专题03 二元一次方程组与实际应用（考点清单，1考点15题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题03 二元一次方程组与实际应用 （1个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【考点题型一】根据实际问题列二元一次方程组（） 1．（2025七年级下·山东·专题练习）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：（   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·山东东营·期末）“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A．B．C． D． 4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，如果设长江长为千米，黄河长为千米，那么所列方程组是 ． 【考点题型二】根据几何图形列二元一次方程组（） 5．（22-23七年级下·山东泰安·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且比小．若设，，则可得到的方程组为（    ）   A． B． C． D． 6．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ． 7．（22-23七年级上·山东烟台·期末）已知点在第二象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为9，则点M的坐标为 ． 8．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【考点题型三】二元一次方程组的应用—方案问题（） 9．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）新年来临，爸爸想送小明一个书包和一双运动鞋作为新年礼物，爸爸对小明说，我在甲商场，乙商场发现同款的运动鞋的单价相同，书包单价也相同，运动鞋和书包单价之和是452元，且运动鞋的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求运动鞋和书包单价各是多少元？ (2)恰好两家商场都在搞促销活动，乙商场所有商品打八折销售，甲商场全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他们只带了400元，如果只在一家购买两样物品，你能帮助他们选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择在哪一家购买更省钱？ 10．（23-24七年级上·陕西安康·期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 11．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 【考点题型四】二元一次方程组的应用—行程问题（） 12．（23-24七年级下·山东临沂·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 13．（22-23七年级下·山东淄博·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 14．（22-23七年级下·山东临沂·期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度． 【考点题型五】二元一次方程组的应用—工程问题（） 15．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 17．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【考点题型六】二元一次方程组的应用—数字问题（） 18．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 19．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 20．（22-23七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【考点题型七】二元一次方程组的应用—年龄问题（） 21．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 22．（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【考点题型八】二元一次方程组的应用—分配问题（） 23．（23-24七年级下·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？ 24．（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 25．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【考点题型九】二元一次方程组的应用—销售、利润问题（） 26．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 27．（20-21七年级上·山东日照·期末）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说服他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 28．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）某班毕业时，结余经费1800元，一部分给老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念，已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册，求每件文化衫和每本相册各多少元？ 【考点题型十】二元一次方程组的应用—和差倍分问题（） 29．（22-23七年级下·山东泰安·期中）列方程组解应用题：我市某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间，为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元． (1)该旅游团住了三人间，双人间普通客房各住了多少间？ (2)若双人间共住了x人，总费用为y元，写出y与x的函数关系式． 30．（23-24七年级下·北京西城·期中）列方程（组）解应用题 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？ 31．（20-21七年级下·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【考点题型十一】二元一次方程组的应用—几何问题（） 32．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）图①是把一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，分成四块形状和大小完全相同的小长方形． (1)图②是把四个小长方形重新拼成的图形，请用两种不同的方法表示图中空白部分的面积：________，________； (2)若，，求a，b的值． 33．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 34．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、图②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为4的小正方形，求每个小长方形的面积？    【考点题型十二】二元一次方程组的应用—图表信息题（） 35．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表：   年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名） 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 7200 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？ 36．（21-22七年级下·山东烟台·期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源洗车，连续两个周的销售情况如下表： A型/辆 B型/辆 销售额/万元 第一周 1 3 74 第二周 2 1 58 求每辆A型车和B型车的售价． 37．（21-22七年级上·广西崇左·期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 物资总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 1 2 11 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【考点题型十三】二元一次方程组的应用—古代问题（） 38．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）马四匹牛六头共价白银48两，马三匹牛五头共价白银38两．每匹马，每头牛各价值多少两白银？ 39．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 40．