专题01 高二下学期期中真题精选（第六章 计数原理+第七章 随机变量及其分布）（考题猜想，常考17大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

专题01 高二下学期期中真题精选（17大题型） （人教A版2019选择性必修第三册第六章 计数原理+第七章 随机变量及其分布） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 两个计数原理综合（重点） · 题型二 排列数与组合数的计算 · 题型三 组合数的性质应用 · 题型四 相邻与不相邻问题 · 题型五 特殊元素（位置）优先 · 题型六 间接法（高频） · 题型七 分配问题 · 题型八 涂色问题（难点） · 题型九 二项展开式及其逆应用（易错） · 题型十 二项展开式的第项 （重点） · 题型十一 二项式系数（和） （易错） · 题型十二 系数和，系数最值（高频） · 题型十三 两个二项展开式，三项展开式系数问题 · 题型十四 条件概率（难点） · 题型十五 全概率公式（难点） · 题型十六 二项分布和超几何分布（重点） · 题型十七 正态分布（重点） 一、两个计数原理综合（共6小题） 1．（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 4．（23-24高二下·山西长治·期中）甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（    ） A．300种 B．120种 C．240种 D．180种 5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．18种 6．（24-25高三上·四川内江·期中）安排甲､乙､丙､丁､戊5名大学生去延安､宝鸡､汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 . 二、排列数与组合数的计算（共5小题） 1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 2．（23-24高二下·吉林·期中）已知，则 ． 3．（23-24高二下·山东青岛·期中） . 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知，则 ． 5．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 三、组合数的性质应用（共8小题） 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 3．（23-24高二下·四川眉山·期中）若，则的值为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 4．（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 5．（多选）（23-24高二下·江苏连云港·期中）若，则m的取值可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 6．（多选）（23-24高二下·山东济宁·期中）下列关于组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 . 8．（23-24高二下·浙江台州·期中）方程的解是 . 四、相邻与不相邻问题（共7小题） 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．1600种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 3．（22-23高二下·北京延庆·期中）某晚会要安排4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法（    ）？ A．720 B．576 C．480 D．144 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（    ） A．1152种 B．1040种 C．864种 D．288种 5．（多选）（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 6．（多选）（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（    ） A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 7．（多选）（23-24高二下·江苏南通·期中）某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（    ） A．专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法 B．专家和专家发言不相邻，共有种排法 C．三位专家的发言必须相邻，共有720种排法 D．专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法 五、特殊元素（位置）优先（共6小题） 1．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有 种．（用数字作答） 2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有 个．（用数字作答） 3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）现有4男3女站成一排：若7人中，甲必须站在排头，有多少种不同排法 ，若女生必须排在一起，有多少种不同的排法 .（结果用数字作答） 4．（23-24高二下·福建泉州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 .（用数字作答） 5．（22-23高二下·河南郑州·期中）安排名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，则不同排法的总数是 用数字作答 6．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）共6人进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，其中已知和都不是第1名，且名次好于，则这6人的名次排列情况种数为 . 六、间接法（共5小题） 1．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为（    ） A．90 B．120 C．180 D．210 3．（22-23高二下·河南洛阳·期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（    ）. A．15 B．11 C．14 D．23 4．（22-23高二下·浙江温州·期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种． 5．（22-23高二下·江苏常州·期中）如图所示，某人从A按最短路径走到B，其中PQ段道路施工，不能通行，问共有 种不同的行走路线.    七、分配问题（共8小题） 1．（23-24高三下·重庆·期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（    ） A．6 B．12 C．10 D．14 2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（    ） A．18 B．24 C．48 D．72 3．（23-24高二下·山西大同·期中）为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法种数有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 4．（23-24高二下·广东茂名·期中）将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（    ）种． A．60 B．120 C．240 D．480 5．（23-24高二下·浙江·期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为 ． 6．（23-24高二下·安徽亳州·期中）有五位志愿者，参加三项志愿活动，每人至少参加一项，每项活动至少一人的参加方式为 ． 7．（23-24高二下·湖北鄂州·期中）五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是 ． 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 八、涂色问题（共6小题） 1．（23-24高二下·河北石家庄·期中）在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（    ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 3．（23-24高二下·天津南开·期中）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 4．（23-24高二下·天津·期中）如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法．（用数字作答）    5．（23-24高二下·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是 . 6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 九、二项展开式及其逆应用（共5小题） 1．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽宿州·期中）（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）设，化简（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23高二下·安徽·期中） ． 十、二项展开式的第项（共5小题） 1．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南保山·期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 . 4．（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ． 5．（23-24高三上·北京·期中）在的二项展开式中，第四项为 ． 十一、二项式系数（和）（共10小题） 1．（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 2．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 4．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 5．（23-24高二下·福建泉州·期中）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若的展开式中二项式系数和为64，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 . 9．（23-24高二下·天津·期中）的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）． 10．（22-23高二下·浙江·期中）已知展开式的前三项的二项式系数之和为29. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 十二、系数和，系数最值（共10小题） 1．（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大值为35 2．（多选）（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．展开式中最大的系数为 3．（多选）（23-24高二下·重庆渝北·期中）在的展开式中，含项的系数为，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式的各项系数和为0 C．展开式中系数最大项是第6项 D．展开式中系数最大项是第7项 4．（23-24高二下·浙江台州·期中）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 5．