专题06 第六章 两个计数原理及排列组合（3考点清单，知识导图+10个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单06 第六章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【变式1-1】.（24-25高三上·上海宝山·期中）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，…，若，则 ． 【变式1-2】.（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 【变式1-3】.（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【变式1-4】（22-23高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 【考点题型二】排列数计算（） 【例2】（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 【变式2-1】.（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【变式2-3】.（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【变式2-4】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：； （2）解不等式：. 【考点题型三】捆绑法和插空法（） 【例3】（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【变式3-1】.（24-25高二下·天津·阶段练习）五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种. 【变式3-2】.（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为 . 【变式3-3】.（24-25高二下·山东·阶段练习）《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答） 【变式3-4】.（24-25高二下·河南·阶段练习）高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（    ）种 A． B． C． D． 【考点题型四】特殊元素（位置）法（） 【例4】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 . 【变式4-1】.（2025高三·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【变式4-2】.（24-25高三上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．12种 B．6种 C．24种 D．60种 【变式4-3】.（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【变式4-4】.（2025·江苏泰州·模拟预测）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为 . 【考点题型五】间接法（） 【例5】（多选）（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（24-25高二下·山东·阶段练习）某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-2】.（24-25高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 【变式5-3】.（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答） 【变式5-4】.（2025高三下·全国·专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．若其中某一种假货不能在内，则不同的取法有多少种？ 【考点题型六】部分定序问题（） 【例6】（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【变式6-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法． 【变式6-2】.（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 【变式6-3】.（23-24高二下·天津·期中）由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答） 【考点题型七】组合数的计算及性质的应用（） 【例7】（24-25高二上·江西上饶·期末）（1）解方程：     （2）计算． 【变式7-1】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（24-25高二上·江苏常州·期末）（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【变式7-3】.（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组）（） 【例8】（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【变式8-1】.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．56种 D．72种 【变式8-2】.（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【变式8-3】.（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有 种． 【变式8-4】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为 . 【考点题型九】隔板法（） 【例9】（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（   ） A．220种 B．55种 C．210种 D．110种 【变式9-1】.（2023·辽宁·模拟预测）方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的非负整数解有 组. 【变式9-3】.（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是 （用数字作答） 【变式9-4】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现将11个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个不同的盒子中． (1)若要求每个盒子至少得到一个小球，问共有多少种分配方案？ (2)若放完后，允许有盒子中没有小球，问共有多少种分配方案？ 【考点题型十】涂色问题（） 【例10】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．180种 C．192种 D．168种 【变式10-1】.（2025·云南·一模）如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 【变式10-2】.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 【变式10-3】.（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（    ） A．15 B．18 C．30 D．36 2．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A．52 B．58 C．56 D．50 3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（   ） A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 5．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）某班级要从5名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少1名女生，那么不同的选派方案有（    ） A．14种 B．20种 C．30种 D．35种 6．（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有1个小球与所在盒子编号相同，则有（    ）种不同的放球方法. A．20 B．15 C．12 D．8 7．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 8．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（    ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 二、多选题 9．