1.3 弧度制(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 §3　弧度制 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 长度等于1 rad “弧度” “rad” 弧度数 弧度 栏目导航 第一章　三角函数 1 正数 负数 0 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 |α|r 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念．(难点) 2．能进行角度与弧度之间的互化．熟悉特殊角的弧度数．(重点) 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题．(重点) 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1　弧度概念 在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． 如图，三圆为同心圆， eq \o(ED,\s\up18(︵)) ， eq \o(FG,\s\up18(︵)) ， eq \o(AB,\s\up18(︵)) 的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径有没有关系？ [提示]　没有关系． ◎结论形成 1．弧度制的定义 在单位圆中，把____________的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号_______表示，读作弧度(通常_________或_________省略不写)．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的__________．这种以________作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 一般地，弧度数与实数一一对应．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______. 导学2　弧度与角度的换算 在单位圆中，圆周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？你能进行角的角度数与弧度数的换算吗？ [提示]　360°；2π；即360°＝2π⇔180°＝π， 1°＝eq \f(π,180) rad,1 rad＝eq \f(180°,π). ◎结论形成 弧度与角度的换算 导学3　扇形的弧长和面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式α＝eq \f(l,r)及0＜α＜2π可得l＝αr； 扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lr.推导如下： 设扇形的圆心角为α rad(α＞0)， 则扇形的面积为S＝eq \f(α,2π)·πr2＝eq \f(1,2)αr2. 又因为l＝αr，所以S＝eq \f(1,2)lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧度为l，α为其圆心角，则 度量单位类别 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝eq \f(απr,180°) l＝______ 扇形的面积 S＝eq \f(απr2,360°) S＝______＝________ eq \f(1,2)lr eq \f(1,2)|α|r2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是eq \f(8,9)π rad.(　　) (4)1弧度的角大于60°的角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在半径为8 cm的圆中，eq \f(5π,3)的圆心角所对的弧长为(　　) A．eq \f(40,3)π cm　　　　　　 B．eq \f(20,3)π cm C．eq \f(200,3)π cm D．eq \f(400,3)π cm 解析　根据弧长公式，得l＝eq \f(5π,3)×8＝eq \f(40π,3)(cm)． 答案　A 3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　) A．eq \f(14,3)π B．－eq \f(14,3)π C．eq \f(7,18)π D．－eq \f(7,18)π 解析　时钟的分针在1点整到3点20分这段时间里顺时针旋转，转动了2eq \f(1,3)圈，所以转过的弧度为－2eq \f(1,3)×2π＝－eq \f(14,3)π. 答案　B 4．(1)18°＝________rad；(2)eq \f(3,10)π＝________. 答案　(1)eq \f(π,10)　(2)54° 题型一　弧度与角度的换 (1)角eq \f(7π,5)化为角度是________． (2)角105°的弧度数是________． (3)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． [解析]　(1)eq \f(7π,5)＝eq \f(7π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝252°. (2)105°＝105×eq \f(π,180) rad＝eq \f(7π,12) rad. (3)方法一(化为弧度) α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)，θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12). 显然eq \f(π,12)＜eq \f(π,10)＜1＜eq \f(7π,12)，故α＜β＜γ＜θ＝φ. 方法二(化为角度) β＝eq \f(π,10)＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°， γ＝1≈57.30°， φ＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°， 故α＜β＜γ＜θ＝φ. [答案]　(1)252°　(2)eq \f(7π,12) rad　(3)略 角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式π rad＝180°. (2)方法：度数×eq \f(π,180)＝弧度数；弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． [触类旁通] 1．把下列角度化成弧度或弧度化成角度． (1)eq \f(511,6)π；(2)－eq \f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°. 答案　(1)15 330°　(2)－105°　(3)eq \f(π,18) (4)－eq \f(19π,4) 题型二　利用弧度制表示角 一题多变 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角． (1)－1 500°；(2)eq \f(23π,6)；(3)－4. [解析]　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°， ∴－1 500°可化成－10π＋eq \f(5π,3)，是第四象限角． (2)∵eq \f(23π,6)＝2π＋eq \f(11π,6)，∴eq \f(23π,6)与eq \f(11π,6)终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq \f(π,2)＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例变为：在区间[－5π，0]上，与2 025°终边相同的角为_____________________． 