专题01 高一下学期期中真题精选（考题猜想，常考16大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题01 高一下学期期中真题精选（常考16大题型） （沪教版2020必修第二册第6章 三角+第7章 三角函数） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 任意角与弧度制 · 题型二 三角函数定义（易错） · 题型三 同角三角函数基本关系 · 题型四 诱导公式化简问题（易错） · 题型五 两角和差公式 · 题型六 二倍角公式（高频） · 题型七 利用正、余弦定理解三角形 · 题型八 判断三角形形状 · 题型九 三角形个数问题 · 题型十 三角形周长问题 （重点） · 题型十一 三角形面积问题（重点） · 题型十二 三角形的实际应用（高频） · 题型十三 三角函数的图象与性质（高频） · 题型十四 三角函数图象变化（高频） · 题型十五 求三角函数解析式（重点） · 题型十六 生活中的三角函数模型（难点） 题型一、任意角与弧度制（共5小题） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 3．（23-24高一下·上海·期中）60°用弧度制表示为 . 4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 5．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 题型二、三角函数定义（共7小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，若，则 . 2．（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则 . 3．（24-25高二上·上海·期中）若角的终边经过点，则 . 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，则 . 5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，且是第三象限的角，则 . 7．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 题型三、同角三角函数基本关系（共4小题） 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则 ． 2．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知， 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 4．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型四、诱导公式化简问题（共3小题） 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则 . 3．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 题型五、两角和差公式（共5小题） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 4．（23-24高三上·上海杨浦·期中）若，，则的值为 . 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，求的值 题型六、二倍角公式（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 4．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 5．（22-23高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和． (1)求，的值． (2)求，的值． 题型七、利用正、余弦定理解三角形（共5小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）在中，若，，．则 ． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 3．（23-24高三下·上海·期中）在中，角的对边分别为，若，则 . 4．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 5．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，若，，，则 ． 题型八、判断三角形形状（共3小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 2．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 题型九、三角形个数问题（共2小题） 1．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 2．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 题型十、三角形周长问题（共4小题） 1．（22-23高三上·上海宝山·期中）在△ABC中，角B为锐角，所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为 . 2．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 3．（22-23高一下·上海普陀·期中）在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 4．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 题型十一、三角形面积问题（共6小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 4．（23-24高三上·上海·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)若，求的值； (2)的面积等于，求的值. 5．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，，，. (1)求； (2)求的面积S. 6．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 题型十二、三角形的实际应用（共5小题） 1．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    2．（23-24高一下·上海·期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案： ①沿线段在水下铺设； ②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元. (1)求两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 4．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 5．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 题型十三、三角函数的图象与性质（共12小题） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为 ． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为 ． 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为 .（写出所有可能的结果） 5．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 7．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 8．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 9．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 11．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 12．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 题型十四、三角函数图象变化（共5小题） 1．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 3．（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 5．（22-23高一下·上海嘉定·期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 题型十五、求三角函数解析式（共5小题） 1．（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 2．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）设，其中A＞0，，.函数，的部分图象如图所示，则该函数的表达式为 . 4．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    5．（22-23高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ．    题型十六、生活中的三角函数模型（共5小题） 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则 ． 2．（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 4．（23-24高一下·上海·期中）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记. (1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用. 5．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． $$专题01 高一下学期期中真题精选（常考16大题型） （沪教版2020必修第二册第6章 三角+第7章 三角函数） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 任意角与弧度制 · 题型二 三角函数定义（易错） · 题型三 同角三角函数基本关系 · 题型四 诱导公式化简问题（易错） · 题型五 两角和差公式 · 题型六 二倍角公式（高频） · 题型七 利用正、余弦定理解三角形 · 题型八 判断三角形形状 · 题型九 三角形个数问题 · 题型十 三角形周长问题 （重点） · 题型十一 三角形面积问题（重点） · 题型十二 三角形的实际应用（高频） · 题型十三 三角函数的图象与性质（高频） · 题型十四 三角函数图象变化（高频） · 题型十五 求三角函数解析式（重点） · 题型十六 生活中的三角函数模型（难点） 题型一、任意角与弧度制（共5小题） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 【答案】 【知识点】任意角的概念、角度化为弧度 【分析】根据角的定义和弧度制和角度制的转化即可. 