专题01 平面向量及其应用（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 平面向量的概念题型01 1．（23-24辽宁鞍山·期中）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 5．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．在正方形ABCD中， B．的模长为0 C．若，则向量是单位向量 D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 9．（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列结论不正确的是（    ） A．且是的充要条件 B．对于任意向量，都有 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 10．（多选）（23-24高一下·甘肃武威·期中）给出下列命题，正确的命题是（ ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D．若向量与同向，且，则 平面向量的概念题型02 11．（23-24高一下·安徽黄山·期中）向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 12．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在中，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 13．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 14．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 15．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 16．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 17．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 18．（多选）（23-24高一下·四川·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 19．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 20．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 平面向量的概念题型03 21．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）已知向量 若，则（    ） A． B．1 C． D．4 22．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）已知向量，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 24．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 26．（23-24高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 27．（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 28．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 30．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 平面向量的概念题型04 31．（23-24高一下·山东泰安·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 32．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 33．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 34．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 35．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 36．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 38．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 39．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 40．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 求三角形边长或周长的最值或面积 1．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 2．（23-24高一下·重庆·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 3．（23-24高一下·四川乐山·期中）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.    (1)求角A的大小； (2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围. 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 求三角形面积的最值或面积 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 7．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 8．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 9．（23-24高一下·广东清远·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； (2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 平面向量的概念题型01 1．（23-24辽宁鞍山期中）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 2．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 5．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．在正方形ABCD中， B．的模长为0 C．若，则向量是单位向量 D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 【答案】BC 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断. 【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误. 对于B，的模长为0，B正确. 对于C，若，则向量是单位向量，C正确. 对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误. 故选：BC 6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【知识点】向量的模 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 9．（多选）（（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列结论不正确的是（    ） A．且是的充要条件 B．对于任意向量，都有 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AC 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量共线的意义判断AB；举例说明判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】对于A，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，A错误； 对于B，零向量与任意向量共线，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量夹角的范围是，D正确. 故选：AC 10．（多选）（23-24高一下·甘肃武威·期中）给出下列命题，正确的命题是（ ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D．若向量与同向，且，则 【答案】AC 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据平面向量的定义及性质进行判断. 【详解】A选项：向量与向量互为相反向量，相反向量的方向相反大小相等，所以，所以A正确； B选项：若向量为零向量，则也满足向量与向量平行，但其方向并不是相同或相反，所以B错误； C选项：相等向量的方向相同大小相等，所以两个有共同起点并且相等的向量，其终点一定相同，所以C正确； D选项：向量的模是标量可以比较大小，向量不可以比较大小，所以D错误. 故选：AC 平面向量的概念题型02 11.（23-24高一下·安徽黄山·期中）向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 12．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在中，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积的定义运算即可得解. 【详解】因为，，， 所以 故选：D． 13．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的数量积的运算律求解，即可得答案. 【详解】因为单位向量的夹角为， 所以， 故选：B． 14．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 【答案】3 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案. 【详解】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用数量积的定义及运算律，将给定恒成立的不等式化为一元二次不等式恒成立求解. 15．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由题意，所以． 故答案为：. 16．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 17．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 18．（多选）（23-24高一下·四川·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A，应用和向量判断B，应用投影向量判断C，应用数量积投影最大求解D. 【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 19．