（24-25高二·全国·课堂例题）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（   ） A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 10．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种 12．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 四、解答题 13．（24-25高二下·天津·阶段练习）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 14．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 15．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）（1）求值: （2）求不等式：的解集． 16．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目． (1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种? (2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式? 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第六章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【答案】D 【知识点】实际问题中的组合计数问题、实际问题中的计数问题 【分析】根据题意，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同，第二种情况所选取的3个项目完全相同，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，可以分两种情况， 第一种情况所选取3个项目恰有2个相同， 第一步，在8个项目中选取2项，共有种， 第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种， 第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种， 由分步乘法计算原理可知，共有种； 第二种情况所选取的3个项目完全相同， 则有种； 由分类加法计数原理可知，总情况一共有种. 故选：D 【变式1-1】.（24-25高三上·上海宝山·期中）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，…，若，则 ． 【答案】 【知识点】数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算个数，再结合列举法，即可作出判断. 【详解】由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，即0，2，4， 两位自然数有6 个，即20，22，24，40，42，44， 三位自然数有18个，即200，202，204，220，222，224，240，242，244，400，402，404，420，422，424，440，442，444， 计数原理为分步乘法计数原理，首位有2个数字可选，十位有3个数字可选，个位有3个数字可选，共计有个， 所以四位自然数利用分步乘法计数原理有个， 而四位自然数为2000，2002，2004，2020，2022，2024，则2024为四位自然数中的第6个，所以． 故答案为：． 【变式1-2】.（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 【答案】180 【知识点】数字排列问题、排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个， 接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排， 此时共有个四位数； 第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个， 再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数. 根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是. 故答案为：180. 【变式1-3】.（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【答案】(1)70种 (2)150种 【知识点】组合数的计算、分组分配问题、实际问题中的计数问题 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【详解】（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． （2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 【变式1-4】（22-23高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 【答案】(1)个 (2)个 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题 【分析】（1）根据末尾是否为0进行分类，利用分类计数原理即得； （2）法一、就末尾数字是否为0进行分类计数；法二、就不同数位进行取数，分步计数. 【详解】（1）由题意，五位偶数可以分成两类： ①末位是0，只需将其余4个数字在另外四个数位全排，有个， ②末位是2或4，先从2与4中选一个放在末位，再从除0和它之外的3个数字中选1个放在首位， 剩下3个数字全排，有个， 由分类加法计数原理可得， 满足条件的五位偶数共有个. （2）法一、分类完成：① 0是末位数，将1和3在千位和十位全排，剩下的两个在剩余数位上去安排，有个； ② 2或4是末位数时，末位和首位有两种选法且百位必须是0，剩余的1和3在十位和千位全排，有个. 由分类加法计数原理，这样的偶数共有：个. 法二、分步完成：第一步：千位数字和十位数字位从奇数1，3中取，有种方法；            第二步：首位从2，4中取，有种方法； 第三步：余下的排在剩下的两个数位，有种方法， 由分步乘法计数原理，这样的偶数共有：个. 【考点题型二】排列数计算（） 【例2】（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】（1）利用排列数和组合数公式计算； （2）利用排列数和组合数公式化简，得到关于的一元二次方程，结合可求； （3）根据且以及得出的值，再计算即可. 【详解】（1） （2）依题意，，则， 整理得：，而，所以. （3）由题意知，需满足且 即满足不等式组，即，解得 所以原式. 【变式2-1】.（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数和排列数公式分别计算可判定ABC，利用组合数的性质，组合数与排列数的关系可判定D. 【详解】故A正确； ,故B错误； ,故C正确； ,故D正确. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】由排列数与组合数的计算公式，可得答案. 【详解】（1）由，则， 整理可得，解得. （2）由，则，整理可得， 分解因式得，解得， 所以. 【变式2-3】.（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【答案】(1)5040 (2)5 (3)6 【知识点】排列数的计算 【分析】（1）（2）（3）根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】（1） （2） （3）若，则 所以 解得或（舍），所以 【变式2-4】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 【考点题型三】捆绑法和插空法（） 【例3】（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由捆绑法结合插空法求解； 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为． 故选：C 【变式3-1】.（24-25高二下·天津·阶段练习）五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种. 【答案】24 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁. 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种， 再与丙和丁外的1人排列有种， 再排丙和丁有种， 故共有种排法. 故答案为：24. 【变式3-2】.（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为 . 【答案】1728 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】甲队利用捆绑法和除序法计算，乙队利用插空法计算，最后利用分步乘法原理计算即可. 