（22-23高二下·重庆江北·期中）已知二项式的展开式中的系数为，常数项为，且. (1)求的值； (2)求展开式中系数最小的项. 6．（23-24高二下·上海·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 7．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________． (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 8．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 9．（23-24高二下·河南商丘·期中）设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 10．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m． (1)求实数m的值； (2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式） ①； ②． 十三、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共8小题） 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 3．（23-24高二下·安徽·期中）二项式的展开式中的系数为（    ） A． B．40 C． D．60 4．（多选）（23-24高二下·湖北·期中）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 5．（多选）（23-24高二下·安徽六安·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）展开式中，x的一次项的系数为 ． 7．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知的展开式中项的系数为 ． 8．（23-24高二下·江苏徐州·期中）的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 十四、条件概率（共8小题） 1．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数均为偶数”，“两次的点数之和为6”，则（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南·期中）已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（   ） A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7 5．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 . 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为 ． 8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为 . 十五、全概率公式（共10小题） 1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（    ） A．摸到黑球 B．摸到红球 C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 3．（22-23高二下·北京延庆·期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（    ） A．0.62 B．0.84 C．0.92 D．0.98 5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·天津·期中）为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 7．（23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 8．（22-23高二下·福建漳州·期中）流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为. (1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； (2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率. 9．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 10．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 十六、二项分布和超几何分布（共10小题） 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望 2．（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 3．（23-24高二下·青海海东·期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 4．（23-24高二下·北京延庆·期中）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率； (2)如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率； (3)如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论. 5．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： (1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； (2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 6．（23-24高二下·浙江·期中）李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． (1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好． 7．（23-24高二下·北京·期中）动车和BRT（快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示： 满意程度 30岁以下（不含30岁） 30~50岁（含30岁，不含50岁） 50岁及50以上 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 满意 50 5 100 10 100 20 一般 20 15 40 20 20 25 不满意 5 0 20 10 20 20 (1)若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率； (2)记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差； (3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取3人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的分布列及数学期望. 8．（23-24高二下·北京顺义·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者． (1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和． (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论） 9．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 十七、正态分布（共9小题） 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（   ）（参考数据：①；②；③ A．这次考试成绩超过100分的约有1000人 B．这次考试分数低于70分的约有40人 C． D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 2．（23-24高二下·辽宁·期中）已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．50 B．55 C．59 D．64 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 4．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知随机变量，则 .注：若，则,. 5．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知随机变量，且，则的最小值为 ． 6．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数． (1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） (3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 7．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 8．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．） (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望． 9．（23-24高二下·山东青岛·期中）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布．求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励60元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 资金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则 $$专题01 高二下学期期中真题精选（17大题型） （人教A版2019选择性必修第三册第六章 计数原理+第七章 随机变量及其分布） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 两个计数原理综合（重点） · 题型二 排列数与组合数的计算 · 题型三 组合数的性质应用 · 题型四 相邻与不相邻问题 · 题型五 特殊元素（位置）优先 · 题型六 间接法（高频） · 题型七 分配问题 · 题型八 涂色问题（难点） · 题型九 二项展开式及其逆应用（易错） · 题型十 二项展开式的第项 （重点） · 题型十一 二项式系数（和） （易错） · 题型十二 系数和，系数最值（高频） · 题型十三 两个二项展开式，三项展开式系数问题 · 题型十四 条件概率（难点） · 题型十五 全概率公式（难点） · 题型十六 二项分布和超几何分布（重点） · 题型十七 正态分布（重点） 一、两个计数原理综合（共6小题） 1．（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】对甲的位置分三种情况讨论，依次分析丙丁的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论： ①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列,安排在其他三个位置， 有种安排方法，则此时有种编排方法； ②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； ③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； 则符合题意要求的编排方法有种； 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 【答案】B 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据题意要求，有“”或“”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数上除以相同数目组数的阶乘. 