专题01 第一章 任意角与弧度制+正余弦函数的概念及性质（5考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）高一数学下学期北师大版

清单01 第一章 任意角与弧度制+正余弦函数的概念及性质 （5个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】.（2024高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．B．C．D． 【变式1-2】.（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【变式1-3】.（23-24高一·全国·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1) (2) 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】.（22-23高一上·湖南邵阳·期末）下列各角中，与角终边相同的角为：（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）化为弧度等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（多选）（24-25高一下·江西赣州·开学考试）把表示成的形式，则值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】.（24-25高一下·陕西·阶段练习）将化为弧度制是 . 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为. (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 【变式4-1】.（浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【变式4-2】.（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式4-4】.（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为 . 【考点题型五】N分角（） 【例5】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【变式5-1】.（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式5-2】.（多选）（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】.（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知为第二象限角，那么是第 象限角． 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【变式6-1】.（23-24高一上·浙江杭州·期末）若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（22-23高一下·江西上饶·期末）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知角的终边过点，则 ． 考点题型七】由三角函数值求终边上的点或参数（） 【例7】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，，为其终边上一点，则 . 【变式7-1】.（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【变式7-2】.（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【变式7-3】.（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【变式7-4】.（24-25高一下·河南南阳·开学考试）已知角的终边过点，且，求及的值. 【考点题型八】利用诱导公式化简（） 【例8】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求，的值； (2)求的值. 【变式8-1】.（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知角的终边经过点. (1)求，，的值； (2)求的值. 【变式8-3】.（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. (1)求及的值； (2)求的值. 【变式8-4】.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知是角的终边上一点，且. (1)求和的值； (2)求当为奇数时，的值. 【考点题型九】由三角函数值求角（） 【例9】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知且，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式9-2】.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】.（23-24高一下·北京海淀·期中）已知，，则 ． 【变式9-4】（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）函数在内的零点为 【考点题型十】（） 【例10】（多选）（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】.（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知，且，则 ． 【变式10-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的值为 ． 【变式10-4】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）下列命题： ①第四象限的角可表示为； ②第二象限角大于第一象限角； ③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为； ④若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西·阶段练习）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（    ） A．该扇形纸片的半径为12 B．该扇形纸片的半径为11 C．该扇形纸片的面积为121 D．该扇形纸片的面积为125 10．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）在范围内，终边与重合的角的大小为 ． 12．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 四、解答题 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 14．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）（1）已知第二象限角的终边上的点横坐标与纵坐标之比是.求的值； （2）已知第四象限角的终边上的点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值； （3）已知，求使其成立的的集合. 15．（24-25高一下·河南南阳·开学考试）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2). 16．（24-25高一上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第一章 任意角与弧度制+正余弦函数的概念及性质 （5个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】分为偶数和奇数两种情况讨论即可. 【详解】当，时，，.此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域. 故选：C 【变式1-1】.（2024高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样． 故选：B． 【变式1-2】.（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可. 【详解】终边落在射线OA上的角的集合是，终边落在射线OB上的角的集合是，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是. 故答案为：. 【变式1-3】.（23-24高一·全国·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可. 【详解】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. （2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合. 【详解】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为， 故选：D 【变式2-1】.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 【变式2-2】.（22-23高一上·湖南邵阳·期末）下列各角中，与角终边相同的角为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】找出终边相同的角 【分析】写出与角终边相同的角表达式，再逐项判断得解. 【详解】与角终边相同的角为，， 令，得，A是；其余选项代入可得不是整数，BCD不是. 故选：A 【变式2-3】.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度的概念、弧度化为角度 【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案. 【详解】由题意得，． 