【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种排法，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共有种排法; 乙队，利用插空法得种，按照分步乘法计数原理可知，一共有种排法. 故答案为：1728. 【变式3-3】.（24-25高二下·山东·阶段练习）《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答） 【答案】84 【知识点】不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据已知条件，分两种情况进行排列组合即可. 【详解】由题知共分两种情况： 第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出， 共有种法阵组合； 第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个， 先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有种方法， 再将风、火灵珠进行插空，共有种方法， 则共有种法阵组合， 所以共有种法阵组合. 故答案为：84 【变式3-4】.（24-25高二下·河南·阶段练习）高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分成数学和物理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列和组合分类求解即可. 【详解】若数学和物理都排在上午，则有种； 若数学和物理都排在下午，则有种； 若数学排在上午，物理排在下午，则有种； 若数学排在下午，物理排在上午，则有种. 综上，不同的排法共有种. 故选：C 【考点题型四】特殊元素（位置）法（） 【例4】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 . 【答案】8 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理、相邻问题的排列问题 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲、乙相邻，先排丙，再排甲乙和丁即可. 【详解】当丙是第2名时，甲、乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共有2种情况， 当丙为第3名时，甲、乙是第1，2名时，丁为第4名，此时共有2种情况， 当丙是第4名时，甲、乙有可能是第1，2名或2，3名， 若甲、乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共有2种情况， 若甲、乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共有2种情况， 综上所述：4人的名次排列情况种数为种情况. 故答案为：8 【变式4-1】.（2025高三·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 【变式4-2】.（24-25高三上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．12种 B．6种 C．24种 D．60种 【答案】A 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排甲，确定乙的排法种数，剩下的3人全排列可得结果. 【详解】∵甲在中间，乙不在两端， ∴先排甲，则乙有2种排法，剩下的3人任意排列，故有种. 故选：A. 【变式4-3】.（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可. 【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班， 所以必有一人值班3天，另两人各值班2天. 第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法； 第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法； 第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法. 故选：A 【变式4-4】.（2025·江苏泰州·模拟预测）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为 . 【答案】480 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①，将2、4、5、6四个数全排列，有 种排法， ②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有 种情况， 则有个符合题意的六位数. 故答案为：. 【考点题型五】间接法（） 【例5】（多选）（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】直接法进行求解，先考虑末位数字，再考虑其他位置，得到答案； 间接法进行求解，先求出无重复数字的四位数，再求出无重复数字的四位奇数的个数，相减得到答案. 【详解】直接法：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，共有种排法； 间接法：数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，有种排法， 其中组成无重复数字的四位奇数的个数为， 理由如下：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，故有种排法； 所以偶数的个数为. 故选：CD． 【变式5-1】.（24-25高二下·山东·阶段练习）某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先指定购买的种饮料，然后要求位同学只能购买这种饮料，利用间接法结合分步计数原理可得结果. 【详解】先指定购买的种饮料，共种，要求这位同学只能购买这种饮料， 利用间接法，每位同学共有种选择，共种购买方法， 除去位同学所买的饮料都是同一种，共种情况， 由分步乘法计数原理可知，恰好购买了种饮料的购买方法种数为种. 故选：A. 【变式5-2】.（24-25高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 【答案】136080 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】法一，通过位置分析，先排第二个节目，法二，元素分析，考虑，选女演员独唱结合，和不选两种情况；法三：间接法，总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目的情况即可； 【详解】方法一（位置分析法）：先排第二个节目，再排其他五个节目，则共有（种）． 方法二（元素分析法）：若选女演员的独唱节目，则有种排法；若不选女演员的独唱节目，则有种排法，则共有种排法． 方法三（间接法）：总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目，则共有（种）． 故答案为：136080 【变式5-3】.（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答） 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】先求出从门课程中至多选门至少选门课程的所有选法，再求出所选课程都是科技类课程的选法，前者减去后者可得结论. 【详解】学生从这门课中最多选修门且至少选修门课程的选法有， 学生从这门课中最多选修门至少选门，且所选课程都为科技类课程的选法选法有， 所以满足条件的选法有（种）. 故答案为：. 【变式5-4】.（2025高三下·全国·专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．若其中某一种假货不能在内，则不同的取法有多少种？ 【答案】5984种． 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】直接法也即从34种选出3件，间接法，从35种选3件，减去含这种假货的情况即可； 【详解】解：从34种可选商品中，选取3种，有种或者（种）取法． ∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种． 【考点题型六】部分定序问题（） 【例6】（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、全排列问题 【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解. 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法． 【答案】 【知识点】其他排列模型 【分析】利用倍缩法求解即可. 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 【变式6-2】.（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种. 【答案】60 【知识点】其他排列模型 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 【变式6-3】.