【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案. 按照“”分配时，有种方法； 按照“”分配时，有种方法. 由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种. 故选：B. 4．（23-24高二下·山西长治·期中）甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（    ） A．300种 B．120种 C．240种 D．180种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据师生对话，结合三人的相对名次，利用插空法进行求解即可. 【详解】因为老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高， 所以有两种相对名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲， 因此不同的名次有种可能； 老师对乙说：“很遗憾，你不是第一名， 当乙是第一名时，有甲没有丙的名次高，这时不同的名次有种可能， 因此6人的名次排列的情况有种可能， 故选：D 5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解. 【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法； 剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有种安排方法； 所以共有不同的安排方案有种， 故选：B. 6．（24-25高三上·四川内江·期中）安排甲､乙､丙､丁､戊5名大学生去延安､宝鸡､汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 . 【答案】150 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】先分组再排列，利用分步乘法计数原理得解 【详解】先将5名大学生分成3组，有两种分组方法， 若分成3、1、1的三组，有种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有种分组方法， 则一共有种分组方法， 再将分好的三组全排列，对应三个城市有种情况， 所以不同的安排方式共有种， 故答案为：150 二、排列数与组合数的计算（共5小题） 1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【知识点】排列数的计算、组合数的性质及应用、组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 2．（23-24高二下·吉林·期中）已知，则 ． 【答案】720 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】解排列数、组合数方程，再利用阶乘的意义求值. 【详解】由，得，则， 即，解得，所以. 故答案为：720 3．（23-24高二下·山东青岛·期中） . 【答案】 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】利用排列数和组合数公式即可求解. 【详解】. 故答案为:. 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合性质即可求解. 【详解】根据题意， 则解之得， 又或者， 解之（舍）或. 故答案为： 5．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用、排列数的计算、组合数的计算 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 三、组合数的性质应用（共8小题） 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质来求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 3．（23-24高二下·四川眉山·期中）若，则的值为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】C 【知识点】组合数的性质及应用、二项式的系数和 【分析】由组合数的性质计算，结合二项式系数的性质求结论. 【详解】因为，又 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 【答案】C 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】由组合数的性质计算可得，结合计算即可得解. 【详解】由，故或，故， 则 . 故选：C. 5．（多选）（23-24高二下·江苏连云港·期中）若，则m的取值可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】AD 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】由组合数性质建方程求解可得. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：AD 6．（多选）（23-24高二下·山东济宁·期中）下列关于组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、二项式的系数和 【分析】根据组合数的计算公式和运算性质，以及二项展开式的二项式系数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据组合数的运算公式，可得，所以A正确； 对于B中，根据组合的性质，可得，所以B不正确； 对于C中，由二项式的展开式中， 令，可得，令，可得， 两式相减，可得，所以，所以C正确； 对于D中，由组合数的计算公式，可得 所以，所以D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 . 【答案】4或16/16或4 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质和化简即可求值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以或. 故答案为：4或16 8．（23-24高二下·浙江台州·期中）方程的解是 . 【答案】1或2 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】由组合数的性质求解即可. 【详解】由可得：或， 则：或， 解得：或或， 当时，显然不符合题意； 当时，则成立； 当时，则成立； 故或. 故答案为：或. 四、相邻与不相邻问题（共7小题） 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．1600种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 【答案】B 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法结合排列的知识求解即可. 【详解】由题可知第一个为重庆火锅，将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑在一起排列， 再和其他4个文化符号全排列，共有种. 故选：B. 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法， 故选：C 3．（22-23高二下·北京延庆·期中）某晚会要安排4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法（    ）？ A．720 B．576 C．480 D．144 【答案】C 【知识点】不相邻排列问题 【分析】先排唱歌节目，再利用插空法排舞蹈节目即可. 【详解】先排4个唱歌节目有种情况， 然后将5个空排2个舞蹈节目有种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有种情况. 故选：C. 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（    ） A．1152种 B．1040种 C．864种 D．288种 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】分类讨论当第一个演讲安排科学家、国际负责人时，结合插空法和分类、分布计数原理计算即可求解. 【详解】因为2名企业家不在第一个演讲，所以第一个演讲可安排科学家或国际负责人. 当第一个演讲安排科学家时，则有种方法， 剩下的1名科学家和2名企业家全排列，有4个空， 将3名国际负责人插入4个空中，共有种方法， 此时共有种方法； 当第一个演讲安排国际负责人时，则有种方法， 而2名科学家和2名企业家全排列，有5个空， 将2名国际负责人插入到除了第2个空外的4个空中，共有种方法， 此时共有种方法， 所以共有种方法. 故选：A 5．（多选）（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【知识点】排列组合综合、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 6．（多选）（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（    ） A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 【答案】BD 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，甲不排在最中间，则不同的排法有中，故A错误； 对于B，甲乙不相邻，则不同的排法有种，故B正确； 对于C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有种，故C错误； 对于D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有种，故D正确； 故选：BD 7．（多选）（23-24高二下·江苏南通·期中）某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（    ） A．专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法 B．专家和专家发言不相邻，共有种排法 C．三位专家的发言必须相邻，共有720种排法 D．专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法 【答案】BD 【知识点】相邻问题的排列问题、排列数的计算、排列组合综合、不相邻排列问题 【分析】根据插空法即可判断AB；根据捆绑法即可判断C；分成排在第一、排在除第一位和最后一位之外的某一位置两类情况分析即可判断D. 【详解】A：先排剩下的六人，有种，两人之间必须间隔一个人，有种，总共有种，故A错误； B：若不相邻，剩余6类排列方法为形成7个空， 则填入7个空的方法为，所以共有种排法，故B正确； C：先排列三位专家则有6种排列方法，三人形成整体与剩余5人再进行全排列， 则方法有种排列方法，所以共有种方法，故C错误； D：分成两类情况，一是排在第一，则此类情况下排法有种， 二是排在除第一位和最后一位之外的某一位置，有种方法， 则共有种排法，故D正确． 故选：BD． 五、特殊元素（位置）优先（共6小题） 1．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有 种．（用数字作答） 【答案】36 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据特殊元素优先分类讨论即可. 【详解】先排B，由题意可知B能排在第3或第4或第5位的位置， 若B在第3位，则A在第2位；若B在第4位，则A在第2或第3位； 若B在第5位，则A在第2、3、4位，合计6种情况. 再排C、D、E，排完A、B后剩余3个位置，即有种， 所以共有种排法. 故答案为：36 2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有 个．（用数字作答） 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答. 