专题02 高一下学期期中真题精选（考题猜想，压轴5大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题02 高一下学期期中真题精选（压轴5大题型） （沪教版2020必修第二册第6章 三角+第7章 三角函数） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 三角形周长（边长代数和）问题（重点+难点） · 压轴二 三角形面积问题（高频） · 压轴三 三角函数中的零点问题（重点） · 压轴四 三角函数中的恒成立问题（难点） · 压轴五 三角函数中的新定义问题（难点） · 压轴一：三角形周长（边长代数和）问题（共5小题） 1．（2023·陕西西安·一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，现欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是，区域PMB和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种植月季花． (1)探究：观赏小径PM， PN的长度之和是否为定值？请说明理由； (2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最少？ 4．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，，，求的取值范围. 5．（2023·上海宝山·一模）在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若边上的高等于，求的最大值. 压轴二：三角形面积问题（共4小题） 1．（24-25高三上·上海嘉定·期中）在中，已知，，，则的面积为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 3．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.    (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米） (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 压轴三：三角函数中的零点问题（共8小题） 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 4．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 7．（22-23高一下·上海·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若在中，内角所对的边分别为 ，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由； (3)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值． 8．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 压轴四：三角函数中的恒（能）成立问题（共6小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 6．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，. (1)若，求关于的方程在上的解； (2)若，求函数，的单调减区间； (3)已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围. 压轴五：三角函数中的新定义问题（共5小题） 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 4．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质. (1)若，求的解析式，并判断是否具有性质； (2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否为真命题，并说明理由； (3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数. $$专题02 高一下学期期中真题精选（压轴5大题型） （沪教版2020必修第二册第6章 三角+第7章 三角函数） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 三角形周长（边长代数和）问题（重点+难点） · 压轴二 三角形面积问题（高频） · 压轴三 三角函数中的零点问题（重点） · 压轴四 三角函数中的恒成立问题（难点） · 压轴五 三角函数中的新定义问题（难点） · 压轴一：三角形周长（边长代数和）问题（共5小题） 1．（2023·陕西西安·一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，从而可表示出的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意在中，满足，即, 即，而， 故，又, 则，同理， 故 ， 又,故， 则， 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【详解】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，现欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是，区域PMB和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种植月季花． (1)探究：观赏小径PM， PN的长度之和是否为定值？请说明理由； (2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最少？ 【答案】(1)为定值，理由见解析 (2)P为BC中点， 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、条件等式求最值 【分析】(1)在和中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和； (2)在中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可； 【详解】（1）在中，＝180°－60°－45°＝75°， 由正弦定理可得：， 即＝＝， 同理可得， 所以＝为定值； （2）解：在中，由余弦定理可得： ， 即， 所以，， 又由（1）有＝， 故，当且仅当时等号成立. 故当P点是MN的中点时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小，最小为 4．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，，，求的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由可得到，化简，结合正弦型函数的单调性即可求解； （2）由（1）可得，利用余弦定理和基本不等式可得的最大值，根据三角形三边关系可知，即可求解. 【详解】（1）因为最小正周期为，所以，则， 所以，则， 所以，， 所以，， 所以的单调减区间为： ， （2）由（1），则， 因为，所以，则， 因为， 由余弦定理有 ，即， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 又， 所以 5．（2023·上海宝山·一模）在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若边上的高等于，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，则，所以， 因为，所以或. （2）由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理，得， 从而有， 所以. 当，即时，有最大值， 即的最大值为. 压轴二：三角形面积问题（共4小题） 1．（24-25高三上·上海嘉定·期中）在中，已知，，，则的面积为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先通过正弦定理求出角，再根据三角形内角和求出角，最后根据三角形面积公式求出三角形面积. 【详解】根据正弦定理，已知，，，则. 将数值代入可得. 因为，所以. 由于，且，所以，为锐角，. 根据三角形内角和. 根据两角和的正弦公式，. 将数值代入可得. 根据三角形面积公式，将，，代入可得： . 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 【答案】(1)； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理表示，再根据等边三角形的面积公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值. 【详解】（1）设，在中，由余弦定理得： ； （2）于是，四边形的面积： ， 因为，则，所以当，时， 四边形的面积取得最大值，最大值为． 3．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）在中，由余弦定理计算即可求解； （2）设，在中，由余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，由解得， 所以； （2）设，在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 又，， 所以， 所以， 故四边形ABCD的面积的最大值为. 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.    (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米） (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1)平方米 (2)米 (3)修建观赏步道时应使得， 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理求出cosC，再求面积即可； （2）由三角形的面积公式解得，由是钝角，得，利用余弦定理即可求解； （3）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可知，所以 所以平方米. （2）， 解得， 因为是钝角，所以， ， 故需要修建米的隔离防护栏； （3）， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 解得：， 花卉观赏区的面积为 ， 因为，所以， 故当，即时，取的最大值为1， ， 当且仅当时取到等号，此时 答：修建观赏步道时应使得，. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，利用正弦定理与三角恒等变换将花卉观赏区的面积转化为关于的表达式，从而得解. 压轴三：三角函数中的零点问题（共8小题） 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据周期性求得，再利用整体代入法求得单调区间. （2）根据三角函数图象变换求得， 【详解】（1） ， ∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为， ∴，，由， ∴，， 令得， ∴的单调递减区间为. （2）图象向左平移个单位长度得， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得， 由①， ，令， 则， ∴，∴或（舍）． 由，∴，令，， 则，②， 在区间，结合正弦函数对称性可得，方程②有个根， 和分别关于、对称， 则所有根之和， 所以方程①的个根，满足. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 4．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图：    由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    7．（22-23高一下·上海·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若在中，内角所对的边分别为 ，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由； (3)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值． 【答案】(1)，增区间是； (2)答案见解析； (3)时，原方程有三个解，且． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理判定三角形解的个数、用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的坐标表示 【分析】（1）由数量积的坐标表示计算出并由两角和的正弦公共化简； （2）由正弦定理求得，再利用的范围得出三角形解的个数； （3）化简方程得或，由此可得时原方程有三解，从而求得三解的和． 【详解】（1）由题意， 由，得， 所以增区间是； （2），又，即， 所以，， 由正弦定理，， 当时，，，因此，只有一解； 时，，无解； 时，，，三角形只有一解， 时，，又，因此，所以有两解，可能为锐角也可能为钝角． 综上，时，三角形无解，或时三角形只有一解，时，三角形有两解； （3）方程为，即，， ，或， 因为，所以， 记，原方程有三个解，则， 时，递增，时，递减，，，， 所以，即时，有两解，记两解为，则， 综上，时，原方程有三个解，且． 8．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦函数对称性的其他应用 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 压轴四：三角函数中的恒（能）成立问题（共6小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二倍角的正弦公式、求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出； （2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值； （3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果. 【详解】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. （2）依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. （3）由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时取最小值，当时取最大值； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 当时，令， 原不等式等价于， 函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数的取值范围. 【点睛】结论点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体， 由求得函数的单调递减区间， 由求得函数的单调递增区间． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 6．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，. (1)若，求关于的方程在上的解； (2)若，求函数，的单调减区间； (3)已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)或或 (2)， (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得在时恒成立，求出在上的值域，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 当时，由，则， 所以，解得， 所以方程在上的解为或或. （2）当时， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. （3）当时， 关于的不等式在时恒成立， 关于的不等式在时恒成立， 由，则，所以， 则，所以，解得， 即的取值范围为. 压轴五：三角函数中的新定义问题（共5小题） 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、. 【答案】(1)为“函数” (2) (3)证明见解析，，， 【知识点】求相等函数、求解析式中的参数值、辅助角公式、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据题意可得对任意的实数恒成立，即可解得，，从而得到结论； （2）根据题意得到，求出在的解析式，结合余弦函数的图象与性质即可得到答案； （3）利用辅助角公式化简，由化简，结合题意列方程，解方程从而得到答案. 【详解】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立， 即，即对任意的实数恒成立， 则， 解得， 所以是为“函数” （2）因为函数是“函数”，所以， 由于当，， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 则， 所以当，， 令，则， 所以或，即或， 因为，所以 故在上的解为. （3）由题可得：， 则，其中，且， 由于，可化为， 即 由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有： 解得：， 由，解得： 所以函数为“函数，其中，，. 【点睛】方法点睛：解决新定义问题，关键读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，找到解题的突破点，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明见解析. 【知识点】由不等式的性质证明不等式、求含tanx的函数的定义域、函数新定义、函数周期性的应用 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)2个 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、函数新定义、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【详解】（1）令， 故， 则不具有性质P． （2）若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． （3） 当时， 具体如图所示    则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 4．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、函数新定义 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质. (1)若，求的解析式，并判断是否具有性质； (2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否为真命题，并说明理由； (3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数. 【答案】(1)，具有性质 (2)该命题为假命题，理由见解析 (3)实数的取值范围为；讨论零点个数见解析 【知识点】正弦函数图象的应用、判断命题的真假、函数新定义、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据题中定义进行求解和判断即可； （2）举出反例即可说明原命题为假命题； （3）根据题意得到，结合题中定义与二次函数相关知识得到实数的取值范围；再进行参变分离，将零点个数问题转化为图像交点问题求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 显然，在上是严格增函数，所以具有性质 （2）假命题，理由如下： 例如，函数是上的严格减函数， 而是上的严格增函数， 此时，严格减函数具有性质，故该命题为假命题 （3）由题意知，， 因为函数具有性质， 所以，解得. 由题意知，函数， 令，则， 即或， 即或或， 令， 如图，作和图像如左图，记交点横坐标为， 作和图像如右图， 显然，在单调递减， 当时，，无解，则在区间上零点的个数为； 当时，，解得，则在区间上零点的个数为； 当时，，有两个根，则在区间上零点的个数为.    综上所述，当时，在区间上零点的个数为； 当时，在区间上零点的个数为； 当时，在区间上零点的个数为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. $$