专题02 矩形（考点清单，3考点12题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题02 矩形 （3个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 矩形的定义 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点】 1）矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形. 2）对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角. 3）定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形. 清单02 矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 清单03 矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【考点题型一】利用矩形的性质求角度（） 1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为，，则的度数为 ．    【答案】/36度 【分析】本题考查了矩形的性质，熟悉掌握矩形的性质是解题的关键． 利用矩形的性质得到，由推出，由推出，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质以及旋转的性质得出，，再根据平角的定义即可推出结果． 【详解】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， 即旋转角的度数为， 故选：D．    【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山东临沂·期末）已知矩形的对角线与一边的夹角是，则两条对角线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先根据矩形的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图：    根据题意可得： ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 则， ∴两条对角线的夹角的度数是或． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【考点题型二】利用矩形的性质求线段长（） 4．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点分别为的中点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，先由矩形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵P、Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理．先求得矩形的边长，根据三角形中位线定理得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：3． 6．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，．延长至点A，使，在上取一点B，使，连接并延长，交延长线于点G，点H是上一动点（不与点D，F重合）．当时，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键． 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，即，设，则，由，可得，可求满足要求的解为，即，根据，求解作答即可． 【详解】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是 ． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查矩形性质，三角形全等的判定及性质． 设，根据矩形的性质得出，，，求出，证得，得到，求出，矩形的周长为，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵矩形的周长为， ∴， 解得：， 即． 故答案为：． 【考点题型三】利用矩形的性质求周长（） 8．（23-24八年级下·山东济南·开学考试）如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 【答案】2 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，， ， 与的周长之差为2． 9．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，由矩形的性质可得，进而由，可得四边形是菱形，即可求解，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故选：． 10．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（    ）    A．18 B．20 C．26 D．36 【答案】A 【分析】由题意知，，，进而可求矩形的周长． 【详解】解：由题意知，，， ∴矩形的周长是， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的图象，矩形的性质．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 【考点题型四】利用矩形的性质求面积（） 11．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 13．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和函数图像，根据题意结合图像得出、的长度，再求出面积即可．能根据图形得出正确信息，利用数形结合的思想方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当点从点运动到点时，的面积不变，结合图像可知：， 当点从点运动到点时，的面积逐渐变小直到为，结合图像可知：， ∴长方形的面积为：． 故答案为：． 14．（21-22八年级下·山东烟台·期末）点E为正方形ABCD的边长AB上任意一点，连接EC，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．若矩形ECFG与正方形ABCD的面积分别为，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，连接DE，利用已知条件可以得到△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等，利用这个结论即可解决问题． 【详解】解：如图，连接DE， ∵， ∴， ∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等， 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键． 【考点题型五】利用矩形的性质求坐标（） 15．（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，矩形的顶点A、B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与旋转变化的规律探索，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2021次旋转结束时，点的坐标． 【详解】 如图，过点作轴于点，连接， ， ， 四边形是矩形 ， ， ， ， ， ， 矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点的坐标为； 则第4次旋转结束时，点的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2024次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 16．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，矩形中，，，在x轴上，若以点O为圆心，对角线的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为 ．    【答案】， 【分析】由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：，，， ， 对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于， ， 点，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 17．（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 18．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形为菱形，四边形为矩形，，，B三点的坐标为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和矩形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形为菱形，C点坐标为， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，B的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊的平行四边形及坐标与图形，灵活运用菱形的性质和矩形的性质是解题关键． 【考点题型六】添加一个条件使四边形是矩形（） 19．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 20．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，与相交于点O，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，根据矩形和菱形的判定的判定定理逐项判断即可求解，掌握矩形和菱形的判定的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，若，则是菱形，故说法正确，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是矩形，故说法正确，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是矩形，故说法正确，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是菱形，故说法错误，符合题意； 故选：D． 21．（20-21八年级下·山东德州·期末）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 22．（22-23八年级下·山东东营·阶段练习）E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，则四边形的形状是 ，当与满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】 平行四边形 【分析】连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． 连接．、、、分别为四边形四条边上的中点， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 故答案为：平行四边形，； 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键是正确构造三角形，正确的运用中位线定理，难度不大． 【考点题型七】证明四边形是矩形（） 23．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形的形状？请说明理由． 【答案】矩形，理由见解析 【分析】根据矩形的判定定理，首先可证四边形是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可得，即可证明平行四边形是矩形． 此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． 24．（2020·河北·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线AC，BD相交于点O，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，由，，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由得到，从而得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 25．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，已知菱形中，，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定，根据先证明为等边三角形，三线合一，得到，证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出结论。 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． ∵E，F分别是的中点， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 26．（20-21八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形，进一步由三线合一定理得到，由此即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【考点题型八】根据矩形的性质与判定求角度（） 27．