【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法： 最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个. 故答案为： 3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）现有4男3女站成一排：若7人中，甲必须站在排头，有多少种不同排法 ，若女生必须排在一起，有多少种不同的排法 .（结果用数字作答） 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】甲必须站在排头，其余6人随便排，结合排列数公式可求得排法种数；将名女生进行捆绑，形成一个整体，与其余名男生进行排序，即可求得排法种数. 【详解】甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的6人全排列，有种情况， 则甲必须站在排头有种排法； 根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况， 和4名男生全排列，有种情况，所以有种不同排法； 故答案为：；. 4．（23-24高二下·福建泉州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 .（用数字作答） 【答案】408 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先计算当“数”和“乐”两次不相邻的情况数，再计算其中“射”在第一次的情况数相减即可. 【详解】当“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序有种， 当讲座次序要求“射”在第一次，“数”和“乐”两次不相邻， 则“六艺”讲座不同的次序有种， 则六艺”讲座不同的次序共有480﹣72＝408种． 故答案为：408． 5．（22-23高二下·河南郑州·期中）安排名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，则不同排法的总数是 用数字作答 【答案】96 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先把有位置限制的元素排列，然后其他按照排列数即可； 【详解】先把有位置限制的歌手排列，然后其他4人按照排列数排列， 故答案为:96. 6．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）共6人进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，其中已知和都不是第1名，且名次好于，则这6人的名次排列情况种数为 . 【答案】300 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，按照的位置进行分类讨论，求出每种情况下名次排列情况，相加可得的答案. 【详解】根据题意，分5种情况讨论： ①是第二名，有1种可能，有4种可能， 此时有种名次排列情况； ②是第三名，若为第一名，有4种可能， 若不是第一名，有3种可能， 此时有种名次排列情况； ③是第四名，若为第一名，有4种可能， 若不是第一名，有2种可能，有3种可能， 此时有种名次排列情况； ④是第五名，若为第一名，有4种可能， 若不是第一名，有3种可能，有3种可能， 此时有种名次排列情况； ⑤是第六名，若为第一名，有4种可能， 若不是第一名，有4种可能，有3种可能， 此时有种名次排列情况. 则共有种名次排列情况. 故答案为:300. 六、间接法（共5小题） 1．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量. 【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种； 若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种； 所以不同的派法共有种. 故选： 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为（    ） A．90 B．120 C．180 D．210 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】从7个人中任取3个作排列，减去A部门的2人同时被取到的排列即可. 【详解】依题意，从7个人中任取3个作排列，共有种，其中包含A部门的2人同时被取到， 而A部门的2人同时被取到的排列数是， 所以不同的安排方法种数为. 故选：C 3．（22-23高二下·河南洛阳·期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（    ）. A．15 B．11 C．14 D．23 【答案】B 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案. 【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为， 三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员， 假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁， 当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁， 故其方法数为； 三个职位中有两位连任，其方法数为； 三个职位中三位都连任，其方法数为1. 故符合题意的方法数为. 故选：B. 4．（22-23高二下·浙江温州·期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种． 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算和相邻的排法，排除其中站在两端的排法，分析可得答案． 【详解】根据题意，由于和相邻，把和看成一个元素，与其他个人全排列，有种排法， 其中站在两端的排法有种， 则有种符合题意的排法． 故答案为：． 5．（22-23高二下·江苏常州·期中）如图所示，某人从A按最短路径走到B，其中PQ段道路施工，不能通行，问共有 种不同的行走路线.    【答案】52 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】按照间接法，结合组合数公式，列式求解. 【详解】从A按最短路径走到B，共有种方法， 其中从按最短路径走到P，有种方法，从Q按最短路径走到B， 有种方法，所以走段，从A按最短路径走到B，有种方法， 所以不走，共有种不同的走法. 故答案为：52 七、分配问题（共8小题） 1．（23-24高三下·重庆·期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（    ） A．6 B．12 C．10 D．14 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】先分两类，甲单独安装和甲与另外一个志愿者共同安装，再分别求解可得答案. 【详解】甲单独安装吉祥物“宸宸”，则剩下的3人安装另外两个吉祥物，有种方法； 甲与另外一个志愿者共同安装吉祥物“宸宸”， 则剩下的2人安装另外两个吉祥物， 有种方法；共有10种方法. 故选：C 2．（23-24高二下·重庆渝北·期中）将4个不同的小球放入编号为的三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球，若盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（    ） A．18 B．24 C．48 D．72 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】此题利用分步计数原理，按照优先特殊的盒，分三步就可以解决此问题. 【详解】第一步：给盒子中只放一个小球有4种放法； 第二步：给剩下的3个球分成两组有种方法； 第三步：给分成两组的球排列到两个盒子中有种方法； 所以利用分步计数原理可知，满足题意的不同的放法数为：， 故选： 3．（23-24高二下·山西大同·期中）为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法种数有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】先将四人分三组，然后再分配给三个学校即可即可. 【详解】将甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人， 将四人分成3组：其中一组1人，一组1人，一组2人，有种， 再将这三组分配给三个不同的学校有，所以共有种情况. 故选：C 4．（23-24高二下·广东茂名·期中）将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（    ）种． A．60 B．120 C．240 D．480 【答案】C 【知识点】分组分配问题、全排列问题 【分析】5名大学生分成满足题意的4组，只有一所学校有2人，其余学校都是1人，先选2人做为一组，然后全排即可. 【详解】5名大学生分成满足题意的4组，只有分组形式，即只有一所学校有2人，其余都是1人， 则选2人组成一组剩余3人各自成组，然后将四组分到四所学校， 因此，共有（种）. 故选：C. 5．（23-24高二下·浙江·期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为 ． 【答案】100 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】先分组后排列，分组时有均分组则需要消序，排列时有特殊元素则需要优先排. 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1， 此时分组方法有：； 然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，由于甲不能参加课程， 此时分配方法有：； 由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为， 故答案为：. 6．（23-24高二下·安徽亳州·期中）有五位志愿者，参加三项志愿活动，每人至少参加一项，每项活动至少一人的参加方式为 ． 【答案】 【知识点】分组分配问题 【分析】分与两类讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得（部分平均分组需除以组数（相等的组）的全排列）. 【详解】依题意分两类情况，第一类为，则有种方式， 第二类为，则有种方式， 所以共有种方式． 故答案为： 7．（23-24高二下·湖北鄂州·期中）五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是 ． 【答案】90 【知识点】分组分配问题 【分析】将五名学生分为1人、2人、2人三组， 再将三组人分配到三种语言可得答案. 【详解】由题意知，将五名学生分为1人、2人、2人三组， 所以共有种方法， 再将三组人分配到三种语言，有种方法， 所以不同的选法有种. 故答案为：90. 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)68； (2)2520. 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可. 【详解】（1）由题意，分成3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法， 有2名女性，2名男性，共有种选法， 有3名女性，1名男性，共有种选法， 所以共有16+36+16=68种选法， 即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法； （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式. 八、涂色问题（共6小题） 1．