（22-23七年级下·山东东营·期中）有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？ 【考点题型十四】二元一次方程组的应用—其它问题（） 41．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）小明的妈妈在菜市场买回1千克萝卜和0.5千克排骨，准备做萝卜排骨汤，妈妈说，今天买的这两样共花了23.6元，上个星期同等质量的这两样只要17元．爸爸说今天电视新闻上说萝卜每千克上涨了，排骨每千克上涨了．求今天萝卜和排骨的价格？ 42．（23-24七年级下·山东临沂·期末）阳光大课间，运动健体魄．某校为丰富学生大课间活动，计划购置一些篮球、毽子、沙包．体育用品采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． (1)请根据如图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置毽子、沙包的数量及对应的金额． (2)若学校要对表现突出的同学给予奖励，打算再次购买毽子、沙包共100个，购买毽子的数量多于43个，且购买两种体育用品的总价不超过390元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？ 43．（23-24七年级下·山东淄博·期末）世界上第一条地处高寒地区的哈大高铁正式通车运营．哈大高铁列车共8节车厢编组，可供511位乘客乘坐，每节一等座车厢有52个座位，每节二等座车厢有80个座位，其中8号车厢和4号车厢均为二等座车厢，8号车厢为观光车厢共68个座位；4号车厢为方便残疾人使用而设置了一个超大卫生间，共71个座位；5号车厢是餐车，试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？ 【考点题型十五】三元一次方程组的应用（） 44．（24-25七年级上·山东临沂·期中）相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为 ． 45．（23-24七年级下·山东淄博·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 46．（22-23七年级下·山东潍坊·阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱． 47．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）在一家水果店，小明买了斤苹果，斤西瓜，斤橙子，共付元；小惠买了斤苹果，斤西瓜，斤橙子，共付元，则买斤苹果和斤西瓜一共需付 元． 【命题预测】 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起(如图)，如果把这袋个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东德州·期末）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是元，《牵风记》的单价是元．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）用五个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点A的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东聊城·期末）某公司生产的，两种大小不同的观赏水晶球，已知9个种水晶球与11个种水晶球的质量相同，分别从9个种水晶球和11个种水晶球中各拿出1个交换后，重新称重，此时9个水晶球比11个水晶球的质量轻，问：，两种水晶球的单个质量各为多少千克？设每个种水晶球的质量为，每个种水晶球的质量为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东济宁·期末）算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程形式表述出来，就是，根据图2列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，某同学家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为 ． 7．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题 ”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，列出方程组是 ． 8．（23-24七年级下·山东烟台·期末）王老师逛超市时看中一种样式的碗，她将同样规格的碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度为 ． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）足球运动起源于我国“蹴鞠”的运动项目，近年来在我国中小学校园得到大力推广，某次校园足球比赛规定：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某足球队共进行了场比赛，得了分，该队获胜的场数可能有 种． 10．（23-24七年级下·山东滨州·期末）某旅行团组织游客到游乐区参观，所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种，其中去程有人搭乘缆车，回程有人搭乘缆车．已知本次缆车总费用为元，那么这个旅行团一共有 名游客． 参观方式 缆车费用 去程及回程，均塔乘缆车 元 单程搭乘缆车，单程步行 元 11．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）有若干只鸡和兔放在同一个笼子里．从上面看，有个头；从下面看，有只脚．问笼子里有几只鸡？几只兔？ 12．（21-22七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 13．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 14．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二元一次方程组与实际应用 （1个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【考点题型一】根据实际问题列二元一次方程组（） 1．（2025七年级下·山东·专题练习）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生，列出方程组，即可作答． 【详解】解：设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得： ， 故选：D． 3．（21-22七年级下·山东东营·期末）“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：米乐比琪琪多收集了7节废电池， ； 若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍， ． 根据题意可列方程组为． 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，如果设长江长为千米，黄河长为千米，那么所列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 如果设长江长为千米，黄河长为千米，分别以“长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米”为等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设长江长为千米，黄河长为千米，由题意可得， ， 故答案为：． 【考点题型二】根据几何图形列二元一次方程组（） 5．（22-23七年级下·山东泰安·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且比小．若设，，则可得到的方程组为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平角的定义可得，再由比小，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设，， 由题意得，，即 故选D． 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 6．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ． 【答案】 【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5 则根据图2可得：． 故填． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键． 7．（22-23七年级上·山东烟台·期末）已知点在第二象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为9，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值，到y轴的距离即为横坐标的绝对值建立关于a、b的二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：点M的坐标为，且点M在第二象限， 点M到x轴的距离为b，到y轴的距离为， ， 解得：， 点M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，二元一次方程组，第二象限点的坐标特征，熟知点到坐标轴的距离与横纵坐标之间的关系是解题的关键． 8．