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 28．（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断四边形是平行四边形，继而根据已知条件推导出，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证； （2）由矩形的性质得到，再由平行线的性质得到，然后由三角形的内角和求出，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键． 29．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，进而得到，最后利用等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ． ， ， 平行四边形是矩形， ，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【考点题型九】根据矩形的性质与判定求线段长（） 30．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是平行四边形的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）过O作于F，根据三角线的中位线定理求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形； （2）过O作于F， 四边形是矩形，， ，， 又， ， ， ，，， ， ． 31．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 32．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图， 在平行四边形中，点，分别在，上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再证是等腰直角三角形，根据勾股定理得，进而求出，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质与平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【考点题型十】根据矩形的性质与判定求面积（） 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 34．（2022·云南·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 【答案】(1)见解析； (2)18． 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形； （2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E为线段AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠AEB=∠DEF， ∴≌（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF=90°， ∴四边形ABDF是矩形； （2）解：由（1）知，四边形ABDF是矩形， ∴AB=DF=3，∠AFD=90°， ∴在中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3， ∴CF=CD+DF=3+3=6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键． 35．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 【考点题型十一】与矩形有关的最值问题（） 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，作点关于的对称点，过作交的延长于点，过作 于点，连接交于点，连接，，当三点共线即与重合时，的值最小，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】作点关于的对称点，过作交的延长于点，过作于点，连接交于点，连接，，    ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由对称得：垂直平分， ∵点是矩形的对角线上的点， ∴， ∴， 当三点共线即与重合时，的值最小， ∵，， ∴， 如图，连接交于点，    ∵四边形时矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知线段，点C是线段上一动点，将点A绕点C顺时针旋转得到点D，连接、；以为边在的右侧做矩形，连接，点M是的中点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了点到直线的距离，矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等得出的位置是固定的．连接，证明，求出，根据垂线段最短即可解得． 【详解】解：∵由旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形，点M是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即直线的位置是固定的， ∴当时，有最小值，此时． 故答案为：6 38．（20-21八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 39．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：    （1）若点F是的中点，则 ； （2）点D，E之间距离的最大值是 ． 【答案】 5 / 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． （2）如图所示，取的中点F，连接，利用勾股定理求出的长，再确定最大时的条件，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵，即，点F是的中点，， ∴， 故答案为：5； （2）如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵F是的中点， ∴， ．    ∵， ∴当点，，三点共线时，有最大值，最大． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定取得最值条件是求解本题的关键． 【考点题型十二】与矩形有关的折叠问题（） 40．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理．根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，，， ∴在中，． 设， 由折叠可得，，， ∴， ， ， ∴在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：3． 41．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据折叠可知，结合题意可知，再根据勾股定理得，求出，可得，再根据平行线的性质，进而得出，最后根据三角形的面积公式得出答案． 【详解】根据折叠可知，则， 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形中折叠问题，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理是求线段长的常用方法． 42．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）把一张矩形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点恰好落在点处，点落在点处，折痕为，其中，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，设，在中，利用勾股定理，求出的值，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵把一张矩形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 43．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，若，则 度． 【答案】20 【分析】本题考查了翻折变换（折叠），矩形的性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．由折叠的性质及平角等于，可求出的度数，再由和互余可求出的度数． 【详解】解：由翻折可知：， 四边形是矩形， ， ， ． 由翻折可知：， ， ． 故答案为：20． 44．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 45．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，把矩形纸片进行折叠． (1)如图1，若折叠后C点和A点重合，折痕交边，分别于点E，F，连接，交于点O．求证：四边形为菱形； (2)如图2，若折叠后C点落在边上的N点处，折痕交边于点M．已知该矩形纸片的长为，宽为．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （1）令、相交于点O，根据折叠的性质得出，，，通过证明，得出，即可求证四边形为菱形； （2根据勾股定理求出，则，进而得出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，令、相交于点O， ∵矩形折叠使A，C重合，折痕为 ，，， ∵， ， 在和中， ， ∵，， 四边形为菱形； （2）解：∵矩形纸片的长为，宽为， ∴，， 由折叠可得：， 在中， ，， 在中，， 解得， 故的长是． 【命题预测】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 2．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则在中，利用勾股定理可求出x的值． 【详解】解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5． 故选：C． 3．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，而，则，得，然后设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：将该矩形沿对角线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得，， 即， 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（     ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 6．（16-17九年级下·黑龙江大庆·期末）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 7．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加，不能判断平行四边形为矩形，不符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 添加则，可判断平行四边形为矩形，符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 故选：． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，四边形是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在轴、上，点B的坐标是则直线对应的函数表达式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解以及长方形的性质知识点． 先根据长方形性质和点坐标求出A，C两点坐标，然后设直线对应的函数表达式为为常数，，将两点坐标代入表达式，进而得到直线的函数表达式． 【详解】因为四边形是长方形，是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在轴，上，点的坐标是 根据长方形的性质，对边相等且平行， 所以的长度等于点的横坐标3，即点坐标为； 的长度等于点的纵坐标4，即点坐标为． 设直线对应的函数表达式为为常数，． 把分别代入中，得到方程组． 将代入，可得，移项得到， 解得． 所以直线AC对应的函数表达式为． 故选A． 9．（22-23八年级下·重庆梁平·期末）如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换折叠的性质，矩形的性质，勾股定理．第一次翻折可得，，，第二次折叠，可求，． 【详解】解：第一次折叠，如图， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质， ， ， ， 第二次折叠，如图，，， ， ， ． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点分别为四边形的边的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是， 故答案为：． 12．（2023·山东临沂·一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形； ③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 所有正确推断的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可． 