1.2 任意角(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第一章　三角函数 §2　任意角 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 端点O按箭头所示方向旋转 到终止位置OB 顶点 始边 终边 栏目导航 第一章　三角函数 1 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 重合 0° 重合 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 坐标原点 x轴的非负半轴 第几象限角 任何象限 栏目导航 第一章　三角函数 1 周角的整数倍 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 栏目导航 第一章　三角函数 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第一章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　三角函数 1 学业标准 素养目标 1．理解任意角的概念，能区分各类角．(难点) 2．掌握象限角的概念，会判断象限角，能用集合表示各类象限角．(重点) 3．理解终边相同角的定义，会表示终边相同角的集合．(重点) 1．通过角的相关概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过象限角、终边相同角的表示，提升直观想象、数学运算等核心素养. 导学1　角的概念推广 在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ [提示]　顺时针方向旋转了720°(或逆时针方向旋转了720°)，顺时针方向旋转了900°. 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示]　不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角，若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角． ◎结论形成 1．角的概念 如图，平面内一条射线OA绕着它的___________________________ _______________，形成角α.其中点O是角α的________，射线OA是角α的________，射线OB是角α的________． 2．角的分类 按旋转方向不同将角分为三类 (1)正角：按__________________形成的角叫作正角． (2)负角：按__________________形成的角叫作负角． (3)零角：如果一条射线__________________，我们称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边________，如果α是零角，那么α＝______. (4)如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边________． 导学2　象限角及终边相同的角 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？ [提示]　终边可能落在坐标轴上或四个象限内． 在同一个平面直角坐标系中作出30°，390°，－330°，750°的角． (1)观察它们的终边有什么关系，这些角之间相差多少度？ [提示]　终边在相同的位置，它们之间相差360°的整数倍． (2)如何用30°的式子表示390°，－330°，750°？ [提示]　390°＝1×360°＋30°； －330°＝－1×360°＋30°； 750°＝2×360°＋30°. ◎结论形成 1．象限角 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在____________，始边在__________________．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是______________；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于____________． 2．终边相同角的表示 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________________的和． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边与始边重合的角是零角．(　　) (2)终边和始边都相同的两个角一定相等．(　　) (3)象限角为钝角的终边在第二象限．(　　) (4)小于90°的角是锐角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．如果角α＝－21°，那么与角α终边相同的角可以表示为(　　) A．{β|β＝k·360°＋21°，k∈Z} B．{β|β＝k·360°－21°，k∈Z} C．{β|β＝k·180°＋21°，k∈Z} D．{β|β＝k·180°－21°，k∈Z} 解析　根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与角α＝－21°终边相同的角可表示为{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}，故选B． 答案　B 3．与45°角终边相同的角是(　　) A．－45°　　　　　 B．225° C．395° D．－315° 解析　∵－315°＝－360°＋45°， ∴－315°与45°是终边相同的角．故选D． 答案　D 4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角． 解析　因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角． 答案　240°　三 题型一　任意角的概念及其表示 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)． (2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是______． (3)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________. [解析]　(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． (2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°， 所以分针转过的度数为－120°. (3)如图． ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD ＝(－80°)＋250°＋(－270°)＝－100°. [答案]　(1)①　(2)－120°　(3)－100° (1)解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°的角、象限角等概念． (2)角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小． [触类旁通] 1．一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________，按顺时针方向旋转三周后的角度数为________． 解析　终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°，所以按逆时针旋转后的角度数是1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是－3×360°＋30°＝－1 050°. 