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型三】二元一次方程组的应用—方案问题（） 9．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）新年来临，爸爸想送小明一个书包和一双运动鞋作为新年礼物，爸爸对小明说，我在甲商场，乙商场发现同款的运动鞋的单价相同，书包单价也相同，运动鞋和书包单价之和是452元，且运动鞋的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求运动鞋和书包单价各是多少元？ (2)恰好两家商场都在搞促销活动，乙商场所有商品打八折销售，甲商场全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他们只带了400元，如果只在一家购买两样物品，你能帮助他们选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)运动鞋的单价为360元，书包的单价为92元 (2)可以选择在甲商场或乙商场购买；两家都可以选择，在乙商场购买更省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设运动鞋的单价为元，书包的单价为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分别求出在甲商场和乙商场购买两样物品的金额，比较两种计算结果和400元三者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设运动鞋的单价为元，书包的单价为元， 由题意得，， 解得：， 答：运动鞋的单价为360元，书包的单价为92元． （2）解：若在乙商场购买，则花费（元）， 若在甲商场购买，先购买运动鞋花费360元，返90元购物券，再加2元买书包， 则花费（元）， ， 如果只在一家购买两样物品，可以选择在甲商场或乙商场购买；两家都可以选择，在乙商场购买更省钱． 10．（23-24七年级上·陕西安康·期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 【答案】(1)一个水瓶元，一个水杯元； (2)在乙商场购买更合算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． 首先设一个水瓶元，一个水杯元，根据图片中两次购买水瓶和水杯的数量与所花费用列二元一次方程组，解方程组求出一个水瓶和一个水杯的单价； 分别计算出在两家商场买个水瓶和个水杯所需费用，通过比较确定哪家商场更合算． 【详解】（1）解：设一个水瓶元，一个水杯元， 根据题意可得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为， 答：一个水瓶元，一个水杯元； （2）在乙商场购买更合算， 理由如下： 解：甲商场：(元)， 乙商场：(元)， ， 在乙商场购买更合算． 11．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 【答案】任务一：12；36；任务二：还需从仓库拿100张布料； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中的等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组是解题的关键. （1）设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为，豌豆所需布料的尺寸是，豌豆荚所需布料的尺寸是，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得： ，即， ，其中为正整数， 当，，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 当，，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料； 当，，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二：设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 则， 解得， ， 还需从仓库拿100张布料． 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料． 【考点题型四】二元一次方程组的应用—行程问题（） 12．（23-24七年级下·山东临沂·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 【答案】(1)小魏的速度为，小梁的速度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，找到题中的等量关系，列出方程组是解题的关键． （1）设小魏的速度为，小梁的速度为，根据“出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地”可列出方程组，求解即可； （2）根据经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和即A、B两地的距离，即可求解； 【详解】（1）设小魏的速度为，小梁的速度为， 则由题意得：， 解得 答：小魏的速度为，小梁的速度为． （2）根据题意可知，A、B两地的距离为经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和，即： 答：A、B两地的距离是． 13．（22-23七年级下·山东淄博·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 14．（22-23七年级下·山东临沂·期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度． 【答案】甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒 【分析】设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒， 依题意，得： 解得： 答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型五】二元一次方程组的应用—工程问题（） 15．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 【答案】规定时间是12天，生产任务是4800床棉被 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组；设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的，每天生产480床棉被，刚好提前两天完成任务，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据题意得： ， 解得：， 答：规定时间是12天，生产任务是4800床棉被． 17．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得， 解得， 答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 【考点题型六】二元一次方程组的应用—数字问题（） 18．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 19．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 20．（22-23七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】72 【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 【考点题型七】二元一次方程组的应用—年龄问题（） 21．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 22．（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【考点题型八】二元一次方程组的应用—分配问题（） 23．（23-24七年级下·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？ 【答案】需甲种钢板10块，乙种钢板8块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，根据要生产46件产品，26件产品，据此列出二元一次方程组，解出甲、乙两种钢板的数量即可． 【详解】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块， 根据题意得 解得， ∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块． 24．（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 【答案】144套 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．列出方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据题意， 得 解得 答：可以恰好配成144套罐头盒. 25．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设三人间租住了间，两人间租住了间，根据人的旅游团共花费元的住宿费，即可得出关于，的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 【考点题型九】二元一次方程组的应用—销售、利润问题（） 26．