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 20．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 平面向量的概念题型03 21．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）已知向量 若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据即可得出， 解出即可. 【详解】，∴ ∴. 故选： C. 22．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）已知向量，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项. 【详解】因为向量，，， 所以，，解得，则，， 对于A选项，， 因为，则与不共线，A错； 对于B选项，，则， 故，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，，故，D对. 故选：BCD. 23．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 24．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 25．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 26．（23-24高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 27．（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】取，可判断A；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；将垂直关系转化为数量积为零，结合单位向量的定义可求向量坐标，进而判断C；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错； 对于B选项，两个非零向量和，若，则， 整理可得，故与垂直，故B对； 对于C选项，设与垂直的单位向量为， 由题意可得，解得或， 所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对； 对于D选项，已知向量， 则在上的投影向量为， 所以，，解得，故D错． 故选：BC. 28．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解. 【详解】由D为BC的中点，E为边上的点，且， 得.    故选：C 29．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】向量，，由，得，解得或， 反之，当时，共线， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 30．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【答案】1 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 平面向量的概念题型04 31（23-24高一下·山东泰安·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 32．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 33．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 34．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 35．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 36．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 37．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）化边为角，利用三角恒等变换化简后，根据正切函数求值域即可得解. 【详解】（1）由正弦边角关系， 即， 所以， 即， 可得，由可得， 由知． （2）由（1）知，，． 由正弦定理知，， 可得，， 故周长为 ． 由是锐角三角形知，，，即，． 又，故，， ， 故，， 所以， 故周长的取值范围是． 38．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 39．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】余弦定理边角互化的应用、已知数量积求模、条件等式求最值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 40．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 求三角形边长或周长的最值或面积 1．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为 (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）， 令，则，， 函数的对称中心为． （2）由可知，， 化简有， 则 ． （3）由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 2．（23-24高一下·重庆·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 3．（23-24高一下·四川乐山·期中）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.    (1)求角A的大小； (2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由内角范围，即可求得角； （2）作出经过AC，BC中点的直线,交两弧于点，任作一条直线,交两弧于点,证明PQ的长小于等于周长的一半，即得区域D的“直径”为的周长l的一半，继而只需由题意求周长的范围即得. 【详解】（1）由和正弦定理得， ， 在中，因，故，即， 因，故； （2）    如图，F，G是AC，BC的中点，设直线分别交于点E，交 于点. 设P，Q分别为、上任意一点，于是，， 则， 即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时等号成立， 同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半， 因此区域D的“直径”为的周长l的一半， 因A，B，C在半径为1的圆上，由正弦定理得：， 即，，， 则， 由为锐角三角形，可得，即， 则，，于是， 故平面区域D的“直径”的取值范围是． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得的值，进而可得角的正切值； （2）①由中线的向量表示，两边平方，可得中线的最小值； ②由等面积法可得角平分线的表达式，再由基本不等式可得的最大值． 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以，所以 （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以， 故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 故的最大值为. 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可； （3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【详解】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． （2）由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 求三角形面积的最值或面积 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】条件等式求最值、求三角形面积的最值或范围、余弦定理边角互化的应用、已知数量积求模 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 7．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1). (2)①；② 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、几何图形中的计算、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可； （2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 8．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据三角函数性质可确定解析式； （2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值． 【详解】（1）设的最小正周期为， ∵图象的一条对称轴是，一个对称中心是， ∴， ∴，解得， ∵，则， ∵图象的一条对称轴为， ∴， ∵，∴， 又∵的最大值是4， ∴，则． （2）∵，∴， 又，∴，即， 在中，， 当且仅当时取等号，则， 则的面积为， 所以的面积的最大值为． 9．（23-24高一下·广东清远·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； (2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 【答案】(1)最小正周期为，相邻两条对称轴的距离为； (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用求出最小正周期，并求出图象相邻两条对称轴距离； （2）由正弦二倍角公式得到，由余弦定理求出，由基本不等式求出，从而得到面积最大值. 【详解】（1）的最小正周期为， 它的图象相邻两条对称轴的距离为； （2）由题意得，即， 因为，所以，故， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得， 其中， 故面积， 故面积的最大值为. 10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）条件①，化简得到，求得，进而求得的值； 选条件②，由正弦定理得到，结合余弦定理，求得，即可求解； 选条件③：化简得到，求得，即可求解； （2）由（1）和由余弦定理得，得到，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：若选条件①，由， 可得，即， 因为，所以，可得， 因为，可得，所以，所以，可得. 若选条件②，由， 根据正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. 若选条件③：由，可得， 即， 因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由（1）知：且， 又由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 则，所以面积的最大值为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$