解析　∵2 025°＝2 025×eq \f(π,180)＝eq \f(45π,4)＝5×2π＋eq \f(5π,4)，与2 025°终边相同的角可以写成γ＝eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z，又－5π≤γ≤0， ∴当k＝－3时，γ＝－eq \f(19π,4)；当k＝－2时，γ＝－eq \f(11π,4)； 当k＝－1时，γ＝－eq \f(3π,4). 答案　－eq \f(19π,4)，－eq \f(11π,4)，－eq \f(3π,4) 2．(变条件、变结论)本例变为：如图所示，用弧度表示顶点在原点，始边在x轴的非负半轴，终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合． 解析　(1)以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)). (2)终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(7π,6)＋2kπ，k∈Z)))). 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α，k∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用，单位要统一． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域范围内的角． [触类旁通] 2．(1)(2024·六安高一期末)在(－2π，2π)内与－eq \f(58π,7)终边相同的角是________． (2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解析　(1)与－eq \f(58π,7)终边相同的角记为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(β＝－\f(58π,7)))＋2k1π，k1∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(β＝－\f(2π,7)))＋2k2π，k2∈Z))，当k2＝0时，β＝－eq \f(2π,7)∈(－2π，2π)；当k2＝1时，β＝eq \f(12π,7)∈(－2π，2π)，∴在(－2π，2π)内与－eq \f(58π,7)终边相同的角有－eq \f(2π,7)，eq \f(12π,7)，故答案为－eq \f(2π,7)，eq \f(12π,7). (2)330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－eq \f(π,6)， 而75°＝75×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,12)，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)))＜θ＜2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)). 答案　(1)－eq \f(2π,7)，eq \f(12π,7)　(2)略 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 　(2024·合肥八中学校联考)扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐地成为主流．如图所示，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为18，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为(π≈3)(　　) A．990　　 B．495 C．330 D．300 [解析]　设该扇面画的外弧半径为R，弧长为l2＝48，内弧半径为r，弧长为l1＝18，且120°＝eq \f(2π,3).则有l2＝eq \f(2π,3)R＝48，R＝eq \f(72,π)，l1＝eq \f(2π,3)r＝18，r＝eq \f(27,π).所以扇面画的面积约为eq \f(1,2)l2R－eq \f(1,2)l1r＝eq \f(1,2)×48×eq \f(72,π)－eq \f(1,2)×18×eq \f(27,π)＝eq \f(1 485,π)≈495.故选B． [答案]　B 弧度制下涉及扇形问题的策略 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 提醒：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [触类旁通] 3.(1)(全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图所示， eq \o(AB,\s\up18(︵)) 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 eq \o(AB,\s\up18(︵)) 上，CD⊥AB．“会圆术”给出 eq \o(AB,\s\up18(︵)) 的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq \f(CD2,OA).当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A．eq \f(11－3\r(3),2) B．eq \f(11－4\r(3),2) C．eq \f(9－3\r(3),2) D．eq \f(9－4\r(3),2) (2)如图所示，已知扇形AOB的周长是6 cm，圆心角为1弧度，则该扇形的面积是________． 解析　(1)由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝eq \r(3)，CD＝2－eq \r(3)，所以s＝2＋eq \f(2－\r(3)2,2)＝2＋eq \f(7－4\r(3),2)＝eq \f(11－4\r(3),2). (2)设扇形半径为R，圆心角为α， 则α＝1 rad,2R＋Rα＝6(cm)， ∴R＝2(cm)，∴S＝eq \f(1,2)lR＝2(cm2)． 答案　(1)B　(2)2 cm2 [缜密思维提能区]　易错辨析 混用角度制与弧度制致误 与eq \f(π,4)终边相同的角连同eq \f(π,4)在内组成的角的集合是____________． [错解一]　因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，所以与eq \f(π,4)终边相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,4)，k∈Z)))). [错解二]　因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，所以与eq \f(π,4)终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋45°，k∈Z}． [正解]　因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，所以与eq \f(π,4)终边相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))). [答案]　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) [纠错心得] 在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性，即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用． 知识落实 技法强化 1．弧度制的概念． 2．弧度制与角度制的相互转化． 3．掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． 4．扇形的弧长与面积的计算. 1．由特殊到一般的思想方法． 2．弧度与角度不可混用. $$