故选：C． 【变式3-1】.（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度化为角度 【分析】利用弧度制和角度值的转化关系即可. 【详解】， 故选：B 【变式3-2】.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）化为弧度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度化为弧度 【分析】利用角度和弧度的转换公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 【变式3-3】.（多选）（24-25高一下·江西赣州·开学考试）把表示成的形式，则值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，以及终边相同角的表示，准确运算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得， 再由终边相同角的表示，可得，， 所以与、和的终边相同，与的终边不相同. 故选：ACD. 【变式3-4】.（24-25高一下·陕西·阶段练习）将化为弧度制是 . 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解. 【详解】. 故答案为： 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为. (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 【答案】(1) (2)最大值为25； 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、角度化为弧度、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可； （2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的性质，结合弧度的定义即可求解 【详解】（1）因为， 所以扇形的面积为； （2）由题意可知：，即， 所以扇形的面积为， 当时，扇形面积的最大值为， 此时， 【变式4-1】.（浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式计算求解. 【详解】设圆心角为，所以，所以3 故选：C. 【变式4-2】.（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积. 【详解】因为该扇形的圆心角为，面积为25， 根据，可得， 所以. 故选： 【变式4-3】.（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形中的最值问题、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 【变式4-4】.（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为 . 【答案】6 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据扇形的弧长公式先求出弧长，然后得到周长. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为， 由题意， 根据扇形的弧长公式，， 于是扇形的周长是. 故答案为： 【考点题型五】N分角（） 【例5】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【答案】A 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】先得到钝角的取值范围，进而求得的取值范围，从而确定正确答案. 【详解】因为是钝角三角形中最大的角，所以， 则，故是第一象限角． 故选：A 【变式5-1】.（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【详解】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 【变式5-2】.（多选）（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 【变式5-3】.（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知为第二象限角，那么是第 象限角． 【答案】一、二、四 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】结合第二象限角的表示可得，讨论确定其所在选项. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】利用三角函数定义直接代入计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以可得. 故答案为： 【变式6-1】.（23-24高一上·浙江杭州·期末）若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义可求的值. 【详解】因为，故，故， 故选：C. 【变式6-2】.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限， 所以，，. 故选：A 【变式6-3】.（22-23高一下·江西上饶·期末）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】由已知得，. 故选：D. 【变式6-4】.（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点，故， 原式， 故答案为：. 考点题型七】由三角函数值求终边上的点或参数（） 【例7】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，，为其终边上一点，则 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边过点且， 所以，解得（负值已舍去）. 故答案为： 【变式7-1】.（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D 【变式7-2】.（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由三角函数的定义计算可得； 【详解】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式7-3】.（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 【变式7-4】.（24-25高一下·河南南阳·开学考试）已知角的终边过点，且，求及的值. 【答案】， 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边过点，且， 所以，解得， 所以. 【考点题型八】利用诱导公式化简（） 【例8】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解即可； （2）先利用诱导公式化简，再将（1）中的结论代入即可. 【详解】（1）由题意知，， ， ， （2）由（1）知，,. ∴. 【变式8-1】.（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义可得，的值，再利用诱导公式进行化简求值. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，， 所以. 故选：C. 【变式8-2】.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知角的终边经过点. (1)求，，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合题干中的已知点，可得答案； （2）根据三角函数诱导公式，可得答案. 【详解】（1）由题知， 所以，，. （2） . 【变式8-3】.（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. (1)求及的值； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由三角函数的定义求解即可； （2）由诱导公式化简并结合（1）即可求解； 【详解】（1）因为角的终边上一点的坐标是， 由三角函数的定义可得， ， . （2）原式 . 【变式8-4】.（24-25高一下·江西·阶段练习）已知是角的终边上一点，且. (1)求和的值； (2)求当为奇数时，的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解， （2）根据诱导公式化简即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 解得. （2）当时， . 【考点题型九】由三角函数值求角（） 【例9】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知且，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的函数值和求出的值. 【详解】，故为第三象限角或第四象限角， 又，故或. 故选：C. 【变式9-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角、判断命题的必要不充分条件 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而解集的包含关系得两者的条件关系. 【详解】由题意，， 由，即，则或， 由，则，而为的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式9-2】.（2025·内蒙古赤峰·一模）已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】结合已知条件和求出，从而联立方程可求出，再根据即可求得答案. 【详解】由题意，①， 则，又， 所以， 所以， 因为为锐角，所以，所以②， 由①和②联立可解得， 所以. 