（23-24高二下·河北石家庄·期中）在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（    ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】①分析可得在方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线，在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一个矩形，由分步计数原理计算可得答案；②分两类，选其中一组对角分同色和异色先涂，再涂余下的两个小正方形，按分步乘法计数原理求出每一类的方法种数，再按加法计数原理相加即可；③先求出蚂蚁由到的最短路径方法，再求出由到的最短路径方法，按分步乘法计数原理得到蚁可以选择的最短路径条数. 【详解】①根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线， 在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条， 就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误； ②当其中一组对角区域同色时，有种， 当其中一组对角区域异色时，有种， 由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确； ③蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边， 向上走2条边，向右走2条边，所以有条， 然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边， 向上走3条边，向右走6条边，所以有条， 由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、不相邻排列问题 【分析】按所用颜色数分类求解. 【详解】由题意，当用4种颜色时，有种方法； 当用3种颜色时，则同色或同色，有种方法； 当用2种颜色时，则同色且同色，有种方法； 故共有种方法. 故选：B. 3．（23-24高二下·天津南开·期中）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先分配、再分配、最后分配和，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先在7种颜色花朵中选1种给教师，有7种选法； 然后在剩下的6种颜色花朵中选1种给教师，有6种选法； 最后在剩下的5种颜色花朵中选2朵（可以相同）给教师和，有种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种分配花朵的方式． 故答案为：． 4．（23-24高二下·天津·期中）如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法．（用数字作答）    【答案】48 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】按照分步计数原理，即可求解. 【详解】按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有种涂色方法. 故答案为：48 5．（23-24高二下·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是 . 【答案】240 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，写出每个区域可选的方法数，利用分步乘法原理，可得答案. 【详解】由题意，区域A可选的方法数为5，区域B可选的方法数为4，区域C可选的方法数为3， 区域D可选的方法数为4，可得总的方法数为. 故答案为：. 6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 【答案】(1)96 (2)48 (3)180 【知识点】分组分配问题、涂色问题、数字排列问题 【分析】（1）先将排好，再排其他数字即可； （2）先涂第一个格子，再涂第二个格子，依次进行，求出每步的方法种数，即可得解； （3）法一：从5家企业中选一家，再从3位校长中选2位，再从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，进而可得出答案. 法二：先将五家企业分为3份，再将这3份分给3位校长即可. 【详解】（1）分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况， 第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况， 则五个格子共有种不同的涂法； （3）法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈， 第1步：从5家企业中选一家， 第2步：从3位校长中选2位， 第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长， 第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业， 因此有种． 法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份， 如，，， 含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得， 前面分三份会出现，因此有， 然后再分给3位校长， 因此总排法有种． 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 九、二项展开式及其逆应用（共5小题） 1．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 2．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式展开式逆用求解即可. 【详解】因为, 所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·安徽宿州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项展开式的应用 【分析】借助二项式定理可得，即可得解. 【详解】. 故选：B. 4．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）设，化简（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理化简即可． 【详解】， 故选：C． 5．（22-23高二下·安徽·期中） ． 【答案】255 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理化简求值即可. 【详解】设，则 所以， 所以S＝． 故答案为：. 十、二项展开式的第项（共5小题） 1．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案. 【详解】因为，的二项展开式的通项为，， 所以，第3项为. 故选：A. 3．（24-25高三上·云南保山·期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 . 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、整除和余数问题 【分析】利用二项展开式将题给条件化简为，进而求得；利用二项展开式通项公式即可求得该展开式中的常数项. 【详解】由于， 所以， 所以其被9除所得的余数为8，即； 的展开式通项为 ， 则展开式常数项为. 故答案为：8； 4．（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项. 【详解】在的二项展开式中，第四项是 故答案为： 5．（23-24高三上·北京·期中）在的二项展开式中，第四项为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理写出展开式通项公式，进而求第四项. 【详解】由题设， 当时，第四项为. 故答案为： 十一、二项式系数（和）（共10小题） 1．（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】D 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】写出展开式的通项，即可得到第项的二项式系数为. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以二项式的展开式中第项的二项式系数为． 故选：D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式展开式通项判断即可. 【详解】二项式展开式第项的二项式系数为. 故选：C. 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，即可求出结果. 【详解】因为第8项的二项式系数为，由组合数的对称性知， 所以第项的二项式系数与第8项的二项式系数相等， 故选：B. 4．（23-24高二下·天津红桥·期中）已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据各项二项式系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. 【详解】由题意得，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以， 故选：B 5．（23-24高二下·福建泉州·期中）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】根据题意可得，解得， 则展开式的通项为，令，得， 所以常数项为：， 故选：B． 6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若的展开式中二项式系数和为64，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和求解即可. 【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为， 所以. 故选：D. 7．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求解即得. 【详解】由的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项， 所以. 故选：D 8．（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 . 【答案】1 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由，， 当，含的项为，其二项式系数为. 故答案为：1 9．（23-24高二下·天津·期中）的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）． 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，即可求出结果. 【详解】因为，所以的展开式中所有二项式系数的最大项为第项， 所以的展开式中所有二项式系数的最大值是， 故答案为：. 10．（22-23高二下·浙江·期中）已知展开式的前三项的二项式系数之和为29. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2)最大的项为， 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的二项式系数 【分析】（1）根据二项式系数列方程，解方程得到； （2）根据二项式系数的性质得到第4项与第5项为二项式系数最大的项，然后根据通项计算即可. 【详解】（1）由题意知，得， 又，所以. （2）展开式的通项公式为， 所以二项式系数最大的值是，对应项是第4项与第5项， 所以展开式中二项式系数最大的项为，. 十二、系数和，系数最值（共10小题） 1．（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大值为35 【答案】ACD 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】由，则，可判断A；令， ，求出，可判断B；令，结合令的结果，可判断C；由分别是二项式系数，即可判断D. 【详解】由， 则结合已知，，故A正确； 令，则， 令，则，① 则，故B错误； 令，则，② 则由①②得，故C正确； 因为分别是二项式系数， 则最大值为，即，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．