（23-24高二下·天津·期中）由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答） 【答案】120 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据部分元素定序，采用倍缩法，即可直接求得结果. 【详解】根据题意，这个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种， 因为奇数数字顺序确定，故满足题意的六位数共有：种. 故答案为：. 【考点题型七】组合数的计算及性质的应用（） 【例7】（24-25高二上·江西上饶·期末）（1）解方程：     （2）计算． 【答案】（1）10；（2）252 【知识点】排列数的计算、组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】根据排列数公式、组合数公式，结合组合数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得． （2）法一： . 法二：原式. 【变式7-1】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】用代换和组合数的性质计算即可 【详解】因为，， 故选：C. 【变式7-2】.（24-25高二上·江苏常州·期末）（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【答案】C 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质计算得解. 【详解】 . 故选：C 【变式7-3】.（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、组合数方程和不等式 【分析】（1）根据组合数的计算性质即可求解， （2）根据组合数的阶乘形式的公式即可化简求解. 【详解】（1）因为，由可得或，解得或. （2）证明： 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组）（） 【例8】（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【知识点】全排列问题、分组分配问题、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 【变式8-1】.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．56种 D．72种 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】按照分组分配问题先将四个区分为三组，再分配到三组工作人员中去即可. 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：A 【变式8-2】.（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、排列组合综合 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 【变式8-3】.（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有 种． 【答案】150 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、分类加法计数原理 【分析】先将5个班级分组，再进行分配即可. 【详解】将5个班级分成三组，有和两种类型， 故有种不同的分配方案. 故答案为：150. 【变式8-4】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为 . 【答案】450 【知识点】分组分配问题 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种. 故答案为：450. 【考点题型九】隔板法（） 【例9】（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（   ） A．220种 B．55种 C．210种 D．110种 【答案】A 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】依题意，采用插空法求解即可. 【详解】本题等价于向11个人的队中插入9个人使他们不相邻，考虑插空法即为220， 故选：A． 【变式9-1】.（2023·辽宁·模拟预测）方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为，所以， 从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分， 一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 【变式9-2】.（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的非负整数解有 组. 【答案】84 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】把方程的解转化为将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？按照相同元素的排列问题进行求解即可. 【详解】本问题等价于将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？ 因此我们将6个小球排成一排，用3个隔板将小球隔成4段， 因为盒子可以为空，因此隔板可以相邻，将第1,2,3,4段放入这四个盒子中即可， 因为小球没有区别，隔板也没有区别，因此等价于将6个小球和3个隔板排成一列，则共有种方法， 故答案为：84. 【变式9-3】.（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是 （用数字作答） 【答案】15 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】利用隔板法计算即可. 【详解】先在编号为2，3的盒子中分别放入1，2个小球，编号为1的盒子不放球， 再每个盒子至少放入一个小球，用隔板法将余下7个小球排一排有6个空，插入2个隔板，有种方法. 故答案为：15 【变式9-4】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现将11个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个不同的盒子中． (1)若要求每个盒子至少得到一个小球，问共有多少种分配方案？ (2)若放完后，允许有盒子中没有小球，问共有多少种分配方案？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）利用隔板法结合组合公式即可得到答案； （2）采用可以借4个球，将其转化为（1）中的问题，最后利用隔板法即可得到答案. 【详解】（1）将11个球排成一排，有10个空， 在10个空中隔3个板，即有种． （2）由于允许有盒子中没有小球，故可以借4个球，现在问题就变成了与（1）类似的问题， 将15个球排成一排，有14个空，在14个空中隔3个板，即有种． 【考点题型十】涂色问题（） 【例10】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．180种 C．192种 D．168种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题 【分析】分别讨论区域3，4，5和2，3区域的染色，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】先对3，4，5染色，有种方法， 若2和3同色，则不同的染色方法有种， 若2和3不同色，则不同的染色方法有种， 综上，不同的染色方法有种． 故选：D. 【变式10-1】.（2025·云南·一模）如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解. 【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色， 当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法， 所以共有种方法； 当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法， 有5种涂法，有4种涂法， 所以共有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：. 【变式10-2】.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 【答案】C 【知识点】涂色问题 【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案. 【详解】由题意知，与任意一点均不同色. 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色. 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为. 