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 (2)有2种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意，得； 解得 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型 根据题意，得 ∴ ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 27．（20-21七年级上·山东日照·期末）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说服他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)随身听和书包的单价分别为360元，92元 (2)在超市A购买省钱 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设随身听的单价为x元，书包的单价y元，根据“随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元”列方程组，求解即可； （2）根据两家超市的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱． 【详解】（1）解：设随身听的单价为x元，书包的单价为y元．由题意可得 ， 解得， 答：随身听的单价为360元，书包的单价为92元； （2）解：超市A需要：（元）； 超市B需要：先购买随身听花费360元，返券90元， 还需要（元）， 共花费（元）． 因为，所以在超市A购买省钱． 28．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）某班毕业时，结余经费1800元，一部分给老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念，已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册，求每件文化衫和每本相册各多少元？ 【答案】每件文化衫的费用为35元，每本相册的费用为26元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每件文化衫的费用为x元，每本相册的费用为y元，根据每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册列出方程组求解即可． 【详解】解：设每件文化衫的费用为x元，每本相册的费用为y元， 由题意得，， 解得， 答：每件文化衫的费用为35元，每本相册的费用为26元． 【考点题型十】二元一次方程组的应用—和差倍分问题（） 29．（22-23七年级下·山东泰安·期中）列方程组解应用题：我市某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间，为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元． (1)该旅游团住了三人间，双人间普通客房各住了多少间？ (2)若双人间共住了x人，总费用为y元，写出y与x的函数关系式． 【答案】(1)三人间普通房和双人间普通房分别住了10间、8间 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式： （1）设三人间普通房和双人间普通房分别住了a间、b间，根据一共46人花费1310元列出方程组求解即可； （2）双人间共住了x人，则双人间有间，三人间有间，据此列出对应的关系式即可． 【详解】（1）解：设三人间普通房和双人间普通房分别住了a间、b间， 根据题意得，， 解得：， 答：三人间普通房和双人间普通房分别住了10间、8间： （2）解：根据题意得：． 30．（23-24七年级下·北京西城·期中）列方程（组）解应用题 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？ 【答案】造型3的成本是22元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可． 【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：造型3的成本是22元． 31．（20-21七年级下·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只 (2)有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本 【分析】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键． （1）设自动铅笔买了x支，记号笔y支，利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案； （2）根据题意设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本，根据共花费15元得出等式 ，进而得出二元一次方程的解． 【详解】（1）（1）设小丽自动铅笔买了x支，记号笔y支， 因为由表格知：购买圆规花费金额为：（元），购买软皮笔记本花费的金额为：9元， 所以买自动笔和记号笔共花费的金额为：（元），可以列方程如下：          解得： 答：小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只； （2）解：设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本． 软皮本每本单价：（元）， ∴     化简：      则；； 答：有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本． 【考点题型十一】二元一次方程组的应用—几何问题（） 32．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）图①是把一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，分成四块形状和大小完全相同的小长方形． (1)图②是把四个小长方形重新拼成的图形，请用两种不同的方法表示图中空白部分的面积：________，________； (2)若，，求a，b的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组．熟练掌握完全平方公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组是解题的关键． （1）由题意知，空白部分面积为或； （2）由（1）可知，，即，可求满足要求的解，由，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，空白部分面积为或， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 解得，， ∴． 33．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积． 【答案】44平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积倍的小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为：（平方厘米）． 34．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、图②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为4的小正方形，求每个小长方形的面积？    【答案】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵图2中中间的正方形面积为4， ∴图2中中间的正方形的边长为2， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴每个小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型十二】二元一次方程组的应用—图表信息题（） 35．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表：   年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名） 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 7200 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？ 【答案】(1)， (2)初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生 【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可. 利用九年级的捐款额7200列方程求人数. 【详解】（1）由题意得: 解得： （2）设初三年级学生捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生. 由题意得： 解得： 答：初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生. 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解. 36．