展开式中最大的系数为 【答案】BCD 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、奇次项与偶次项的系数和 【分析】A：利用二项式定理求出即可判断；BC：分别令联立化简即可判断；D：求出展开式的通项公式，得出都为负数，都为正数，再分别求出，比较即可判断求解. 【详解】对于A：展开式中含项的系数为，故A错误； 对于B：令，则 令， 所以，故B正确； 对于C：令，则，所以，故C正确； 对于D：展开式的通项公式为 则都为负数，都为正数， 且 ，所以展开式中最大的系数是，故D正确 故选：BCD 3．（多选）（23-24高二下·重庆渝北·期中）在的展开式中，含项的系数为，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式的各项系数和为0 C．展开式中系数最大项是第6项 D．展开式中系数最大项是第7项 【答案】ABD 【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数 【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入求出项的系数，即可求出，从而判断A，令求出各项系数和，即可判断B，根据二项式系数的特征及系数的特征判断C、D. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以，解得，故A正确； 对，令，可得展开式的各项系数和为，故B正确； 二项式展开式的通项为（且）， 展开式中中间两项第项和第项的二项式系数相等且最大， 而第项系数为负，第项系数为正，因此第项系数最小，第项系数最大，故C错误，D正确． 故选：ABD 4．（23-24高二下·浙江台州·期中）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 【答案】(1) (2)； (3)第6项和第7项 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果； （2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. （2）， 当为整数时为有理项， 即， 则的取值集合为； （3）设第项的系数最大， 则， 所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 5．（22-23高二下·重庆江北·期中）已知二项式的展开式中的系数为，常数项为，且. (1)求的值； (2)求展开式中系数最小的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数 【分析】（1）首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，代入求解即可； （2）结合（1）中的值，先由不等式组解出展开式中系数绝对值最大的项，再结合通项判断系数的正负，即可求解. 【详解】（1）展开式的通项为 其中， 令得展开式中的系数为：， 令得展开式中的常数项为：， 又，，解得或或， 又，故. （2）由（1）知，故原二项式为， 展开式的通项为其中， 则展开式中第项、第项、第项的系数绝对值分别为、、， 若第项的系数绝对值最大，则有，解得， 又，，且展开式中系数的绝对值最大的项是第项， ，其系数为负数，此时该项的系数最小， 故展开式中系数最小的项为. 6．（23-24高二下·上海·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1)19683 (2)118098 (3) 【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解； （2）求导得，令即可求解； （3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，令，可得， . （2）令， 从而， 同样在上式中令，可得. （3）的展开式通项为， 从而的展开式中系数绝对值通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则有，即， 也就是，解得，经检验符合题意， 所以此时，对应的项为. 7．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式，________． (1)求展开式中的二项式系数最大的项； (2)求展开式中的系数最大的项． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】（1）当选填条件①时，由题意列式求得，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为16，求得.把代入，由，可知第三、四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案； （2）由二项展开式的通项，得展开式系数，由，求得展开式系数最大的项. 【详解】（1）选①：令得所有项的系数和为，又二项式系数和为，所以， 解得：. 选②：由题意：，化简得：，所以，   所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项， 因为， 即：， . （2）展开式第项为， 由得且， 所以，所以系数最大的项为. 8．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求. 【答案】(1)216 (2) 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）由题知，先求出展开式中含，，的项，然后可得； （2）分别令，，两式相加可得结果. 【详解】（1）， ∵展开式中第项， ∴展开式中，，项分别为，， 故中含的项为 ， ∴中含项的系数为216， （2）， 令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 所以 9．（23-24高二下·河南商丘·期中）设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)511. 【知识点】组合数的性质及应用、求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）利用组合数的性质求出，取求出. （2）利用赋值法，结合1的结论求出的值. 【详解】（1）由，得，取，得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，， 当时，， 因此， 所以. 10．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m． (1)求实数m的值； (2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式） ①； ②． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、由项的系数确定参数、求指定项的二项式系数 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定二项式系数的最大值，列出方程，计算即得； （2）①通过对分别赋值，进行等式间的运算即可求得所求式的值；②，结合所求式，需要对二项式左右分别求导再赋值即得. 【详解】（1）因展开式中共有12项，所以最中间两项的二项式系数最大，即和， 由解得； （2）①由（1）可得， 令得① 令得② ①+②得：， 即得，令得， 故； ②由， 两边求导得， 令可得，． 十三、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共8小题） 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】依题意展开式的项看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘，分三种情况讨论，根据组合数公式计算可得. 【详解】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘； 要得到： ①可以取个，个，个，则为； ②可以取个，个，个，则为； ③可以取个，个，个，则为； 综上可得的系数为. 故选：D 2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解. 【详解】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 3．（23-24高二下·安徽·期中）二项式的展开式中的系数为（    ） A． B．40 C． D．60 【答案】B 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 根据题意，. 故选：B. 4．（多选）（23-24高二下·湖北·期中）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 【答案】AD 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】由二项展开式的通项公式，令即可判断A；因为，故所有项中没有无理数，即可判断B；令或或，即可判断C；令或即可判断D． 【详解】由题意可知， 多项式展开式的通项为 ， 即， 对于A，令，则，即为各项系数之和，故A正确； 对于B，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B错误； 对于C，常数项中的次数为0，则或或，则 ，故C错误； 对于D，的系数即的系数之和，表示为，故D正确. 故选：AD． 5．（多选）（23-24高二下·安徽六安·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、三项展开式的系数问题 【分析】利用赋值法即可求解ACD，根据4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数判断B. 【详解】令，则;令，则， 所以，故C错误; 令，则，又， 以上两式相加可得，所以， 所以，故正确; 因为是的展开式的系数和， 所以令，则， 所以，故D正确; 因为表示5个的乘积， 所以选4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数为， 则，故B错误. 故选：AD 6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）展开式中，x的一次项的系数为 ． 【答案】4 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】利用二项式定理得到的展开通项公式，再分别求含项与常数项的系数即可得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 所以的一次项的系数为. 故答案为：. 7．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含项为， 所以的展开式中项的系数为. 故答案为： 8．（23-24高二下·江苏徐州·期中）的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【答案】B 【知识点】三项展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，得这些项的系数之和为. 故选：B 十四、条件概率（共8小题） 1．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数均为偶数”，“两次的点数之和为6”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式，结合列举法，即可求解. 【详解】事件包含的样本点有，共5个样本点， 其中“两次的点数均为偶数”的有，共2个样本点， 所以. 故选：D 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 4．（23-24高二下·湖南·期中）已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（   ） A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】因为,, 所以, 所以. 故选：C. 5．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、概率的基本性质 【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为 ． 