Z)． sin(α＋2kπ)＝sin α sin(－α)＝－sin α sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝－sin α sin(α－π)＝－sin α sin(π－α)＝sin α sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos α sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos α cos(α＋2kπ)＝cos α cos(－α)＝cos α cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝－cos α cos(α－π)＝－cos α cos(π－α)＝－cos α coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin α coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin α 2．诱导公式的语言概括 除了关于－α的诱导公式sin(－α)＝－sin α和cos(－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作α＋eq \f(nπ,2)，其中n＝1,2,3,4k(k∈Z)． 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常是把α看成锐角时原三角函数的符号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (2)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) (3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝cos α.(　　) (4)若α为第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos α.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．sin 585°的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2) 解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2). 答案　A 3．如果sin α＝eq \f(1,3)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝(　　) A．－eq \f(2\r(　,2),3) B．－eq \f(2,3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(2\r(　,2),3) 解析　sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－eq \f(2,3). 答案　B 4．已知P(2,3)是角α终边上一点，则sin(π＋α)＝________. 解析　x＝2，y＝3，r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(13)，则sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(3,13) eq \r(13). ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(3,13) eq \r(13). 答案　－eq \f(3\r(13),13) 题型一　利用诱导公式求值 一题多变 (1)求sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值； (2)已知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))的值． [解析]　(1)由题意，知 原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°) ＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30° ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1. (2)∵α＋eq \f(2π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋eq \f(π,2)， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋\f(π,2))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5). [母题变式] (变结论)若本例(2)的条件不变，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)－α))的值． 解析　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,6)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)))) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq \f(3,5). [素养聚焦]　通过诱导公式的化简求值，把数学运算体现在解题过程中． 解决三角函数求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 提醒：常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等；常见的互补关系有eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等． [触类旁通] 1．(1)计算：cos eq \f(π,5)＋cos eq \f(2π,5)＋cos eq \f(3π,5)＋cos eq \f(4π,5)的值为________． (2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝______，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝________. 解析　(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)＋cos \f(4π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,5)＋cos \f(3π,5))) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5)))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5))))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)－cos \f(π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,5)－cos \f(2π,5)))＝0. (2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,5)； coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,5). 答案　(1)0　(2)eq \f(1,5)　－eq \f(1,5) 题型二　利用诱导公式化简、证明 求证：eq \f(cos π－θ,cos θ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))－1)))＋eq \f(cos 2π－θ,cos π＋θsin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))) ＝eq \f(2,1－cos2 θ). [证明]　 左边＝eq \f(－cos θ,cos θ－cos θ－1)＋eq \f(cos θ,－cos θcos θ＋cos θ) ＝eq \f(1,1＋cos θ)＋eq \f(1,1－cos θ)＝eq \f(1－cos θ＋1＋cos θ,1＋cos θ1－cos θ) ＝eq \f(2,1－cos2 θ)＝右边． ∴原式成立． 三角恒等式证明的策略 利用诱导公式证明等式问题，关键在于灵活应用公式，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左、右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，消除差异． [触类旁通] 2．化简：eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)－α))). 解析　原式＝eq \f(－sin α·cos α·cos α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)－α))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,2)＋α)))))＝eq \f(－sin α·cos α·cos α,sin α·cos α) ＝－cos α. 题型三　诱导公式的综合应用 设角α的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(15),4)))且cos α＝－eq \f(4,5)，α为第二象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sinπ＋α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋1)的值． [解析]　由题意，知m2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)))2＝1， 解得m2＝eq \f(1,16)， 因为α为第二象限角，故m＜0， 所以m＝－eq \f(1,4)， 所以sin α＝eq \f(\r(15),4)，cos α＝－eq \f(1,4). 原式＝eq \f(－cos α,－sin α－－cos α＋1) ＝eq \f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1)＝－eq \f(3＋\r(15),6). 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是正弦、余弦互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． [触类旁通] 3．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(7π,2)))). (1)化简f(α)； (2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α) . 解析　(1)f(α)＝eq \f(sin α·cos α·－cos α,－cos α·－sin α)＝－cos α . (2)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq \f(1,5)， ∴cos α＝eq \f(1,5)，∴f(α)＝－cos α＝－eq \f(1,5). [缜密思维提能区]　规范答 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 (13分)化简：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－1,4)π－α))＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋1,4)π－α))，k∈Z. [审题指导]　角eq \f(4k－1,4)π－α＝kπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，用诱导公式化简需对整数k的奇偶性进行讨论． [规范解答]　原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))).(3分) (1)当k为奇数时①，设k＝2n＋1，n∈Z， 则原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋1π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋1π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))③＝0.(8分) (2)当k为偶数时②， 设k＝2n，n∈Z，则 原式＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＋cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))④＝0.(12分) 综上可知，原式＝0.(13分) 知识落实 技法强化 1．利用对称和旋转推导诱导公式的方法． 2．诱导公式的简单应用. 1．转化法、数形结合． 2．诱导公式中α∈R及公式的特点. $$