（21-22七年级下·山东烟台·期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源洗车，连续两个周的销售情况如下表： A型/辆 B型/辆 销售额/万元 第一周 1 3 74 第二周 2 1 58 求每辆A型车和B型车的售价． 【答案】每辆A型车的售价为20万元，B型车的售价为18万元 【分析】设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，利用总价=单价×数量，结合上周和本周销售两种型号新能源汽车的数量及销售额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元， 由题意可得：， 解得；， 答：每辆A型车的售价为20万元，B型车的售价为18万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 37．（21-22七年级上·广西崇左·期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 物资总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 1 2 11 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案； 【详解】（1）设甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨， 依题意得：， 解得：， 答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨； （2）设租用甲种货车辆，乙种货车辆， 依题意得：， 又，均为非负整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车； 方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车； 方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车． 【点睛】本题考查二元一次方程（组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组或方程． 【考点题型十三】二元一次方程组的应用—古代问题（） 38．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）马四匹牛六头共价白银48两，马三匹牛五头共价白银38两．每匹马，每头牛各价值多少两白银？ 【答案】每匹马价值两白银，每头牛价值两白银 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 设每匹马价值两白银，每头牛价值两白银，依题意得，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：设每匹马价值两白银，每头牛价值两白银， 依题意得： ， 解得：， 答：每匹马价值两白银，每头牛价值两白银． 39．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 40．（22-23七年级下·山东东营·期中）有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？ 【答案】个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛， 根据题意可得：， 解得：， 答：个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛． 【考点题型十四】二元一次方程组的应用—其它问题（） 41．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）小明的妈妈在菜市场买回1千克萝卜和0.5千克排骨，准备做萝卜排骨汤，妈妈说，今天买的这两样共花了23.6元，上个星期同等质量的这两样只要17元．爸爸说今天电视新闻上说萝卜每千克上涨了，排骨每千克上涨了．求今天萝卜和排骨的价格？ 【答案】萝卜元千克，排骨元千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（其他问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 设上个星期萝卜的价格为元千克，排骨的价格为元千克，依题意得，解方程组即可求出、的值，进而可求得今天萝卜和排骨的价格． 【详解】解：设上个星期萝卜的价格为元千克，排骨的价格为元千克， 依题意得： ， 解得：， ， ， 答：今天萝卜的价格为元千克，排骨的价格为元千克． 42．（23-24七年级下·山东临沂·期末）阳光大课间，运动健体魄．某校为丰富学生大课间活动，计划购置一些篮球、毽子、沙包．体育用品采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． (1)请根据如图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置毽子、沙包的数量及对应的金额． (2)若学校要对表现突出的同学给予奖励，打算再次购买毽子、沙包共100个，购买毽子的数量多于43个，且购买两种体育用品的总价不超过390元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？ 【答案】(1)购置毽子的数量为30，沙包的数量为20，毽子对应的金额为，沙包对应的金额为 (2)有2种购买方案，最低费用388元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用,解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设毽子数量为x个，沙包的数量为y个，根据表格中的相关信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设再次购买毽子m个，则购买沙包个，根据题意列出不等式组，解不等式组，得出，再根据m为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设毽子数量为x个，沙包的数量为y个， 由题意，得：， 解得， ∴，． 答：购置毽子的数量为30，沙包的数量为20，毽子对应的金额为，沙包对应的金额为． （2）解：设再次购买毽子m个，则购买沙包个，由题意得： ， 解得：， 又∵m为整数， ∴，45 ， ∴或， 共两种方案：①买44个毽子56个沙包，共花费（元） ②买45个毽子55个沙包共花费（元） 答：有2种购买方案，最低费用388元． 43．（23-24七年级下·山东淄博·期末）世界上第一条地处高寒地区的哈大高铁正式通车运营．哈大高铁列车共8节车厢编组，可供511位乘客乘坐，每节一等座车厢有52个座位，每节二等座车厢有80个座位，其中8号车厢和4号车厢均为二等座车厢，8号车厢为观光车厢共68个座位；4号车厢为方便残疾人使用而设置了一个超大卫生间，共71个座位；5号车厢是餐车，试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？ 【答案】一等车厢1节，二等车厢6节 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设一等车厢x节，二等车厢y节，根据共8个车厢其中5号车厢时餐车可得方程，再由一共有511位乘客乘坐，且8号车厢为观光车厢共68个座位；4号车厢为方便残疾人使用而设置了一个超大卫生间，共71个座位可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设一等车厢x节，二等车厢y节． 依题意得：， 解得． 答：一等车厢1节，二等车厢6节． 【考点题型十五】三元一次方程组的应用（） 44．（24-25七年级上·山东临沂·期中）相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，根据每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的三元一次方程，变形后，即可求出的值，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】根据题意得：， ∴， 故答案为：3． 45．（23-24七年级下·山东淄博·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设长方体木块长、宽，桌子的高为，根据图①和图②列出方程组求解即可． 【详解】解：设长方体木块长、宽，桌子的高为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度等于， 故答案为：． 46．（22-23七年级下·山东潍坊·阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱． 【答案】150 【分析】设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，建立方程组，整体求解即可． 【详解】解：设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，由题意得 ， 把这两个方程相加，得， 即， ∴， ∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的建模及其特殊解法．根据系数特点，将两式相加，整体求解． 47．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）在一家水果店，小明买了斤苹果，斤西瓜，斤橙子，共付元；小惠买了斤苹果，斤西瓜，斤橙子，共付元，则买斤苹果和斤西瓜一共需付 元． 【答案】5.2 【分析】设斤苹果x元，1斤西瓜y元，1斤橙子z元，由题意列出方程组，再求出的值即可． 