【答案】（答案不唯一，在内均可） 【知识点】事件的运算及其含义、计算条件概率 【分析】根据随机事件定义以及事件的基本关系，利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，； 当A，B互斥时，，当事件B包含事件A时，； 所以可得， 即， 因此的一个可能的值为. 故答案为：（答案不唯一，在内均可） 8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为 . 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率的概率公式即可代入求解. 【详解】因为，而，所以. 故答案为： 十五、全概率公式（共10小题） 1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（    ） A．摸到黑球 B．摸到红球 C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】对于AB，由全概率公式即可直接计算选项A中摸到黑球的概率和选项B中摸到红球的概率，进而即可判断AB；对于CD，由条件概率定义即可直接得选项C和D相应的概率，进而即可判断CD. 【详解】对于A，由全概率公式得摸到黑球的概率为，故A错误； 对于B，由全概率公式得摸到红球的概率为，故B正确； 对于C，在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故C错误； 对于D，在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故D错误. 故选：B. 3．（22-23高二下·北京延庆·期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式计算即可． 【详解】设“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是甲班同学”为事件，则“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是乙班同学”为事件，“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是女生”为事件， 由题意得，，，， 所以， 故选：C． 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（    ） A．0.62 B．0.84 C．0.92 D．0.98 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算即可． 【详解】设“此人能准时到达”为事件，“当天是晴天乘飞机”为事件，则“当天是雨天乘高铁”为事件， 由题可知，，， 所以， 故选：C． 5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ． 故选：B. 6．（23-24高二下·天津·期中）为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由题意转化为全概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选到一位男同学，事件为选到一位女同学， 事件位擅长中华诗词朗诵， 则，，，, 所以， . 故选：B 7．（23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】 (1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3） 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 8．（22-23高二下·福建漳州·期中）流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为. (1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； (2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用独立事件与对立事件的概率公式即可得解； （2）利用全概率公式求即可得解. 【详解】（1）从该地区小学生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为， 从该地区初中生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为， 所以这2人中至多有一人感染甲型流感的概率为. （2）设“抽到小学生”，“抽到初中生”，“抽到高中生”，“该生感染甲型流感”， 则， ， 所以 . 所以该生感染甲型流感的概率为. 9．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，故 （2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 （3）在（2）的条件下. 10．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可； （2）设出事件A，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以， 故所求概率. 十六、二项分布和超几何分布（共10小题） 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可. （2）根据题意先求出的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解. 【详解】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件，“甲进入达人秀决赛”为事件， 则， 因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响， 所以事件和事件相互独立， 所以甲两个比赛都进入决赛的概率为. 故甲两个比赛都进入决赛的概率为. （2）的可能取值为，所以 ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 所以. 2．（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】利用全概率公式求概率、利用二项分布求分布列、计算条件概率 【分析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式计算可得； （2）由（1）可得，根据二项分布的概率公式求出相应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件， 由测试结果知，，，， 所以． 记“测试的个问题都回答正确”为事件，“测试的个问题中恰有个存在语法错误”为事件， 则， ， 所以． （2）由（1）可得，则的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 3．（23-24高二下·青海海东·期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 【答案】(1)； (2)答案见解析 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率、组合数方程和不等式 【分析】（1）先根据古典概率概率公式结合组合数的运算求得，然后再利用古典概型求得所求事件的概率即可； （2）先求出随机变量的可能取值，然后计算对应的概率值，写出分布列即可. 【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有， 故全是大集团的概率是， 整理得到，解得， 若2个全是大集团，共有（种）情况， 若2个全是小集团，共有（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为； （2）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4．（23-24高二下·北京延庆·期中）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率； (2)如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率； (3)如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式即可分类求解，或者利用对立事件的概率公式求解， （2）利用二项分布的概率公式，结合分类即可求解. （3）利用二项分布的概率公式，解不等式即可求解. 【详解】（1）记“甲投篮1次，且命中”为事件A    记“乙投篮1次，且命中”为事件B 记“甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中” 为事件C    由已知， 由已知，   法一：,, 则甲、乙两人各投篮次，两人中至少有人投篮命中概率为 法二：所以          答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率 （2）记“甲投篮4次，且至多有2次投篮命中”为事件D 因为甲每次投篮命中的概率为， 记投篮命中次数为,则的取值范围是   ，                                   所以                       答：甲投篮4次，且至多有2次投篮命中的概率为 （3）根据题意，乙投篮10次，命中的次数为Y，则Y～B（10，）， 故， 若，解得由于为整数，故 故乙投篮命中个球的概率最大. 5．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： (1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； (2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 【答案】(1) (2)元 【知识点】超几何分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由古典概型的概率公式结合组合数公式可得答案； （2）由超几何分布的概率公式求出X为0，495，990，1485，b的概率，再利用期望公式结合求答案即可. 【详解】（1）设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A， 则 ； （2）由题意可知X的可能取值为0，495，990，1485，b． 则，，，，， 其分布列为： X 0 495 990 1485 b P 所以， 解得， 所以特等奖的奖金为元． 6．（23-24高二下·浙江·期中）李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． (1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【知识点】均值的实际应用、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据独立重复事件概率公式，即可求解； （2）首先确定，再根据独立事件概率公式，求分布列以及数学期望； （3）如走线路，则遇到红灯的次数，比例两条线路遇到红灯次数的期望，即可分析并判断. 【详解】（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为． （2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2． ，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 所以． （3）设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以． 若，则，，选择路线上班更好； 若，则，，此时选择路线上班更好； 若，则，此时选择路线和路线一样． 7．