2024-2025学年七年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）10.1 二元一次方程组的有关概念七大题型

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题五 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用解题策略 特殊四边形动点问题的解题方法可归纳为以下核心策略： 一、基本策略 动中取静 在动态变化中寻找不变量（如边长、角度等），通过“静”的瞬间将一般问题转化为特殊情形，从而建立动与静的关系。 动静互化 结合动态过程与静态性质，通过分析特定时刻的几何形态（如矩形、菱形）列方程求解。 以动制动 建立图形中的数量关系（如线段长度、角度关系），通过代数方程或几何定理推导出运动参数。 二、具体解题步骤 （1）运动参数设定 设定动点运动时间、速度等参数，建立坐标系或几何关系式 （2）分类讨论  根据动点位置分情况讨论（如点是否到达终点、四边形类型变化等），分别建立方程或不等式。 （3）几何性质应用 利用平行四边形、菱形、梯形等特殊四边形的判定条件（如对边相等、对角线性质）列方程。 结合三角形全等、勾股定理等知识补充分析。 （4）函数与方程结合 建立边长、面积等随时间变化的函数表达式，通过代数运算求解关键参数 三、注意事项 画图辅助 ：通过动态轨迹图明确动点范围和关键位置。 分类全面 ：考虑运动终止条件、四边形类型变化等边界情况。 工具运用 ：适当使用代数、几何及函数知识综合分析。 通过以上策略与步骤，可系统解决特殊四边形动点问题1。 类型归纳 1. 巧用平行四边形性质解决动点问题 【例1-1】．如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点． （1）如图（1），若，过点E作于点M，连接CM，设，，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论． （2）如图（2），过点E作交OA于点D，点F在线段AO上，设，，且点． ①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标． ②若四边形CEFD为菱形，求t的值． 【变式1-1】．如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）当为何值时，是等边三角形？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【变式1-2】．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）两平行线与之间的距离是　 　． （2）当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． （3）连结，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为73，求t的值． 【变式1-3】．已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【变式1-4】．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； （2）当______秒时，P，Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2. 巧用菱形性质解决动点问题 【例2-1】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动　 　秒时，四边形的周长最小，并写出点的坐标　 　． 【变式2-1】．．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【变式2-2】．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. （1）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （2）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【变式2-3】．．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，，，，动点P从A点开始沿AD边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿CB边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形； （2）当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？ （3）问：四边形PQCD是否能成菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 【变式2-4】．如图，在平行四边形ABCD中，，，平行四边形ABCD的面积为．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿CB向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题： （1）求t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？此时平行四边形PDCQ是否是菱形？请说明理由． （2）是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3. 巧用矩形性质解决动点问题 【例3-1】．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当 时，四边形是矩形． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当时，直接写出的长为 ． 【变式3-1】．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点． （1）线段与的位置关系是　 　； （2）探究：线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （4）在的前提下，直接写出满足什么条件时，四边形是正方形． 【变式3-2】．如图，在中，O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）连接，当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【变式3-3】．在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为　 　． 4. 巧用正方形性质解决动点问题 【例4-1】． 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）运动时间为　 　秒时，点与点相遇； （2）求为何值时，是等腰三角形？ （3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围； （4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）． 【变式4-1】． 如图， 正方形 边长为 6 ， 点 是线段 上一点， 且 ， 点 是直线 上一动点， 以 为边作正方形 逆时针排列)， 连结 ， 直线 与直线 交于点 . 若点 中的任意一点到其余两点距离相等， 则 的长为　 　. 【变式4-2】． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点． （1） 求证： 是等腰直角三角形． （2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形? 请说明理由． 【变式4-3】．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由． （2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程． （3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 5. 综合运用特殊四边形性质解决动点问题 【例5-1】如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H． （1）求证：； （2）如图2，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由； （3）在图2中，如果，，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？（请直接写出答案） 【变式5-1】．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． （3）当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【变式5-2】．如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点E，F． （1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论； （2）如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？能证明你的猜想吗？ 【变式5-3】．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为______，的取值范围为______． （2）从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ （3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《二元一次方程组》 10.1 二元一次方程组的有关概念七大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1：二元一次方程组的概念 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【注意】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点2：.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【注意】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点3：二元一次方程组 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【注意】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点4：二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【注意】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 题型归纳 【题型1 二元一次方程的定义】 【题型2 二元一次方程的解】 【题型3 利用二元一次方程的解的定义求值】 【题型4二元一次方程组的定义】 【题型5 判断是否二元一次方程组的解】 【题型6已知二元一次方程组求参数】 【题型7实际问题中的二元一次方程】 典例精析专练 【题型1 二元一次方程的定义】 【例1-1】．下列选项是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、不是方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【例1-2】．若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】．若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是1的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 【变式1-2】．下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，判断各式即可得出答案． 