【详解】解：点，，，分别为边， ，，的中点， 且，且， 且， 是平行四边形， 故①错误； 点，，，分别为边， ，，的中点， ，， ， ， 是平行四边形， 四边形是菱形， 故②正确； 点，，，分别为边， ，，的中点， ，， ， ， ， 是平行四边形， 是矩形， 故③正确； 若要四边形是菱形，需满足, 当四边形是菱形，不一定等于， 故④错误； 综上，正确的有：②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 13. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； （2）根据矩形的性质，菱形的性质可得，，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积． 15．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)96 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 16．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 17．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当运动时间t为3时，请判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并说明理由； 【答案】(1)4 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． （1）根据题意，得到当时，四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，先得到四边形为平行四边形，通过勾股定理算出，进而可知道四边形为菱形． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； （2）∵， ∴， 此时，，， ∵矩形中，， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 矩形 （3个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 矩形的定义 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点】 1）矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形. 2）对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角. 3）定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形. 清单02 矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 清单03 矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【考点题型一】利用矩形的性质求角度（） 1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为，，则的度数为 ．    2．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D．   3．（22-23八年级下·山东临沂·期末）已知矩形的对角线与一边的夹角是，则两条对角线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D．或 【考点题型二】利用矩形的性质求线段长（） 4．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点分别为的中点，则的长度为 ． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为 ． 6．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，．延长至点A，使，在上取一点B，使，连接并延长，交延长线于点G，点H是上一动点（不与点D，F重合）．当时，则的长是 ． 7．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是 ． 【考点题型三】利用矩形的性质求周长（） 8．（23-24八年级下·山东济南·开学考试）如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 9．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（    ）    A．18 B．20 C．26 D．36 【考点题型四】利用矩形的性质求面积（） 11．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 13．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 ． 14．（21-22八年级下·山东烟台·期末）点E为正方形ABCD的边长AB上任意一点，连接EC，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．若矩形ECFG与正方形ABCD的面积分别为，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【考点题型五】利用矩形的性质求坐标（） 15．（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，矩形的顶点A、B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，矩形中，，，在x轴上，若以点O为圆心，对角线的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为 ．    17．（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 18．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形为菱形，四边形为矩形，，，B三点的坐标为，，，则点的坐标为 ． 【考点题型六】添加一个条件使四边形是矩形（） 19．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，与相交于点O，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是正方形 21．（20-21八年级下·山东德州·期末）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 22．（22-23八年级下·山东东营·阶段练习）E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，则四边形的形状是 ，当与满足条件 时，四边形是矩形． 【考点题型七】证明四边形是矩形（） 23．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形的形状？请说明理由． 24．（2020·河北·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线AC，BD相交于点O，且．求证：四边形是矩形． 25．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，已知菱形中，，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是矩形． 26．（20-21八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形． 【考点题型八】根据矩形的性质与判定求角度（） 27．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 28．（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 29．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    【考点题型九】根据矩形的性质与判定求线段长（） 30．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是平行四边形的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 31．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 32．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图， 在平行四边形中，点，分别在，上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求的长． 【考点题型十】根据矩形的性质与判定求面积（） 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 34．（2022·云南·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 35．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【考点题型十一】与矩形有关的最值问题（） 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为 ．      37．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知线段，点C是线段上一动点，将点A绕点C顺时针旋转得到点D，连接、；以为边在的右侧做矩形，连接，点M是的中点，连接，则线段的最小值是 ． 38．（20-21八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是 ． 39．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：    （1）若点F是的中点，则 ； （2）点D，E之间距离的最大值是 ． 【考点题型十二】与矩形有关的折叠问题（） 40．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处．若，，则的长为 ． 41．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ． 42．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）把一张矩形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点恰好落在点处，点落在点处，折痕为，其中，，则的面积是 ． 43．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，若，则 度． 44．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 45．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，把矩形纸片进行折叠． (1)如图1，若折叠后C点和A点重合，折痕交边，分别于点E，F，连接，交于点O．求证：四边形为菱形； (2)如图2，若折叠后C点落在边上的N点处，折痕交边于点M．已知该矩形纸片的长为，宽为．求的长． 【命题预测】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．30 B．35 C．40 D．45 4．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（     ）． A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 6．（16-17九年级下·黑龙江大庆·期末）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 7．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，四边形是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在轴、上，点B的坐标是则直线对应的函数表达式为（） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·重庆梁平·期末）如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 10．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，若，则的长为 ． 11．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的面积为 ． 12．（2023·山东临沂·一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形； ③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 所有正确推断的序号是 ． 13. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为 ． 14．（23-24八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 15．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 16．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 17．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当运动时间t为3时，请判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并说明理由； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$