（23-24高二下·北京·期中）动车和BRT（快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示： 满意程度 30岁以下（不含30岁） 30~50岁（含30岁，不含50岁） 50岁及50以上 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 满意 50 5 100 10 100 20 一般 20 15 40 20 20 25 不满意 5 0 20 10 20 20 (1)若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率； (2)记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差； (3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取3人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1)0.81 (2)平均分7.5，方差为12.5 (3)分布列见解析， 【知识点】二项分布的均值、利用二项分布求分布列、用频率估计概率、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）根据题意用频率估计概率，分析求解即可； （2）根据题意结合平均数、方差公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布的概率公式以及期望公式运算求解. 【详解】（1）依题意， 抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率. （2）依题意，样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分为， 方差为. （3）由题可知，1名乘客年在30~50岁的概率为. 依题意，，X的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 8．（23-24高二下·北京顺义·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者． (1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和． (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论） 【答案】(1)， ． (2)分布列见解析， (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）依题意，根据二项分布概率公式及期望公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）分别求出与，然后即可比较大小． 【详解】（1）依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件， 则，又． （2）由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，其他为未收看者人， 所以的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 故； （3）依题意可得，， 所以． 9．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【知识点】求超几何分布的概率、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果； （2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可. 【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)，， 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的方差、二项分布的均值、超几何分布的均值 【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望. （2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得. 【详解】（1），，，， 故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线， 则的所有可能取值为、、， ， ， ， 则其分布列为： 则； （2）由题意可得， 则 ， ，. 十七、正态分布（共9小题） 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（   ）（参考数据：①；②；③ A．这次考试成绩超过100分的约有1000人 B．这次考试分数低于70分的约有40人 C． D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题、指定区间的概率 【分析】由正态分布的性质即可得到A、B、C选项，用二项分布能够解决D. 【详解】由公式得到，所以超过100分的占，所以有人，所以A错； 低于分的概率为，所以大约有人，故B错； ，故C错； 分数超过100分的概率为，至少有2人的分数超过100分的概率为，符合题意，故D对. 故选：D. 2．（23-24高二下·辽宁·期中）已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．50 B．55 C．59 D．64 【答案】C 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、由函数对称性求函数值或参数、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】依题意可得，即可得到，再根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 4．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知随机变量，则 .注：若，则,. 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布性质求解概率即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为： 5．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知随机变量，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【知识点】基本不等式求和的最小值、正态曲线的性质、基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】先根据正态分布的性质得出，再结合常值代换应用不等式求出最值即可. 【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，所以． 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为8． 故答案为：8. 6．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数． (1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） (3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 【答案】(1)平均成绩，标准差为 (2)17 (3)分布列见解析；期望为 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布可得； （2）应用正态分布的概率性质计算求解； （3）先求出概率再写出分布列最后求出数学期望. 【详解】（1）由题意得：平均成绩， 标准差为 （2）因为，， 所以 所以超过141的人数为：人 （3）设事件A，表示“小明选择了i个选项”（，2，3），事件B表示“选择的选项是正确的”． 由题知，可取6，4，2，0． 因为，， ， 所以随机变量的分布列为： 6 4 2 0 P 于是， 7．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1) (2)（i）22.75万；；（ii）分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、特殊区间的概率 【分析】（1）先求出旅游支出不低于10000元的有33人，再结合组合数利用古典概型概率公式求解即可； （2）（i）根据题目数据求得，根据正态分布的特殊区间求得概率，即可求解； （ii）根据题意求出的所有可能取值，结合二项分布概率公式求得分布列和数学期望. 【详解】（1）样本中总共100人，其中旅游支出不低于10000元的有33人， 所以两人旅游支出均不低于10000元的概率为； （2）（i）， 所以服从正态分布， ， 万， 估计郑州市有22.75万市民2023年旅游费用支出在15000元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为. ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 8．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．） (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望． 【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元 (2)14 (3)分布列见解析，1 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率 【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案； （2）由（1）知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数； （3）求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，， 的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06， ∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为： （百元）． ∵，， ∴中位数在内，设中位数为x百元， 则，解得． ∴估计中位数为13百元． （2）由（1）知， ∵，， ∴， ∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为． （3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个）， ∴Y的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，． ∴Y的概率分布列为 Y 0 1 2 3 P ∴． 9．（23-24高二下·山东青岛·期中）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布．求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励60元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 资金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则 【答案】(1)①；② (2)从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利 【知识点】频率分布直方图的实际应用、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率 【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案． ②根据①计算出的概率乘以2000可得答案； （2）设小张每日可获得的奖金为元，求出的可能取值及对应的概率可得，设小张每日可获得的奖金为元，求出的所有可能取值及对应的概率可得，比较大小可得答案. 【详解】（1）由题意，其中， 所以 ． ②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数为： （天）； （2）易知， 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则X的可能取值为，，，其对应的概率分别为，，， 故， 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，，，， 故，， ，， 所以， 因为， 所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． $$