【详解】解：①是代数式，不是方程，故不是二元一次方程； ②，不是整式方程，故不是二元一次方程； ③，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程． ④,未知数的最高次数为2，故不是二元一次方程； ⑤，只含有一个未知数，故不是二元一次方程； 故是二元一次方程的是③． 故答案为：③． 【变式1-3】．若是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，理解二元一次方程的概念是解题的关键． 令的指数和的指数等于即可求解． 【详解】解：由题意知，， 解得：， ∴． 故答案为： ． 【题型2 二元一次方程的解】 【例2-1】．是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念以及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程． 把已知的方程的解代入二元一次方程中，得到关于的一元一次方程，再求解该方程得出的值． 【详解】已知是方程的解， 将代入方程中，得到，即， 解得：， 故答案为：2． 【例2-2】．若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．根据x与y的值列出方程即可． 【详解】解：若一个二元一次方程的解为， 则这个方程可以是， 故答案为：(答案不唯一)． 【变式2-1】．已知二元一次方程，若时，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵二元一次方程， ∴把代入，得， 解得， 故答案为：2． 【变式2-2】．已知方程的一个解是，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程的解，把方程的解代入方程中得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入得， ∴． 【变式2-3】．某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个，利用总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出可供宾馆选择方案的个数．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个， 依题意得：， 化简得：． 又∵均为正整数， ∴或或， ∴可供宾馆选择的方案有3种． 故答案为：3． 【题型3 利用二元一次方程的解的定义求值】 【例3-1】．已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 【答案】(1) (2) (3)不是 【分析】本题考查了二元一次方程的解、列代数式，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． （1）代入到方程，得到关于k的方程，即可求出k的值； （2）由（1）得，代入方程，即可解答； （3）由（2）得，计算出当时对应的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入到方程，得， 解得：， 的值为． （2）解：由（1）得，， 代入到，得， ， 用含y的代数式表示x为． （3）解：由（2）得，， 当时，， 不是这个方程的解． 【例3-2】．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 【变式3-1】．已知多项式、，，已知． (1)求． (2)若与的关系符合方程，请你给出一组、的值，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据题意和整式的化简可以求出结果； （2）根据二元一次方程的解的定义取一组简单的解，代入即可，求出答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴, ∴； （2）由（1）可知， ∵， ∴取， ∴ 【点睛】本题主要考查了整式的化简，二元一次方程的解等知识点，解决此题的关键是整式化简的时候不要抄错字母和符号 【变式3-2】．已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：把代入方程， 得， ． 【变式3-3】．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，先将分别代入方程与方程，求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 【题型4 二元一次方程组的定义】 【例4-1】．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 【例4-2】．方程组中，不属于二元一次方程组的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， 故选C． 【变式4-1】．若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可求出的值． 【详解】∵方程是二元一次方程组， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式4-2】．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【变式4-3】．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 【题型5 判断是否二元一次方程组的解】 【例5-1】．已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 【例5-2】．方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用整体的思想，得，解得； 【详解】解：由题意，得，解得， 故选：A 【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键． 【变式5-1】．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 【变式5-2】．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【详解】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 【变式5-3】．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 【题型6已知二元一次方程组求参数】 【例6-1】．方程组的解为，则被遮盖和的两个数分别为（　　） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 把代入求出值，将，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 故选：C． 【例6-2】．已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组是解此题的关键．把代入方程组，得出关于、的方程组，然后求出即可． 【详解】解：把代入方程组得： ， 得：， 故选：B． 【变式6-1】．已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 【变式6-2】．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据方程的解的概念得出是方程②的解，是方程①的解，从而得到、满足，，解之求出、的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入， 可得：，， 解得：， 将代入， 可得：， 解得：， 当，时，． 故答案为：． 【变式6-3】．已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、代数式求值等知识，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． （1）将代入方程组计算即可得； （2）将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， 所以． （2）解：由（1）已得：， 则． 【题型7实际问题中的二元一次方程】 【例7-1】．如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据最后一行的三个数之和等于最后一列的三个数之和，即可得出等式，整理后即可得结果； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）由（1）得， ， 解得：． 【例7-2】．一个三角形的边长和周长如图所示． (1)请列出关于未知数的方程； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，解一元一次方程，准确识图、弄清题意是解题的关键． （1）根据三角形的周长列出方程即可； （2）把代入，解关于b的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵三角形的周长为10， ∴； （2）解：把代入，得： ， 解得． 【变式7-1】．某电视台在黄金时段的广告时间内，计划插播长度为和的两种广告，广告每播1次收费1万元，广告每播1次收费6000元．若要求每种广告播放不少于2次，插播的广告正好排满． (1)请问电视台两种广告的播放次数是如何安排的？ (2)请你帮电视台选择收益最大播放方式，说明理由． 【答案】(1)两种广告的格放次数有两种安排方式，播放的广告的次数是2时，播放的广告的次数是4：播放的广告的次数是3时，播放的广告的次数是2 (2)播放的广告2次，选择播放的广告4次收益最大，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意每种广告的播放次数是不的正整数． （1）本题中的等量关系：30秒次数次数． （2）要收益更大，就是说广告费最少．由（1）得到的安排方式，可求出每种安排方式所用的钱，再比较． 【详解】（1）解：设播放的广告次，播效的广告次． 依题意，得， ，， 解得或 答：两种广告的格放次数有两种安排方式，播放的广告的次数是2时，播放的广告的次数是4：播放的广告的次数是3时，播放的广告的次数是2； （2）当，时，（万元）． 当，时，（万元）． 所以，播放的广告2次，选择播放的广告4次收益最大． 【变式7-2】．刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 【答案】刘老师共有四种购买方案，分别为购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖或购买大包装3箱瓷砖，购买小包装11箱瓷砖或购买大包装6箱瓷砖，购买小包装6箱瓷砖或购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．设购买大包装箱，小包装箱，根据题意列出方程，然后利用、为非负整数得到方程的解即可． 【详解】解：设购买大包装箱，小包装箱， 根据题意，得． 即， 因为、为非负整数， 所以方程的解为，或，或，或． 答：刘老师共有四种购买方案，分别为购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖或购买大包装3箱瓷砖，购买小包装11箱瓷砖或购买大包装6箱瓷砖，购买小包装6箱瓷砖或购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖． 【变式7-3】．李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大、小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨买了大、小碗各几只？ 【答案】小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出方程的解．根据题意设大碗个，小碗个，列出相应的二元一次方程，然后根据、均为正整数，即可解答本题． 【详解】解：设大碗个，小碗个 、均为正整数 或或 答：小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只． 学科网（北京）股份有限公司 $$