根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为. 故选：C 【变式10-3】.（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 【答案】72 【知识点】涂色问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据使用颜色种数，结合分类加法计数原理、排列组合求解即可. 【详解】若使用了四种颜色，则同色或同色，共有种， 若使用了三种颜色，则同色且同色，共有种，所以一共有种. 故答案为：72. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（    ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A．52 B．58 C．56 D．50 【答案】A 【知识点】数字排列问题 【分析】分两类，末位为0，则从剩余元素中选2个并排列；末位为2或4，则优先考虑首位非0，再从其余元素中选1个即可. 【详解】偶数可分为两类： ①末位为0：共种 ②末位为2或4：首位有4种选择，共有种 则共有52种. 故选：A 3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（   ） A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑法进行求解即可. 【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻， 所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体， 与剩下3名学生进行排列有种排法， 又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法， 因此根据乘法原理得所求种数为， 故选：D 5．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）某班级要从5名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少1名女生，那么不同的选派方案有（    ） A．14种 B．20种 C．30种 D．35种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】由题意可得，选派的4人中有1名女生3名男生，或2名女生2名男生，然后利用分类加法原理求解即可 【详解】当选派的4人中有1名女生时，有种方案， 当选派的4人中有2名女生时，有种方案， 所以根据分类加法计数原理得共有：种不同的选派方案. 故选：C. 6．（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有1个小球与所在盒子编号相同，则有（    ）种不同的放球方法. A．20 B．15 C．12 D．8 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】分步乘法原理，先确定唯一一个编号相同的盒子，再计算与之编号不同的盒子可得. 【详解】分步计算， 先确定唯一一个编号相同的盒子，有种； 再将剩下的小球放入与之编号不同的盒子中，有2种方法， 所以一共有种. 故选：D. 7．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 8．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（    ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 【答案】B 【知识点】排列组合综合、判断事件计数的原理、全排列问题、分组分配问题 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二·全国·课堂例题）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（   ） A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 【答案】AB 【知识点】数字排列问题 【分析】由两个计数原理逐个判断即可； 【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确； 对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确； 对于C，若个位数为0，则有（个）， 若个位数不为0，则有（个）， 所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误； 对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误． 故选：AB 10．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数和排列数的公式逐个判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B, 因为，所以，故B错误； 对于C, 因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种 【答案】243 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理即可求解； 【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有， 故答案为：243 12．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 【答案】720 【知识点】全排列问题、其他排列模型 【分析】先将10个节目随意排列，有种排法，再根据相对顺序已定的排列模型求解 【详解】10个节目随意排列，有种排法； 原计划中的7个节目随意排列，有种排法． 保持原计划中的7个节目的先后顺序不变， 则这10个节目的不同排法有共有种． 故答案为: 四、解答题 13．（24-25高二下·天津·阶段练习）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： (1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? (2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? (3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 【答案】(1)15 (2)120 (3)74 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题 【分析】（1）由分类加法计数原理即可求解； （2）由分步乘法计数原理即可求解； （3）先分类再分步即可求解； 【详解】（1）选其中1人担任数理化小组组长，可以来自数学或物理或化学， 所以共有种选法； （2）分三步完成，第一步数学选1人，6种，第二步物理选1人，5种，第三步化学选1人，4种， 所以共有种； （3）来自数学、物理共有， 来自数学化学共有， 来自物理化学共有， 所以总共由种选法； 14．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 【答案】（1）； （2）； （3）； 【知识点】排列数方程和不等式、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】由排列数公式与组合数公式及组合数的性质逐个求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，故. （2）. （3） . 15．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）（1）求值: （2）求不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】排列数的计算 【详解】（1）； （2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为． 16．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目． (1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种? (2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式? 【答案】(1) (2) 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、分组分配问题 【分析】（1）利用捆绑法和插空法即可求解； （2）将6为同学分成4组，计算每一类的情况即可. 【详解】（1）根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外的两位同学排列有种排法， 第二步：再把丙丁插空排列有种排法， 所以共有种排法； （2）先将6为同学分成4组，按人数分有和种分法： 第一类：按分法有种分法； 第二类：按分法有种分法； 所以共有：种分法. 所以一共有种不同报名方式. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$