【详解】解：设斤苹果x元，1斤西瓜y元，1斤橙子z元， 由题意得：， 由得：， 则买斤苹果和斤西瓜一共需付5.2元， 故答案为：5.2． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【命题预测】 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起(如图)，如果把这袋个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，然后根据题意列二元一次方程组，解出的值后，再根据个纸杯整齐叠放在一起时列式代数即可． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意得：， 解得， 则当个纸杯整齐叠放在一起时可得：． 故选D． 2．（23-24七年级下·山东德州·期末）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是元，《牵风记》的单价是元．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可． 【详解】解：设《北上》的单价是元，《牵风记》的单价是元，列方程组为， 故选A． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）用五个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点A的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想． 结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：等于长方形的两个宽加上一个长；从水平方向看，等于两个长方形的长减去一个长方形的长减去一个长方形的宽，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长加上一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； ∵点在第二象限， ∴． 故选：B． 4．（23-24七年级下·山东聊城·期末）某公司生产的，两种大小不同的观赏水晶球，已知9个种水晶球与11个种水晶球的质量相同，分别从9个种水晶球和11个种水晶球中各拿出1个交换后，重新称重，此时9个水晶球比11个水晶球的质量轻，问：，两种水晶球的单个质量各为多少千克？设每个种水晶球的质量为，每个种水晶球的质量为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意可得等量关系：①9枚A种水晶球的重量枚B种水晶球的重量；②(10枚B种水晶球的重量枚A种水晶球的重量)(1枚B种水晶球的重量枚A种水晶球的重量) ，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每个种水晶球的质量为，每个种水晶球的质量为，根据题意得： ． 故选：C 5．（23-24七年级下·山东济宁·期末）算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程形式表述出来，就是，根据图2列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法， 可推出图2所示的算筹表示的方程组． 故选：C． 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，某同学家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设一块长方形墙砖的长为，宽为，根据图中数量关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得：，解得：， 每一块长方形墙砖的面积为：， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题 ”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，列出方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组．设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，根据二匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，列方程组即可． 【详解】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，由题意可列方程组， ， 故答案为： 8．（23-24七年级下·山东烟台·期末）王老师逛超市时看中一种样式的碗，她将同样规格的碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为， 根据题意得： 解得： ， 则8个碗放在一起时，它的高度为． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）足球运动起源于我国“蹴鞠”的运动项目，近年来在我国中小学校园得到大力推广，某次校园足球比赛规定：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某足球队共进行了场比赛，得了分，该队获胜的场数可能有 种． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设该队获胜场，平场，则负场，根据题意得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数及，即可求出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设该队获胜场，平场，则负场， 依题意，得：， ∴， 又，均为非负整数, ∴ 或或或或， 又∵， ∴该队可能获胜场或场或场， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东滨州·期末）某旅行团组织游客到游乐区参观，所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种，其中去程有人搭乘缆车，回程有人搭乘缆车．已知本次缆车总费用为元，那么这个旅行团一共有 名游客． 参观方式 缆车费用 去程及回程，均塔乘缆车 元 单程搭乘缆车，单程步行 元 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设此旅行团有人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有人，然后根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可解答，读懂题意、找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：此旅行团有人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有人， 根据题意得，，解得：， ∴这个旅行团一共有， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）有若干只鸡和兔放在同一个笼子里．从上面看，有个头；从下面看，有只脚．问笼子里有几只鸡？几只兔？ 【答案】笼子里有只鸡，只兔． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解决鸡兔同笼问题，解题的关键是能够根据题意正确列出二元一次方程组．设笼子里有只鸡，只兔，根据笼中鸡和兔共个头只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设笼子里有只鸡，只兔， 依题意，得：， 解得：． 答：笼子里有只鸡，只兔． 12．（21-22七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 13．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 【答案】(1)A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个 (2)购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买A型摆件a个，B型摆件b个，a、b均为正整数，根据题意有等式，即有，根据a、b均为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个， 根据题意有：， 解得：， 答：A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个； （2）解：设购买A型摆件a个，B型摆件b个，根据题意可知a、b均为正整数， 根据题意有等式：， 整理得：， 即：， ∵a、b均为正整数， ∴一定是7的倍数， ∴b可以为6和13， ∴相应的a可以为16和8， 故购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 14．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到，然后由a，b都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨， 依题意得：，    解得． 答：1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨． （2）解：∵现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴当时，；当时，；当时，； ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$