故选：B. 【变式9-3】.（23-24高一下·北京海淀·期中）已知，，则 ． 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的三角函数值，结合已知条件中的范围，直接求解即可. 【详解】因为，故可得，或， 解得或，又，故或. 故答案为：或. 【变式9-4】（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）函数在内的零点为 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、求函数的零点 【分析】令求出方程的解，再结合的范围确定函数零点. 【详解】令，即，即， 解得， 因为，所以当时，符合题意. 故答案为： 【考点题型十】（） 【例10】（多选）（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由，平方可得，进而可得，求解可得，逐项分析判断即可. 【详解】对A：因为，则， 所以， 又因为，则，，所以，故A正确； 对D：可得，且， 所以，故D错误； 对B：联立，可得，，故B正确； 对C：可得，故C正确. 故选：ABC. 【变式10-1】.（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为①， 所以，则， 因为，所以，，所以，故A正确； 所以， 所以②，故D正确； 由①②联立可得，，，故B错误； 所以，故C错误． 故选：AD 【变式10-2】.（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】利用已知条件与特殊角的正切值，可得答案. 【详解】因为，所以， ，所以． 故答案为：. 【变式10-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】结合角的范围，三角函数性质证明，再由条件结合同角关系求结论. 【详解】， 且， ． 又， ． 故答案为：. 【变式10-4】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、由条件等式求正、余弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）解法一：分析可得，根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出的值； 解法二：利用平方关系求出的值，分析得出，利用平方关系可求出的值； （2）解法一：利用诱导公式化简得出，根据（1）中、的值代入计算可得出的值； 解法二：利用诱导公式化简得出，根据（1）中的结果求出的值，代值计算可得出的值. 【详解】（1）解法一：因为，则， 因为，联立，得， 解得，所以. 解法二：因为，，所以， 所以，即， 因为， 因为，则，所以，，所以. （2）解法一：因为 ， 由（1）得，所以； 解法二： . 由，解得，，所以， 所以. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）下列命题： ①第四象限的角可表示为； ②第二象限角大于第一象限角； ③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为； ④若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、任意角的概念、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】根据象限角的定义可判断①，举反例可判断②④，根据任意角的定义可判断③. 【详解】对于①，第四象限的角可表示为，故①错误， 对于②，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，故②错误， 对于③，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为，故③正确， 对于④，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；故④错误， 所以真命题的个数为1， 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【分析】求出与的角终边相同，从而得到得到答案. 【详解】，故与的角终边相同， 其中在第二象限，故角的终边落在第四象限. 故选：B. 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇环的面积公式来求得正确答案. 【详解】大扇形半径为，则小扇形半径为，， 所以上弧长为，下弧长为， 所以扇环也即扇面的面积为. 故选：B 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】由扇形面积公式即可求解； 【详解】， 故选：C. 5．（24-25高一下·陕西·阶段练习）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断. 【详解】当角为第二象限角时，，则； 反之，当时，或， 则为第二象限角或为第四象限角， 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B 6．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义，结合弦切互化和诱导公式即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以 故选：D 7．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值、特殊角的三角函数值 【分析】利用三角函数的定义可得正切值与终边上一点的坐标关系，再利用诱导公式和特殊角三角函数值，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，则， 故选：B. 8．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦）、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数定义及诱导公式可得答案. 【详解】由三角函数的定义，有. 由诱导公式，. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（    ） A．该扇形纸片的半径为12 B．该扇形纸片的半径为11 C．该扇形纸片的面积为121 D．该扇形纸片的面积为125 【答案】BC 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】设该扇形的半径为，弧长为，根据题意列式求，进而可得面积. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为， 则，解得， 所以该扇形的面积. 结合选项可知AD错误，BC正确. 故选：BC. 10．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据条件，利用三角函数的定义得到，进而可得，再利用诱导公式可得，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，且，所以为第三象限角，， 由，解得， 则，， 所以选项A，C正确，选项B，D错误， 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）在范围内，终边与重合的角的大小为 ． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】终边与重合的角为， 由，可得， 所以，在范围内，终边与重合的角的大小为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 【答案】 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式，令，求出，在根据求出答案； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米.    （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 14．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）（1）已知第二象限角的终边上的点横坐标与纵坐标之比是.求的值； （2）已知第四象限角的终边上的点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值； （3）已知，求使其成立的的集合. 【答案】；； 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数线的应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）由题意有，利用同角三角函数的基本关系即可求解； （2）由已知有，利用同角三角函数的基本关系即可求解； （3）利用余弦线即可求解. 【详解】（1）设，则有，即， 所以，又为第二象限角， 所以，， 所以， （2）设，则有，由为第四象限角， 所以，即， 所以， 所以； （3）由，得或， 由得， 所以原不等式的解集为    15．（24-25高一下·河南南阳·开学考试）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】（1）根据三角函数的定义和诱导公式求解即可. （2）根据诱导公式求解即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以，， 所以. （2）由题意. 16．（24-25高一上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、利用定义求某角的三角函数值 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【详解】（1）因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. （2）因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$