答案　1 110°　－1 050° 题型二　终边相同的角 一题多变 　已知角α＝－2 025°. (1)写出与角α终边相同的角的集合S，并指出角α是第几象限角； (2)写出S中适合不等式－720°≤β＜0°的角β. [解析]　(1)S＝{β|β＝－2 025°＋k×360°，k∈Z}， ∵135°＝－2 025°＋6×360°， ∴135°与－2 025°的终边相同． ∵135°是第二象限角， ∴－2 025°是第二象限角． (2)由－720°≤－2 025°＋k×360°＜0°， 解得3eq \f(15,24)≤k＜5eq \f(15,24)， ∵k∈Z，∴k＝4或5， 即S中适合－720°≤β＜0°的元素有 －2 025°＋4×360°＝－585°， －2 025°＋5×360°＝－225°. [母题变式] 1．(变结论)本例中与角α终边相同的角中，最小正角为______． 解析　由0°＜－2 025°＋k·360°＜360°， 解得5eq \f(15,24)＜k＜6eq \f(15,24)，∵k∈Z，∴k＝6， 故所求最小正角为－2 025°＋6×360°＝135°. 答案　135° 2．(变结论)本例中与角α终边相同的角中，最大负角为______． 解析　由－360°＜－2 025°＋k·360°＜0°， 解得4eq \f(15,24)＜k＜5eq \f(15,24)，∵k∈Z，∴k＝5， 故所求最大负角为－2 025°＋5×360°＝－225°. 答案　－225° [素养聚焦]　通过终边相同角的表示与应用，把数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中． 与角α终边相同的角的表示方法 (1)所有与角α终边相同的角，连同角α(而且只有这样的角)在内可以用式子α＋k×360°，k∈Z表示． 在运用时，需注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k×360°与角α之间用“＋”号连接，如k×360°－30°应看成k×360°＋(－30°)，k∈Z. (2)求在一定范围内与已知角终边相同的角，方法是先求出与已知角终边相同的角，再变形，构建含有参数k的不等式，然后在k的取值范围内取值． [触类旁通] 2．(2024·南阳高一校考)已知角α的集合为M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： (1)集合M中有几类终边不相同的角？ (2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)求集合M中的第二象限角β. 解析　(1)集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角． (2)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－eq \f(13,3)<k<eq \f(11,3)，又k∈Z，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z. 题型三　象限角及其应用 (1)分别判断角α＝－130°和β＝－940°是第几象限角； (2)若角α是第二象限角，试判断180°－α，2α，eq \f(α,2)分别是第几象限角． [解析]　(1)由于α＝－130°＝－360°＋230°，即角α与230°角终边相同，而230°角是第三象限角，故α是第三象限角． 由于β＝－940°＝－3×360°＋140°，即角β与140°角终边相同，而140°角是第二象限角，故β是第二象限角． (2)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z， 所以180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，k∈Z， 即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°，k∈Z. 所以180°－α是第一象限角． 同理，180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°，k∈Z， 所以角2α可能是第三象限角或第四象限角或终边落在y轴的非正半轴上． 所以45°＋k·180°＜eq \f(α,2)＜90°＋k·180°，k∈Z. ①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜eq \f(α,2)＜90°＋n·360°(n∈Z)，即eq \f(α,2)是第一象限角； ②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜eq \f(α,2)＜270°＋n·360°(n∈Z)，即eq \f(α,2)是第三象限角． 故eq \f(α,2)是第一或第三象限角． 象限角的判断方法 (1)根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． (2)根据终边相同的角的概念，把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角． (3)由α的范围，表示出nα，eq \f(α,n)的范围，由n的取值确定象限． [触类旁通] 3．(1)(多选题)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若角α是第一象限角，则 ①－α是第________象限角； ②eq \f(α,3)是第________象限角． 解析　(1)当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角； 当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选AC． (2)因为α是第一象限角， 所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z. ①－k·360°－90°＜－α＜－k·360°，k∈Z， 所以－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． ②k·120°＜eq \f(α,3)＜k·120°＋30°，k∈Z. 当k＝3n(n∈Z)时， n·360°＜eq \f(α,3)＜n·360°＋30°， 所以eq \f(α,3)是第一象限角； 当k＝3n＋1(n∈Z)时， n·360°＋120°＜eq \f(α,3)＜n·360°＋150°， 所以eq \f(α,3)是第二象限角； 当k＝3n＋2(n∈Z)时， n·360°＋240°＜eq \f(α,3)＜n·360°＋270°， 所以eq \f(α,3)是第三象限角． 综上可知，eq \f(α,3)是第一或第二或第三象限角． 答案　(1)AC　(2)①四　②一或第二或第三 [缜密思维提能区]　易错辨析 对任意角的概念不清导致写错角的范围 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合． [错解一]　终边为OA的角为k·360°＋30°，k∈Z，终边为OB的角为k·360°＋150°，k∈Z， 所以终边在阴影部分内的角的集合为 {α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}． [错解二]　终边为OA的角为k·360°＋30°，k∈Z，终边为OB的角为k·360°＋150°，k∈Z. 所以终边在阴影部分内的角的集合为 {α|k·360°＋150°＜α＜k·360°＋30°，k∈Z}． [正解]　因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}． [纠错心得] (1)用不等式表示区域角的范围时，要注意观察角的集合形式是否能够合并，能合并的一定要合并． (2)对于区域角的书写，一定要看其区域是否跨越x轴的正方向． 知识落实 技法强化 1．正角、负角、零角的概念． 2．终边相同的角的表示． 3．象限角、区域角的表示. 1．数形结合、分类讨论． 2．注意：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中k∈Z. $$