【详解】由题意，分针需要顺时针旋转，即弧度数为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）60°用弧度制表示为 . 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】由角度和弧度的关系进行求解. 【详解】根据角度和弧度的关系可知， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 【答案】/ 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式进行化简即可. 【详解】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为, 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 题型二、三角函数定义（共7小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，若，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】，又， 解得：， 所以， 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则 . 【答案】/-0.2 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义分别计算该交的正弦与余弦值计算即可. 【详解】由题可知，， 所以 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）若角的终边经过点，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知，. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】由商数关系与平方关系联立求解即可. 【详解】因为，所以即，结合， 所以或，又，所以， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则 . 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为钝角的终边上的一点，所以，则，故， 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，且是第三象限的角，则 . 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】若，且是第三象限的角， 则. 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】变形得到，故，得到所在象限. 【详解】， 故且，故角的终边所在的象限为第一或第二象限. 故选：A 题型三、同角三角函数基本关系（共4小题） 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知， 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由，利用齐次运算及商数关系求值即可. 【详解】由. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】利用平方关系求参数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 题型四、诱导公式化简问题（共3小题） 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式化简即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【答案】(1)； (2) ． 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可. 【详解】（1）解：原式=； （2）解：将，两边平方得， ， ， . 题型五、两角和差公式（共5小题） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先根据同角三角关系可得，再结合两家和差公式运算求解. 【详解】因为是第一象限角，是第四象限角，， 则， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 3．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 4．（23-24高三上·上海杨浦·期中）若，，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】因为，， 所以 . 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，求的值 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式化简，求出，然后利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】，又，. . 题型六、二倍角公式（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【知识点】二倍角的正切公式、诱导公式五、六、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【详解】（1） （2）由题意可知 ， ， . 4．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由题意可得，结合任意角三角函数值的定义运算求解； （2）根据两角和差公式解得，结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以，，； （2）因为，解得， 所以原式. 5．（22-23高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和． (1)求，的值． (2)求，的值． 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出，再利用平方关系求解作答. （2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答. 【详解】（1）依题意，，而为锐角， 所以，. （2）由（1）知，，，， 于是，， 所以， . 题型七、利用正、余弦定理解三角形（共5小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）在中，若，，．则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意利用正弦定理运算求解即可. 【详解】因为，可得. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理得到三边之比，再利用余弦定理即可. 【详解】由正弦定理得， 不妨设，根据大边对大角知，该三角形最小角为边长为2的边所对的角， 则根据余弦定理知该三角形最小角的余弦值为. 故答案为：. 3．（23-24高三下·上海·期中）在中，角的对边分别为，若，则 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理先求出，再由同角三角函数的平方关系即可求. 【详解】由余弦定理，得，又， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 5．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，若，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】利用正弦定理可求得的长. 【详解】因为， 在中，，，， 由正弦定理得. 故答案为：. 题型八、判断三角形形状（共3小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由已知结合三角形的面积公式可表示出三边长，然后结合余弦定理即可判断． 【详解】设三条高的长度分别为所对的三边分别为，，， 则由三角形面积公式可知，， 故可设，，，则，故， 则最大角为，由余弦定理得： 则为钝角，故此三角形为钝角三角形． 故选：D． 2．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 题型九、三角形个数问题（共2小题） 1．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 2．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 题型十、三角形周长问题（共4小题） 1．（22-23高三上·上海宝山·期中）在△ABC中，角B为锐角，所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为 . 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即得周长. 【详解】因为，外接圆半径，所以， 因为的面积为15，所以， 因为， 所以 即 故答案为： 2．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理结合已知得即可求解； （2）由三角形面积公式得，进一步由余弦定理得即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理得， 则，而，从而； （2）， 则， 由余弦定理得 ， ∴，∴． 3．（22-23高一下·上海普陀·期中）在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题，得，利用正弦定理以及和差公式，诱导公式，逐步化简，即可求解； （2）由题目条件，结合余弦定理和面积公式，得，，然后两式相加即可求得本题答案. 【详解】（1）由于，故， 利用正弦定理，有， 又，故， 由于为三角形内角，故，因此，进而； （2）由（1）知，由余弦定理知，即. 由知，即. 将上面两式相加得，故，因此的周长为. 4．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【详解】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 题型十一、三角形面积问题（共6小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 【答案】12 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用 【分析】先由同角三角函数的关系求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以的面积为， 故答案为：12 2．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】由向量数量积的定义表示式求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】设的夹角为，因， 即，因，则， 于是的面积为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)若，求的值； (2)的面积等于，求的值. 