专题01 第四章 数列（考点串讲，17大考点&25大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版（2019）高二数学下学期·期中大串讲 专题01 第四章 数列 （17考点&25题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 等差数列的有关概念  清单02 等差数列的通项公式  考点透视 清单03 等差数列判断（证明）方法  清单04 等差数列性质  考点透视 清单05 等差数列前N项和  考点透视 清单06 等差数列前n项和性质  考点透视 清单07 等比数列概念  清单08 等比数列判断与证明  考点透视 清单09 等比数列常用性质  清单10 等比数列前n项和  考点透视 清单11 等比数列前n项和性质  清单12 累加法  考点透视 清单13 累乘法  考点透视 考点透视 清单15 构造法  考点透视 清单16 倒数法  考点透视 清单17 裂项相消法  题型剖析 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 【答案】A 题型剖析 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 【答案】B 题型剖析 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 题型剖析 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 题型剖析 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 【答案】C 题型剖析 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 题型剖析 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 【答案】①②④ 题型剖析 【考点题型五】等差数列角标和性质 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】等比数列角标和性质 【答案】D 题型剖析 题型剖析 【答案】18 题型剖析 【答案】D 题型剖析 题型剖析 【答案】C 题型剖析 【答案】A 题型剖析 【答案】300 题型剖析 【考点题型十二】累加法求通项 【答案】A 题型剖析 【考点题型十三】累乘法求通项 题型剖析 题型剖析 题型剖析 【答案】A 题型剖析 【答案】B 题型剖析 【答案】C 题型剖析 题型剖析 题型剖析 【答案】A 题型剖析 题型剖析 【考点题型十九】数列求和之倒序相加法 【答案】B 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 【考点题型二十四】数列求和之错位相减法 题型剖析 【考点题型二十四】数列求和之错位相减法 题型剖析 【考点题型二十四】数列求和之错位相减法 题型剖析 【考点题型二十四】数列求和之错位相减法 题型剖析 【考点题型二十五】数列求和之通项含绝对值求和 题型剖析 【考点题型二十五】数列求和之通项含绝对值求和 题型剖析 【考点题型二十五】数列求和之通项含绝对值求和 题型剖析 【考点题型二十五】数列求和之通项含绝对值求和 押题预测 【答案】A 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① ②若，则（特别的，当，有） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-2】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：为等比数列； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由已知得． 又因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高二上·江苏扬州·期末）设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由是等差数列，， 可得：，， ，所以， 所以， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高二·全国·课堂例题）在等比数列中： (1)若，且，求； (2)若，求和公比q． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵为等比数列，且， ∴．∴，又，∴舍去）． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）①当时，． 又，∴， 即， 解得（舍去），∴． ②当时，，∴． 综上得或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（重庆市部分区县2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由可设， 则，， 所以 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由等差数列性质得 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）设是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．36 C．42 D．108 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据，，可知数列的公比不为1， 且成等比数列，即成等比数列，故， 故， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】.（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（六））已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，当时，， 两式相减得到，即， 又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则， 当时，， 所以，又时，满足， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高二下·云南·开学考试）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】.（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】(1) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由， 得当时，． 两式相减得， 整理得， ∴． 当时，，解得． ∴是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题16】.（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式16-1】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，，，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】(1) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得.故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. (1)求，的通项公式： (2)求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设数列和数列的公差公比分别为d，q， ， 等比数列是递增数列， . ， ， ， ， 所以等差数列的通项公式为：， 等比数列的通项公式为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. (1)求，的通项公式： (2)求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）为等比数列， 数列也是等比数列，公比为 数列的前项和 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则，又满足该式，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式21-1】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，， 当时，也适合上式，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式21-1】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以． 当时，； 当时，． 当时，，也符合，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】.（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，， 所以，所以． 又因为对所有都成立，所以，故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】.（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）数列中，由，得， 两式相减得，而，则， 又，，因此，数列是首项为2，公差为1的等差数列 所以的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】.（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 因为，，可得，解得， 故数列的通项公式为， 因为，， 即，解得 故数列的通项公式为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题得：， 所以，， 因为，故数列单调递增， 所以，，且， 因此，对任意的，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式23-1】.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式23-1】.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（安徽省皖北县中联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题（A卷））已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为， 所以. 其中. 令， ， 两式相减，得. 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式24-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由 ，得， 两式相减，得：， ， 即，， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式24-1】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）      ① ② ①②，得： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)求数列的前16项的和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， （2）由（1）知，， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)求数列的前16项的和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由， 所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式25-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式25-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．104 C．112 D．120 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以，故. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列的前项和为，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当为奇数时，，即， 故，，， ，， 故 . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意，， ① ② ①②得 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故， 即， 整理得：，又，故可得； 又，即，故，， 解得，，； 故，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知，，故， 故 . 故数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$