广东省河源市正德中学2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题

九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，则据此估计盒子中大约有白球(    ) A. B. C. D. 2.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是(    ) A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 5.如图已知和是以点为位似中心的位似图形，且，点坐标为，则点坐标为(    ) A. B. C. D. 6.抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移个单位长度，将轴向左平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的外接圆，是的直径，连接，若的半径，，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，点在曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，，若的面积是，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在边长为的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 10.如图是抛物线的部分图象，其顶点是，且与的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.的三边长分别为，，，另有一个与它相似的，其最长边为，则的周长是______． 12.如果，是方程的两根，则          ． 13.如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离是          ． 14.一渔船在海上处测得灯塔在它的北偏东方向，渔船向正东方向航行海里到达点处，测得灯塔在它的北偏东方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔的最短距离是          海里． 15.图，在正方形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，在点变化的过程中，线段的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：． 解方程：． 17.本小题分 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球次数 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______结果精确到． 试估算口袋中黑球有______只，白球有______只 在的结论下，请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 18.本小题分 如图，身高的人站在两棵树之间，距较高的树，距较矮的树若此人观察的树梢所成的视线的夹角是，且较矮的树高，则较高的树有多少米？ 19.本小题分 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：． 连结，若，求证：四边形是矩形． 20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若此方程的一个根是，求方程的另一根． 求证：这个一元二次方程一定有两个实数根． 设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 21.本小题分 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为． 分别求出和的值； 结合图像直接写出中的取值范围； 在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 22.本小题分 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，四边形为矩形，交抛物线于点，点在下方的抛物线上运动． 求该抛物线的解析式； 当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； 当的面积最大时，求点的坐标并求出最大值． 23.本小题分 如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为点，交于点，连接． 求证：是的切线； 若，，求的长； 若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】解：， 根据比例的性质可得： ， 故选：． 直接根据比例的性质求解即可． 本题主要考查了比例的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有实数解， ，即， 解得． 故选：． 由题意知，根的判别式，据此可以求得的取值范围． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程没有实数根是解题的关键． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：， ：：． 又与是以点为位似中心的位似图形， 位似比为：． 点的坐标为，点位于第三象限， 点的坐标为，即， 故选：． 根据位似变换的性质计算即可． 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，则可对进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线有个公共点，于是可对进行判断． 【详解】抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 当时，， 即，所以正确； 抛物线的对称轴为直线，即， ，所以错误； 抛物线的顶点坐标为， ， ，所以正确； 抛物线与直线有一个公共点， 抛物线与直线有个公共点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，所以正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：设其余两边长为，， 则， 解得：，， 所以的周长是， 故答案为：． 设其余两边长为，，得出比例式，求出、的值，再求出答案即可． 本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，能熟记相似三角形的性质定理是解此题的关键，相似三角形的对应边成比例． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】如图，过点作于点． ，， ，， ， ， 在中，，，， ， 解得． 渔船与灯塔的最短距离是海里． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】解：原式．  【解析】略 17.【答案】； ，； 列表得出： 黑 黑 白 白 白 黑 黑，黑 黑，白 黑，白 黑，白 黑 黑，黑 黑，白 黑，白 黑，白 白 白，黑 白，黑 白，白 白，白 白 白，黑 白，黑 白，白 白，白 白 白，黑 白，黑 白，白 白，白 从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：种，总数为：种， 故这两只球颜色不同的概率是：．  【解析】解：当很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 由摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白球的个数个，黑球个． 故答案为：，； 列表得出： 黑 黑 白 白 白 黑 黑，黑 黑，白 黑，白 黑，白 黑 黑，黑 黑，白 黑，白 黑，白 白 白，黑 白，黑 白，白 白，白 白 白，黑 白，黑 白，白 白，白 白 白，黑 白，黑 白，白 白，白 从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：种，总数为：种， 故这两只球颜色不同的概率是：． 根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； 根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数； 列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 18.【答案】解：过点作，，，为垂足，则，，∽，即，解得答：较高的树有．  【解析】略 19.【答案】【小题】 略 【小题】 略   【解析】  提示：证明≌   略 20.【答案】【小题】 解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，，解得，即方程的另一个根为 【小题】 证明：， 这个一元二次方程一定有两个实数根 【小题】 解：解方程得，，即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，舍 解方程得，舍去， 即的值为或．   【解析】 略  略  略 21.【答案】【小题】 解：的面积为，，解得或不符合题意，舍去，反比例函数的关系式为将，分别代入，得，  【小题】 或  【小题】 点关于轴的对称点的坐标为，又，直线的关系式为，即点的坐标为．   【解析】 略  略  略 22.【答案】【小题】 解：将点、代入中， 得： 解得： 所以该抛物线的解析式为：； 【小题】 解：如图，连接， 为的直径， ， 又， 四边形为矩形， ， 点的横坐标，    抛物线的对称轴为直线， 又点的横坐标为， 点的横坐标为，     点、点的中点的横坐标为，    过点作的垂线交抛物线于点， 将代入中得到， 所以此时点的坐标为； 【小题】 解：如图，过点作于点， 设点的横坐标是其中，则点的坐标为，     ，，，，     ， 当，即点的坐标为时，的面积最大，最大值为．   【解析】  待定系数法求函数解析式即可；   连接，证明四边形为矩形，得出点的横坐标，进而得出点、点的中点的横坐标为，将代入中得到，即可得出答案；   过点作于点，设点的横坐标是其中，则点的坐标为，得出，，，，进而由，得出，即可得出答案． 23.【答案】【小题】 证明：平分，，，，，，，，，，，为的切线． 【小题】 解：如图，过点作与，，，，，，四边形为矩形，，，，，  在中，，，，，  在中，，，的长为． 【小题】 如图，连接，是弧的中点，的半径为，，，，，，  又，四边形为平行四边形，，四边形为菱形，，，和为等边三角形，，扇形扇形，弓形弓形，，，  在中，，，，，．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$