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得， 所以的值是. （2）由的面积等于，得，解得， 由余弦定理，得，即， 解得或， 所以或. 5．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，，，. (1)求； (2)求的面积S. 【答案】(1) (2)84 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）由（1）可求得，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 根据余弦定理可得； （2）由（1）可知，，又因为， ， 所以的面积 6．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)的面积为. 【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）设点，由可得出关于、、的方程组，可解出点的坐标，可得出向量，再利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）设点，因为，则， 所以，，解得，即点， 所以，故. （2），， 所以，， 所以，则为锐角， 所以， 因此. 所以的面积为. 题型十二、三角形的实际应用（共5小题） 1．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    【答案】5.8 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案. 【详解】在中，有，，， 由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 解得或（舍去）. 在中，有，，， 所以，. 由正弦定理可得， (km). 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案： ①沿线段在水下铺设； ②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元. (1)求两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 【答案】(1) (2)选择方案②，理由见解析 【知识点】距离测量问题 【分析】（1）由，，得到，、间的关系，然后利用直角三角形的性质求解； （2）先求出方案①总铺设费用，对于方案②：设，在直角三角形中表示出总铺设费用，并利用导数求其最小值，然后比较大小即可得答案    ． 【详解】（1）过作的垂线，垂足为，如图： 在中，，所以， 在中，，所以． 则，即， 所以，， 由勾股定理得，． 所以，两点间的距离为； （2）方案①：沿线段在水下铺设时，总铺设费用为（万元）． 方案②：设，则，其中， 在中，，， 所以． 则总铺设费用为 ，当且仅当时等号成立， 所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时． 而， 所以应选择方案②进行铺设，点选在的正西方向处，总铺设费用最低． 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)15.28公里 (2)1.25小时 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 4．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得； （2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 5．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 【答案】(1)28海里/小时； (2)北偏东 【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】由题设条件可得，，，根据余弦定理即可求出和． 【详解】（1）由题意，，， 又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点， 在中，由余弦定理得， ， ，又， 故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时． （2）在中，， 由余弦定理得， ，则， 即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东． 题型十三、三角函数的图象与性质（共12小题） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】解正弦不等式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据三角恒等变换可得，要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得 【详解】 由可得， 即，即 要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得， 故答案为： 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为 .（写出所有可能的结果） 【答案】 【知识点】特称命题的否定及其真假判断、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数图象的综合应用 【分析】根据，可分类讨论时，结合正弦函数的图象和性质，即可得出答案. 【详解】“存在，使得”是假命题， 则，，任意实数均有， ①当时，任意实数均有，且， ，时，符合题意； ②当时，任意实数均有，即， ，， 当且仅当任意实数均有，则， 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 综上所述：满足条件的有序实数对为：. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合正弦型函数的有界性建立不等式求出最值即得. 【详解】函数的定义域为R，， 则，即， 解得，于是， 所以函数的最大值与最小值之和为. 故答案为： 7．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、求含cosx的函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据奇偶性定义、三角函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误. 故选：C. 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的余弦公式 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 11．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的定义域、二倍角的余弦公式 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】由于， 且，故, 由于定义域不关于原点对称，因此无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数， 故选：D 12．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 题型十四、三角函数图象变化（共5小题） 1．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】先将变形为，再结合平移变换的左加右减原则即可得解. 【详解】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 5．（22-23高一下·上海嘉定·期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可. 【详解】，， 函数的图象向左平移可以得到的图象. 故选：D 题型十五、求三角函数解析式（共5小题） 1．（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】直接利用函数的图像的平移变换求解析式. 【详解】函数图像向左平移个单位， 所得图像的解析式为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期中）设，其中A＞0，，.函数，的部分图象如图所示，则该函数的表达式为 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. 【详解】观察图象，得，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的表达式为. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【详解】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 5．（22-23高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ．    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解． 【详解】由函数的部分图象，设，其中， 因为，可得，解得， 即，所以，可得，所以， 又由，可得，因为，所以． 故答案为：. 题型十六、生活中的三角函数模型（共5小题） 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据甲乙两人离底面高度相等，即甲乙关于摩天轮初始位置所在的直线对称，列出等式即可求解. 【详解】1分钟，甲乙相差，当甲乙离地面高度相等时， 乙转了，即12分钟 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【知识点】几何中的三角函数模型、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. （2）因为，所以当时，取得最大值. 4．（23-24高一下·上海·期中）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记. (1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用. 【答案】(1)详见解析 (2)，万元 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题意，得到，，进而求得矩形和的面积的表达式； （2）根据题意，得到总费用为：，设，结合二次函数与三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，所以，， 所以矩形PCOD的面积为， 的面积为. （2）由题意，可得建造观景区所需总费用为：， 设，则， 又由， 所以， 当，即时，有， 所以（万元）， 即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元． 5．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知，， 由，可得，， 所以，， 故； （2）令由，可得， 所以， 则， 因为，， 所以，所以， 所以当，即或，即或时，取得最大值， 所以，此时或.    $$