精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024--2025学年下学期八年级数学第一次月考试题

2024到2025学年下期八年级北师大版数学第一次月考试题 考试时间120分钟，满分120分 一、单选题（每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①，③不是不等式； ②，④，⑤，⑥是不等式． 故选C． 2. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项错误；        B. ，若，则，故该选项错误； C. ∵，∴，故该选项正确；       D. ∵，∴，故该选项错误； 故选：C． 4. 等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为（　　） A. 5和1 B. 5和3 C. 5和1或3和3 D. 5和1或5和3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握等腰三角形的定义是关键． 根据等腰三角形的定义得到三角形的两腰相等，再根据三角形三边数量关系判定即可求解． 【详解】解：等腰三角形的周长为11，其中一边长为5， ∴当另一边长为5时，第三边长为， ∵， ∴另外两边长分别为5，1，符合题意； 当一边长为5是底边时，两腰长为， ∵， ∴另外两边长分别为3，3，符合题意； 综上所述，另外两边长为5和1或3和3， 故选：C ． 5. 如图，在中，是的平分线，，则的长为（    ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先在截取一点，使得，再运用外角性质得，然后证明，则，即可作答． 【详解】解：在截取一点，使得，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 若有意义，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件及分母不能为零可得且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得： ，且， 解得：， 故选：． 7. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， ， 的周长， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，三角形面积，先根据勾股定理求出的长，再根据垂线段最短得出当时，最短，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：，，， 由勾股定理得，， 当时，最短，如图， ， ， 解得， 故选：． 9. 若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得情况列出关于a的不等式是解题关键．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于a的不等式即可解答． 【详解】解：解不等式，得：， ∵其正整数解是1、2、3， ∴． 故选D． 10. 如图，则的面积为（　　） A. 9 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 首先作于,作交的延长线于.根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积． 【详解】解：作于,作交的延长线于 ， 在和中， 的高即为, 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 12. 如图，若，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 13. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质．由直角三角形的两个锐角互余求出，再根据平角的定义求出，最后根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，找出点坐标变化的规律“为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为”成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得出根据点的变化找出变化规律为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为，然后根据规律即可解答． 【详解】解：根据等边三角形性质可得出以及坐标可得： 观察发现规律：为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为， ∵为偶数， ∴的横坐标为3，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 15. 一个三角形的3条边长分别为，，，它的周长不超过39cm，则的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】将三条边长对应的代数式加在一起，和小于等于39，同时三角形两边之和应大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题可得 分别解两个不等式得到x≤14，x＞3 ∴x的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于利用好三角形三边关系这个隐含条件． 三、解答题（一）（本大题3小题，毎小题7分，共21分） 16. 解不等式 的解集，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 【答案】，在数轴上表示见解析；它的非正整数解为：，和0 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 化系数为1得，， 在数轴上表示为：  ∴它的非正整数解为：，和0． 17. 如图，在中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若的面积是，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），解题的关键是利用角平分线性质得到，再通过三角形面积的关系列方程求解． 利用角平分线性质得出，将的面积拆分为与的面积和，即可求解． 【详解】解：为的平分线，， ， 的面积是，，， 的面积的面积的面积， ， ． 18. 若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程解，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解一元一次不等式得到，得出不等式的最小整数解为，代入一元一次方程求出，再代入中计算即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 不等式的最小整数解为． 不等式的最小整数解是关于的方程的解， 将代入方程，得， 解得， 则． 四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题9分，共27分） 19. 如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）过点A作，求线段与的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，推出，结合即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 一次函数和的图像如图所示，且，． （1）关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 21. 甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． （1）根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 … 甲商场实际花费 400 … 乙商场实际花费 550 … （2）五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】（1）560，，410， （2）当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同 【解析】 【分析】本题考查代数式，一元一次不等式应用，解题关键是读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据两种购买方案列式求解即可； （2）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解 小问1详解】 解：， 在甲商场购买x元的金额时，实际花费是（元）； （元）， 在乙商场购买x元的金额时，实际花费是． 累计购物金额 500 700 … 甲商场实际花费 400 560 … 乙商场实际花费 410 550 … 【小问2详解】 解：根据题意， 由，得， 由，得． 由，得， 当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同． 五、解答题 （三） (本大题2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 情境建模 （1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． 理解内化 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明思考出的结论，解决下列问题： 如图2，在中，平分，，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，在中，平分，，，的面积是25，点是上一个动点，点是上一个动点，请求出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质； （1）证明，即可得到； （2）延长与交于点，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根据求证即可； （3）延长与相交于点，过点作于，交于点，连接，过点作于，由（1）可知：，则，，，得到，当，，三点共线时最小，由垂线段最小得到当与重合时最小，再由面积法得到，即的最小值为． 【详解】（1）证明：【方法一】 平分， ， ， ， ， ， 【方法二】平分， ， ， ， ， ； （2）证明：延长与交于点， 图2 由（1）可知：， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ； （3）解：延长与相交于点，过点作于，交于点，连接，过点作于， ∵平分，， ∴由（1）可知：， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时最小， 由垂线段最小得到当与重合时最小， ∵，的面积是25， ∴，解得， ∵，， ∴, 即的最小值为． 23. 某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． （1）求每台A型和B型打印机的销售利润： （2）商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 （2）该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 （3）方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； 【小问2详解】 解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； 【小问3详解】 解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024到2025学年下期八年级北师大版数学第一次月考试题 考试时间120分钟，满分120分 一、单选题（每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为（　　） A. 5和1 B. 5和3 C. 5和1或3和3 D. 5和1或5和3 5. 如图，在中，是的平分线，，则的长为（    ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 若有意义，则的取值范围为（　　） A B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 9. 若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 如图，则的面积为（　　） A. 9 B. 6 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ___________． 12. 如图，若，则的度数为______________． 13. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是____________． 15. 一个三角形的3条边长分别为，，，它的周长不超过39cm，则的取值范围________． 三、解答题（一）（本大题3小题，毎小题7分，共21分） 16. 解不等式 的解集，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 17. 如图，在中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若的面积是，求的长． 18. 若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题9分，共27分） 19. 如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）过点A作，求线段与的数量关系． 20. 一次函数和的图像如图所示，且，． （1）关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 21. 甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． （1）根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 … 甲商场实际花费 400 … 乙商场实际花费 550 … （2）五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 五、解答题 （三） (本大题2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22 情境建模 （1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． 理解内化 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明思考出的结论，解决下列问题： 如图2，在中，平分，，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，在中，平分，，，的面积是25，点是上一个动点，点是上一个动点，请求出的最小值． 23. 某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． （1）求每台A型和B型打印机的销售利润： （2）商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$